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1、实验八实验八 用单摆测定重力加速度用单摆测定重力加速度第一关：基础关展望高考基 础 知 识（一）实验目的（1）学会用单摆测定当地的重力加速度.（2）能正确使用秒表.（3）巩固和加深对单摆周期公式的理解.（4）学习用累积法减小相对误差的方法.（二）实验原理物理学中的单摆是指在细线的一端系一小球，另一端固定于悬点.若线的伸缩和质量忽 略，小球的直径远小于线长，这样的装置称为单摆.单摆发生机械振动时，若摆角小于 10，这时的振动可以看成是简谐运动.由简谐运动知识可以导出单摆的振动周期T=.l2g式中 l 是摆长，g 是当地的重力加速度.将上式变形为g=.224l T可以看出，只要能测定出单摆的摆长和
2、对应的振动周期，就很容易计算出重力加速度 g 的数值了.由于一般单摆的周期都不长，例如摆长 1m 左右的单摆其周期约为 2s.所以依靠人为的 秒表计时产生的相对误差会很大.针对这一问题本实验采用累积法计时，即不是测定一个周 期，而是测定几十个周期，例如 30 或 50 个周期.这样一来，人用秒表计时过程中产生的误 差与几十个周期的总时间相比就微乎其微了.这种用累积法减小相对误差的方法在物理实验中经常会遇到，希望读者要认真领会其 精神实质，为以后的应用打下基础.（三）实验器材长约 1m 的细丝线 1 根、球心开有小孔的金属小球 1 个、带有铁夹的铁架台 1 个、毫米 刻度尺 1 根、秒表 1 块
3、、游标卡尺 1 把.（四）实验步骤（1）安装让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆.把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外， 让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示.实验时以这个位置为基础. （2）实验步骤用米尺测出悬线长度 l（准确到毫米） ，用游标卡尺测出摆球的直径 d.将摆球从平衡位置拉开一个很小角度（不超过 10） ，然后放开摆球，使摆球在竖 直平面内摆动.用秒表测出单摆完成 30 次或 50 次全振动的时间 t（注意记振动次数时，以摆线通 过标记为准）.计算出平均完成一次全振动所用的时间，这个时间就是单摆的振动周
4、期.改变摆长，重做几次实验，每次都要记录摆线长度 l，振动次数 n 和振动总时间 t.（3）实验记录根据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度，求出几次实验得到的重力加 速度的平均值，即是本地区的重力加速度的平均值.将测得的重力加速度数值与当地重力加速度数值加以比较，分析产生误差的可能原 因.第二关：技法关解读高考解 题 技 法一、实验注意事项技法讲解（1）选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在 1 m 左右、小球应选用密 度较大的金属球，直径应较小，最好不超过 2 cm(2)单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线 下滑、摆长改变的现象.(3)注
5、意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过 10.可通过估算振幅的方法掌握.(4)摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆.(5)计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时，以后摆球从同一方向 通过最低位置时进行计数，且在数“零”按下停表，开始计时计数.典例剖析例 1在用单摆测定重力加速度实验中：（1）为了比较准确地测量出当地的重力加速度值，应选用下列所给器材中的哪些？将 你所选用的器材前的字母填在题后的横线上.A.长 1 m 左右的细绳；B.长 30 cm 左右的细绳；C.直径 2 cm 的铅球；D.直径 2 cm 的铁球；E.秒表；F.时钟；G.分度值是 1 cm 的直尺
6、；H.分度值是 1 mm 的直尺；所选器材是_（2）实验时对摆线偏离竖直线的要求是_；理由是_.解析：(1)单摆周期公式为：T=2，经变换得 g=.因此，在实验中只要测出单摆Lg224L T的摆长 L 和振动周期 T，就可以求出当地的重力加速度 g 的值，本实验的目的是测出 g 的 值，而不是验证单摆的振动规律.如果在实验中选用较短的摆线，既会增大摆长的测量误差， 又不易于保证偏角 小于 10、摆线较长、摆角满足小于 10的要求.为让单摆的振动缓 慢，方便计数和计时，所以应选 A.摆球应尽量选重的，所以选 C.因为单摆振动周期 T 的测量误差对重力加速度 g 的影响较大，所以计时工具应选精确
7、度高一些的秒表.摆长的测量误差同样对 g 的影响较大，也应选精度较高的最小刻度为毫米 的直尺.(2)因为当摆球振动时，球所受的回复力 F=mgsin，只有当 很小时，sin，单摆振动才是简谐运动，周期 T=2的关系式才成立.Lg答案：（1）ACEH（2）见解析二、实验误差来源及分析技法讲解（1）本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求即悬点是否固定，是单 摆还是复摆，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪 段长度作为摆长等等只要注意了上面这些方面，就可以使系统误差减小到远远小于偶然 误差而可忽略不计的程度（2）本实验的偶然误差主要来自长度的测量及时间的测量，
8、测摆长时绝对误差l=l-l0(l 是测量值，l0 是真实值)相对误差是，要减小相对误差，应尽量增大 l,所l l以实验时要用 1 m 左右较长的摆线.测量 n 次全振动所用时间的绝对误差 t=t-t0.周期的测量值 T=，t 是不可避免的，所以要使 T 与 T0接近相等， 应增大0 0ttttTnnnn，本实验 n 在 30 次到 50 次之间.典例剖析例 2用单摆测定重力加速度的实验中，下述说法正确的是（）A.测量摆长时，应该用力拉紧摆线B.单摆的摆线越长，测得的重力加速度越准确C.如果有两个大小相同的带孔空心铁球和实心铁球可供选择，应选用实心铁球作摆球D.为了便于改变摆线的长度，可将摆线的
9、一头绕在铁架上端的圆杆上以代替铁夹解析：为了减小测摆长时的偶然误差，固定好悬点，要让摆球自然下垂，用毫米刻度 尺测出摆线的长度，再用游标卡尺测出球的直径故 A 项不正确由误差分析可知摆长越 长对实验造成的误差越小，故 B 项正确为了尽量减小空气阻力选用体积小密度大的实心 铁球，故 C 项正确摆线的一头应用铁夹固定作为悬点而不应该将绳绕在圆杆上，这样摆 动过程中很容易使摆长改变，给实验造成误差，D 项不正确答案：BC三、实验数据的处理技法讲解本实验可以根据测出的 l、T 数据代入 g=算出 g 值，最后取平均值作为最终结果，224l T也可以根据 T2=l 作出 T2-l 图象，求出图象的斜率
10、k，由 k=求出 g 值.24 g24 g典例剖析例 3某同学在用单摆测定重力加速度的实验中，测量 5 种不同摆长情况下单摆的振动周期， 记录数据见表l/m0.50.80.91.01.2T/s1.421.791.902.002.20T2/s22.023.203 .614.004.84以 l 为横坐标，T2为纵坐标，作出 T2-l 图线，如图所示.请利用此图线求重力加速度.解析：本题考查单摆实验数据的处理方法.公式法：据公式 g=把实际实验中的数据代224l T入，则 g=42n2（l+d/2）/t2，求得各次的 g 值，最后取平均值.图象法：作 T2-l 图象，g由 g=可以知道 T2-l 图
11、象应是一条过原点的直线，其斜率 k 的物理意义是 42/g，所224l T以作出 T2-l 图象后求斜率 k，然后可以求得重力加速度 g=42/k.作出图象如2Tkl上图所示，求得直线斜率 k=4.00,即 g=42/k=4(3.14)2/4.00 m/s2=9.86 m/s2.第三关：训练关笑对高考随 堂 训 练1.针对用单摆测重力加速度的实验，下面各种对实验误差的影响的说法中正确的是（）A.在摆长和时间的测量中，时间的测量对实验误差影响较大B.在摆长和时间的测量中，长度的测量对实验误差影响较大C.将振动次数 n 记为（n+1） ，测算出的 g 值比当地的公认值偏大D.将摆线长当作摆长，未加
12、摆球的半径测算出的 g 值比当地的公认值偏大解析：对于单摆测重力加速度的实验，重力加速度的表达式 g=由于与周期是平224l T方关系，它若有误差，在平方后会大，所以时间的测量影响更大些，选 A.另外，如果振动 次数多数了一次，会造成周期的测量值变小，重力加速度测量值变大，C 也对；若当摆长 未加小球的半径，将使摆长的测量值变小，g 值变小，D 项错.答案：AC2.在“用单摆测定重力加速度”的实验中，用刻度尺量悬点到小球的距离为 96.60 cm，用卡尺量得小球直径是 5.260 cm，测量周期有 3 次，每次是在摆球通过最低点时，按 下秒表开始计时，同时将此次通过最低点作为第一次，接着一直数
13、到计时终止，结果如下 表123数的次数618171时间（s）60.4079.8070.60这个单摆振动周期的测定值是_s，当地重力加速度的值是 _m/s2， （取三位有效数字）.解析：由题可知单摆的周期T1= s=2.013 s60.40 61 1 / 2T2=s=1.995 s79.80 81 1 / 2T3= s=2.017 s70.60 71 1 / 2则周期 T= =2.01 s123TTT 3摆长 l=l+ =(0.966+0.052 6) m=0.992 3 md 21 2故重力加速度g= m/s2=9.69 m/s222224l4 3.140.9923 T2.01答案：2.019
14、.693.利用单摆周期公式测重力加速度时,测出几组摆长和相应周期 T,并作出了 T2-L 图线,如 图所示,已知图象与横轴间的夹角为 ,图线上 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 可以得重力加速度 g=_.解析：令图线斜率为 k,则 k=,由周期公式得,有 g=2 2121yyT xxL22T4 Lg221214xxyy答案：42(x2-x1)/(y2-y1)4.在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议：其中对提高测 量结果精确度有利的是（）A.适当加长摆线B.质量相同，体积不同的摆球，应选用体积较大的C.单摆偏离平衡位置的角度不能太大D.当单摆经过平
15、衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为 单摆振动的周期解析：单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度.适当 加大摆线长度，有利于把摆球看成质点，在摆角小于 10的条件下，摆球的空间位置变化 较大，便于观察，A 对.摆球体积越大，所受空气阻力越大，对质量相同的摆球其影响越大， B 错.摆角应小于 10,C 对.本实验采用累积法测量周期，若仅测量一次全振动，由于球过 平衡位置时速度较大，难以准确记录，且一次全振动的时间太短，偶然误差较大，D 错.答案：AC5.某同学在“用单摆测定重力加速度”时，测得的重力加速度数值明显大于当地的重 力加速度的实际值，造
16、成这一情况的可能原因是()A.测量摆长时，把悬挂状态的摆线长当成摆长B.测量周期时，当摆球通过平衡位置时启动秒表，此后摆球第 30 次通过平衡位置时制动秒表，读出经历的时间为 t，并由计算式 T=求得周期t 30C.开始摆动时振幅过小D.所用摆球的质量过大答案：B6.在利用单摆测定重力加速度的实验中，某同学测出了多组摆长和运动周期，并根据相 应的实验数据作出了 T2l 的关系图象如图所示.（1）由图可判定该同学出现的错误可能是.（2）虽然实验中出现了错误，但根据图象中的数据仍能算出重力加速度，其数值为m/s2.解析：由 T=2知：T2=42=kl（其中 k=） ，作出 T2l 图线，是一条过原点的lgl g24 g直线，k 为图线的斜率，求出 k 后，则可求得当地重力加速度：g=
