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1、1费马点而费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即在 ABC 内求一点 P,使 PA+PB+PC 之值为最小,人们称这个点为“费马点”。 今天我们来探索费马点。首先将三角形分为两种情况: 当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，则费马点就是这个内角的顶点。 下面来验证这个结论:对三角形内任意一点 P,延长 BA 至 C使得 AC=AC，做CAP=CAP，并且使得 AP=AP,PC=PC，即把三角形 APC 以 A 为中心做旋转变换(如图)。 则APCAPC（旋转的不变性） BAC120（已知） PAP=180-BAP-CAP
2、（平角的意义）=180-BAP-CAP（等量代换）=180-BAC60 等腰三角形 PAP中（已知 AP=AP），APPP（PAPAPP） PA+PB+PCPP+PB+PCBC（两边之和大于第三边）=AB+AC（已知AC=AC） 所以 A 是费马点。即之前的结论。 下面探讨第二种情况： 如果三个内角都在 120 度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为 120 度的点。 做ABC 内一点 P，使得APC=BPC=CPA=120，分别作 PA,PB,PC 的垂线，交于 D,E,F 三点（如图），再作一点 P，不与点 P 重合，连结 PA,PB,PC，过 P作 P2H 垂直
3、 EF 于 H。 APB=120，PAB+PBA180120=60 且PAF=PBF=90，F=180（90+9060） 同理可得：D=E=F=60，即DEF 为等边三角形，设边长为 d，面积为 S。 则 S=1/2d(PA+PB+PC) PHPA 1/2dPH2S1/2dPA2S 又1/2dPH=EPF2SEPFdPAS 同理有：2SDPFdPBS，2SEPDdPCS 相加，得：2S(EPF+DPF+EPD)dS(PA+PB+PC) 又EPF+DPF+EPD=EDF 2SSdS(PA+PB+PC)两边同除以 S，得：2Sd(PA+PB+PC) 把 S=1/2d(PA+PB+PC)代入上式可得
4、： PA+PB+PCPA+PB+PC，当且仅当 P,P重合时取到等号。 所以 P 是费马点，即与上述结论相符合。 经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法： 当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在 120 度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为 120 度的点。 初二班林贤昊 费马（PierredeFermat,16011665）是法国数学家、物理学家。费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究也不过是业余之爱好。然而，在 17 世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌。他是解析几何的发明者之一；概率论的主要创始人；以及独承 17 世纪数论天地的人。一代数学大师费马堪称是 17 世纪法国最伟大的数学家。尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者 358 年。
