高中数学史选讲知识提纲

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1、第 1 页 共 4 页第一章数学发展概述 1 从数学的起源早期发展到初等数学形成一、数学的起源，早期发展（p1-p3）主要标志：数的概念、记数系统、算术、几何等初步形成。1.数的概念和计数系统2.经验几何的发展中国最早的数学著作周髀算经中，记载了勾股定理。古埃及在19 世纪中期和末期发现两卷纸草书，一卷是“莱茵德草卷” ，一卷是“莫斯科草卷”。3.算术二、初等数学（常量数学的形成）（ p3-p7）到公元 16 世纪，经过系统整理和理论概括形成初等数学，也就是常说的常量数学。1.希腊（坚持数学中的演绎法和抽象方法）（1）欧几里得 ，著作原本 （中文翻译： 几何原本 ）是数学史上的第一座理论丰碑，

2、其最大的攻绩在于确定了数学中的演绎模式。（2）阿基米德 对面积和体积的计算接近于积分计算。（3）丢番图 的算术是古希腊人在代数方面取得的最高成就，书中不仅解决了许多不定方程，而且开始用一套缩写符号表示代数问题，这为以后符号数学的发展开了先河。2.中国 （ p4-p6） 九章算术可追溯到公元前1 世纪，它是 中国最重要 的数学著作，包含了丰富的数学成果，例如，算术方面的此例算术，盈不足术，代数方面的方程术、正负术、开方术等。（ P4）刘徽 撰九章算术注 ，其中割圆术是极限思想的萌芽。刘徽 和南北朝时期的祖暅 计算球体积的方法是积分学的萌芽。公元 5 世纪的 张邱建 算经 提出了世界著名的百鸡问题

3、。他发了三组答案，他是数学史上发出一题多解的第一人。祖冲之 ，给出了的上下界。南朝孙子算经中有“物不知数”问题，通常称作“孙子问题”即孙子定理 ，中国剩余定理。杨辉 的著作详解九章算经中有一张珍贵的图“开方作法本源图”，也即“贾宪三角，这张图给出了指数为正整数的二次式展开的系数表。西方人把此三角称作“帕斯卡三角形”。 （ p6）宋元一个最深刻的动向是向代数符号化的进展，这就是天元术与四元术的出现。元朝 李治 所著测圆海镜和益古演段是最先阐述天元术的著作（天元术：设未知数列方程的一般方法）。朱世杰 在四元玉鉴中研究了高阶等差极数和内插法，他写的算学启蒙，在这部书中给出了正负数乘除法的法则。3.印

4、度和阿拉伯世界（ p6-p7）在代数方面阿拉伯人的第一个贡献是提供了这个学科名称，来源于数学家和天文学家花拉子米 代数学一书之名，可译为移项和消除的学科。4.欧洲文艺复兴时期这个时期出现了虚数。英国纳皮儿 发明了对数，并在1614 年发展， 1624 年布里格斯 计算出第一批十进位对数表。2 从变量数学到现代数学一、变量数学（p8）1.解析几何的诞生：解析几何的创立是度量数学发展的第一个里程碑，1637 年笛卡尔 著作几何学是这一里程碑的标志。2.微积分： 牛顿 和莱布尼茨 分别独立地建立了微积分，在度量数学的发展中，这是第二个决定性的步骤。二、现代数学1.（1）几何 （p10-p11） 19

5、 世纪上半叶，波约 和罗巴切夫斯基建立了新的几何非欧几何学，几何学发生了本质上的变化。1854 年德国著名数学家黎曼 提出了“几何空间种类无限多”的思想，并指出这些空间可能现实的意义。（2）代数：法国，伽罗瓦（ p10）（3）分析 （ p10-p12）第 2 页 共 4 页德国数学家 康托 ，在 19 世纪末创立了集合论。20 世纪初，数学家希尔伯特 提出了 23 个重要数学问题。20 世纪末，英国数学家维尔斯 解决了“费马大定理” 。2.计算机与数学数学家 图灵 和冯诺依曼 ，被称为“计算机之父”。1976 年 1 月到 6 月， 伊利诺大学的 哈肯 和阿佩尔 借助 3 台计算机运行了一千多

6、个小时终于成功证明了四色猜想。3.数学应用 （ p12） 第二章数与符号的阅读提纲1.十进制（ p14）（1）是现在通用的记数法，叫阿拉伯记数法。准确叫法：印度阿拉伯记数法。（2）传播路径：印度阿拉伯国家欧洲。（3）重要思想是“位值制”。 （ p14）（4）中国、埃及、印度采用十进制（中国是最早采用十进制的国家）巴比伦人采用六十进制；罗马人采用十二进制；玛雅人采用二十进制。练习P15 2.数的扩充重要结论：中国是世界上对负数认识最早的国家，负数是在九章算术中首先出现的。（ p16）（1）历史顺序：正整数分数无理数负数零虚数（复数）（2）无理数：无理数的发现过程中：错误结论：任何两条线段比都是整

7、数的比或者说这个比是有理数。希帕苏斯 （毕达哥拉斯学派）发现：并不是任意两条线段都有一个公共度量，即给定单位线段，存在着不可公度的线段。定理：2 是无理数（证明过程：p16）（3）负数： 1629 年，吉拉尔 在代数新发现中明确主张：负数和正数具有同等的地位，负数可以作为方程的根，负数是正数的相反数。（4） “0”是印度人首先发明的，起初用空位表示“0” 。（5）虚数进程 （ p18-p19） ：婆什伽罗 （印度） 舒开 （法国） 卡尔丹 （意大利） 吉拉特 （荷兰） 笛卡尔 韦塞尔 （挪威） 高斯婆什伽罗 ：第一个遇到虚数的人；卡尔丹 ：第一个认识虚数的人；笛卡尔 ：他造出虚数这个词；高斯

8、：他引进了复数3.数学符号（ p22-p24）文字阶段简写阶段符号阶段 第三章几何学发展史1.从经验几何到演绎几何（p26-p31） （1）古希腊的 泰勒斯 是第一个提出几何学系统化的人，他被同时代的人尊为“希腊七贤”之一。（2）毕达哥拉斯学派：证明了勾股定理，因此，西方人称此定理为毕达哥拉斯定理。（3）几何作图的三大难题：（详见 P28）这三个问题都是不可解的。三大难题：三等分任意角、化圆为方、立方倍积（也叫“倍立方问题”） （ p28）（4）欧几里得 的原本是第一个逻辑结构严谨有体系的几何著作，共13 卷。 （详见 P29）（5）意大利传教士 利玛窦 与数学家 徐光启 合译了原本前6 卷，

9、中译名几何原本 。1847 年，李善兰 译完原本后七卷。（6）欧氏几何要义：给出了“定义”“公理”“公设”“命题（包括作图与定理）”4 种不同的概念。（7） 圆锥曲线论 ：古希腊演绎几何的最高成就，由阿波罗尼奥斯完成，它是继原本后又一本数学巨著。2.投影画与射影几何（p32-p36）布鲁内莱斯基：建立了透视体系。射影几何的诞生：阿尔贝蒂 、帕斯卡 、丢勒 。射影几何的现实意义：把艺术与数学完美的结合在一起。如：达芬奇 的最后的晚餐 、拉斐尔 的圣母的婚礼 。艺术也可促进数学的发展：射影几何的理论是艺术的产物，它的出现引入了新的几何观点和思想。有两种几何，一种是触觉几何（如欧氏几何） ；一种是视

10、觉几何。投影和截影原理。（详见 P35）第 3 页 共 4 页（3）丢勒 ：油画家、版画家、装饰设计家、工程师、科学家、数学家。作品有：为坐着的男人画像 、 为躺着的妇人画像 、 画罐、 画琵琶。3.解析几何（ p37-p39）（1）创始人： 笛卡儿 与费马（2）笛卡儿1637年 6 月 8 日出版方法论 、其中几何学是方法论的附录，这一天是解析几何的诞生日。（3）解析几何要义：一个是坐标思想，另一个是方程与曲线思想。牛顿把这个分支叫作解析几何。（4）解析几何的意义： （详见 P38共 4 点） 第四章数学史上的丰碑微积分 1 积分思想的渊源（ p41-p44）一、积分发展的历史足迹（p41）

11、求积问题就是求图形的面积、体积问题，该问题直到牛顿 和莱布尼茨 建立微积分才从根本上得到解决。求积问题是促使微积分产生的主要因素之一。二、刘徽1.刘徽 是中国古典数学理论的奠基者之一。他的杰作九章算术注和海岛算经是我国宝贵的数学遗产。他是我国最早明确主张逻辑推理的方式来论证数学命题的人。认为数学如“庖丁之理”，应讲求技巧，见简即用。2.刘徽 的割圆术刘徽的割圆术是极限思想的开始，他计算体积的思想是积分学的萌芽。割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。如果在内接正n 边形的每个边上作一高为MN 的矩形， 则2022()nnnnSSSSS， 刘徽得到圆周率3.14

12、， 化成分数是15750微率。2 圆周率（ p46-p48） 一、关于圆周率的定义：圆的周长与圆的直径的比。1761 年， 兰伯特 证明的无理性。1882 年，德国数学家 林德曼 证明是超越数，即不是整系数代数方程的解，这就证明了“化圆为方”问题是不可解的。二、祖冲之与圆周率祖冲之是对圆周率贡献最大的中国数学家。祖冲之 用分数形确定了圆周率的近似值：约率227，密率355133。如果将圆周率表示成连分数，其渐近分数是：322333355103993 , 1710611333102三、圆周率与极限思想1671 年苏格兰数学家 格列高里 利用111 4(1.) 357计算圆周率。1777 年法国数

13、学家 蒲丰 提出随机投针实验计算。 3 微积分（ p50-p54）一、微积分的创立（创始人：牛顿，莱布尼茨）P50 了解背景中的 4 大问题二、牛顿1.流数简论是历史上第一篇系统的微积分文献，反映了牛顿微积分的运动学背景。2.牛顿完成的3 篇微积分论（1） 运用无限多顶方程的分析，简称分析学完成于1669 年。（2） 流数法与无穿级数简称，流数法完成于1671 年。（3） 曲线求积术 ，简称求积术完成于1691 年。1687 年，牛顿 出版了他的力学名著自然哲学的数学原理，简称原理。在原理中最早表述了牛顿创立的微积分学说.因此原理成为数学历史上的划时代名著。 第五章无限（ p58-p69） 集

14、合论的创始人：康托尔1.无限集：有无穷个元素如：自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集。第 4 页 共 4 页2.基数：在集合 A 与 B 之间，若存在一个一一对应则称它们有相同的基数，并称它们是对等的。3.可数集：若一个集合与全体正整数集合之间存在一一对应，则就这个集合是可数集。例如：有理数集与正整数集基数相同，都是可数集。练习：用 u 表示所有以5 结尾的正整数，即5,15, 25, 35,.u，建立 u 与正整数集的一一对应关系。4.不可集数：若一个集合与全体正整数集合之间不存在一一对应，既这个集合是不可数集。例：实数集、实数集(0,1)、无理数集等都是不可数集。注： （1）实数集与

15、正整数集基数不同。（2）不可数集数量大大超过可数集数量。练习：（1）全体偶数多，还是全体正数多？（2）全体有理数多，还是全体正整数多？（3）全体实数多，还是全体有理数多？ 第六章几个数学问题（ p71-p89）一、费马大定理（1）内容：nnnxyz，0xyz，当2n时，方程没有整数解。二、哥尼斯堡七桥问题（1）内容： P （2）解决过程：问题可简化为是否能一笔画成右图。欧拉 结论：（1）七桥问题无解（2）一笔画成的图的条件：没有奇数顶点或者只有2 个奇数顶点。（3）欧拉简介： P 三、高次方程1.中世纪：阿拉伯数学家花拉子米在代数学中取得了二次方程20xpxq的一般求根公式：2() 22ppx

16、q2.（1）约 1515年，波伦亚大学数学教授 费罗 发现了形如3xmxn(,0)m n的三次方程代数解法。（ 2）1545 年， 卡尔丹 在大法中公布了形如320axbxcxd的一般三次方程的解法。（ 3）约 1540 年， 费拉里 （卡尔丹学生）解决了四次方程的解法。3.（1）第一个明确宣布“不可能用根式解四次以上方程”的是拉格朗日 。（2） 1824 年， 22 岁数学家 阿贝尔 在论代数方程，证明一般五次方程不可解性中，严格证明了五次以上的一般方程不可解（详见P80） 。（3）18291831 年，法国数学家伽罗瓦 建立了判别方程式可解的充要条件（某些特殊的高次方程是可解的，但必须满足一些条件）从而彻底解决了方程式可解性。四、中国剩余定理1.内容：什么数除三余二、除五余三、