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1、河海大学 课程论文- 1 -刚体的平面运动刚体的平面运动姓名：姓名： 专业：专业： 学号：学号：摘要摘要本论文主要从刚体的平面运动的运动学和动力学进行研究说明，同时捎带提了一下能量 的问题。在运动学方面，分位移（空间位置） ，速度，加速度进行讲述，其中以相对基点速 度，加速度的推导为重点。在动力学中讲述里刚体平面运动的动力学方程，同时为了简化 刚体平面运动的分析，引入力偶和力偶矩的概念。然后是简洁的给出了刚体平面运动的动 能表达式和动能定理。 接着本论文以滚子的滚动这一简单的刚体平面运动形式给出了实例的运用。 “滚动动摩 擦力偶矩” ， “汽车运动时轮的受力和汽车的极限速度” （驱动力的产生）
2、这都是比较接近现 实生活的。虽然本文在这两方面的论述比较粗糙，但就分析刚体的平面运动和理解滚动摩 擦却是很有意义的。虽然能量不是本文的重点，但作者认为这却是很重要的思想方法，是 一种物理修养。所以在实例分析中给出力一道常见的大学物理题的分析讨论。相信这一似 乎离题的讨论能给我们一些启示。正文正文平面平行运动是指刚体在运动时，其上各点离某固定平面的距离始终保持不变。也就 是说，刚体内任一点始终在与固定平面平行的某一平面内运动。（一）刚体平面运动方程（一）刚体平面运动方程取刚体内一点 A 作为基点，设过 A 点且平行于刚体运功的平面的平面截刚体为 S(如 图 1)。在 S 内作射线 AB（如图 2
3、） 。刚体内各点相对射线 AB 的位置是固定的，只需确定AB 就可以确定刚体内所有的点。AB 可由 A 地坐标()及 AB 与 x 轴的夹角来确定。AAyx ,1.位移位移当 S 运动时，时 t 的单值连续函数AAyx ,（1） )()()(321 tftftfrAr这就是刚体平面运动的运动学方程。质点运动方程 )()(21tftfrAr刚体绕定轴转动的运动学方程)(3tf从而得刚体的平面运动可分解为随基点 A 的移动xSy图（1）河海大学 课程论文- 2 -和绕 A 的转动。 说明：转角与基点地选择无关如图（3） ，AB 是 S 中任意一直线，在 A,B 分别建立移动的坐标系和，当 S 11
4、,yxA 11,yxB运动时 AB 与两移动坐标系的夹角是相同的，可以推断：在同一瞬时，图形绕任一基点的 转动不但转角是相同的，而且角速度，角加速度也各相同。2.速度速度 S 内任意二点 A,B。设 A 为基点两边同时对 t 求导ABABrrrrrr其中dtrd dtrd dtrdABABrrr ABrABrABABrkrrdtrd dtrdrrrrr&rr ee)e(所以（2）ABABrvvrrrrB 点的速度为基点 A 的速度和 B 相对 A 的速度两矢量和。3.加速度加速度两边同时对 t 求二阶导ABABrrrrrrrABBBABABeedtededtd dteddtedraadtrd
5、dtrd dtrdr&r&r &r&r&r&rrrrr2222222 其中SAB图（2）AB1y1x2y2x图（3）河海大学 课程论文- 3 -所以（3）rABABBBereraar&rr&rrr2B 点的加速度为基点 A 的加速度和 B 相对 A 转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。（二）刚体平面运动的动力学（二）刚体平面运动的动力学1.动力学方程动力学方程 如图（4） ，在 O 系中对刚体应用质心运动定理（4）camFrri得投影式 cxmaFixcymaFiy在从 C 系研究刚体绕轴的角动量z表示作用于各质点诸力对 C 点外力外zMir矩的矢量和。此外所有质点受惯性力camr再考虑到诸
6、质点所受惯性力矩其中惯性力dtLdamrMciz )(irrr外矩可写为ci ciammramrrrrr )(右方的为质心系中质心的位置矢量，mmri r当然为零。所以dtLdMz外ir运用于刚体，刚体对轴角动量对时间的变化率即所以zzzI（5）zzzIM外ir即作用于刚体各力对质心轴的合力矩等于刚体对该轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积，z叫做刚体对质心的转动定理。 （4） （5）两式合起来给出了刚体平面运动的基本动力学方程。 刚体的力学特征 根据（4）式作用于刚体上的力使质心加速运动，根据（5）式它对质心轴的力矩使刚体产 生角加速度。因此作用与刚体的力有两种力学效应。从而在分析刚体的平面运动
7、时可以从Cyxx图（4）河海大学 课程论文- 4 -等效出力的这两种效果出发使问题变得清晰简单。2.力偶和力偶矩力偶和力偶矩 大小相等方向相反彼此平行的一对力叫力偶。 因其矢量和为零，故对质心运动无影响。二 力对质心轴力矩之和为FrMBArrr力矩大小等于力偶中一力与力偶臂乘积而方 向与力偶中而力成右受螺旋者称作该力偶的 力偶矩。因此我们可以用力偶矩来表示刚体 收到的转动作用，而不对质心产生影响。 考虑到作用于刚体的力的两种效果和力偶矩 的概念，如图（5） ，作用于刚体的力等效于 一作用线通过质心的力和一力偶矩，这力的大小和方向与原力相同，而力偶矩等于原力对 质心轴的力矩。（三）刚体平面运动的
8、动能（三）刚体平面运动的动能 按克尼希定理式 2 i2m21m21iCKvvE可得刚体平面运动动能等于随质心平动动能和刚体相对质心系的动能的和22 21m21CCKIvE根据质点系动能定理，质点系动能增量等于一切内力和外力做功的代数和。对刚体来说， 内力做功的代数和为零，故对于刚体的平面运动，动能定理为)21m21(22CCIvA实例分析实例分析在水平面上滚动的圆柱形的滚子的运动是典型和常见的刚体平面运动的实例，但同时却有 重要意义。 1.滚动摩擦力偶矩滚动摩擦力偶矩 滚动体放在支持面上，滚动体和支持面都会发生形变。当滚动体静止时形变对称如图（6） ， 当滚动体滚动时，如图（7） ，后边的形变
9、略低于前方，前面的支撑面凸起，形变不对称，支撑面对滚动体的作用力前移，作用力为，力分解为竖直分力和水平分力，NFrNFrNFrNFr近似与公切面垂直可看做弹性支持力；力近似与公切面平行，可看做静摩擦力。它NFrNFr们的效果为作用于 O 的力 和附加力偶矩。附加力偶矩起阻碍滚动体滚动的作用，称滚NFrCFCFzM图（5）河海大学 课程论文- 5 -动摩擦力偶矩，大小记作用表示原来力与 O 的垂直距离，则滚MNFrNM滚可见滚动摩擦力偶矩与滚动体和支撑面间的正压力成正比，比例系数为滚动摩擦因数，它有长度的量纲。取，r 表示滚动体滚过时的曲率半径，称作滚动阻力因数。r/它与滚动快慢，轮与支撑面材料
10、和形变程度均有关，表（1）列出了常见汽车轮在几种典型路面上的值表（表（1）路面类型良好的沥青或混凝土路面0.0100.018一般的沥青或混凝土路面0.0180.020坑洼的卵石路面0.0350.050泥泞土路（雨季或解冻）0.1000.250结冰路面0.0100.030数据选自于志生主编汽车理论我们常说，滚动摩擦比滑动摩擦小。其实它们一是力偶矩一各是力，不好直接比较。但可 在另一意义下比较。如图（9）表示沿水平方向用力 F 拉滚子，当作用与转轴时WWrFrFFNf当力作用于滚子的边缘如（10） ，则滚子只能平动。 若速度不变，则WFFNF 和都是力。因为,因而 F,即因FF一般来说滚动阻 力因
11、数比滑动摩擦因数小，使滚子滚动比令它平移省力。ONFWNFOWPFM滚图（6）ONFWPFNF图（7）图（8）图（9）NFOWPFM滚FONFW 图（10）F河海大学 课程论文- 6 -2.汽车运动时轮的受力和汽车的极限速度汽车运动时轮的受力和汽车的极限速度 汽车有驱动轮和被动轮。前者受力的驱动，后者起支持作用并跟 着转动。卡车驱动轮在后，小座车驱动轮在前，越野车前后轮均 为驱动轮。 如图（） ，滚子相当于被动轮，按力矩平衡条件得出静摩擦力为WWrFrFNf极小，也较小。如图（）一半径为 r 的驱动轮的fF受力情况，车身对轴作用着向下的压力NF及向后的阻力。设轮匀速滚动，对质心轴有F0rFMM
12、f滚驱得rMMFf/ )(滚驱我们把成为汽车的牵引力。由次可知汽车的驱动力来自驱动轮所受的向前的静摩擦rM/驱力。汽车行驶时所受空气阻力可表示为，S 和 v 各表示汽车的横街面积和速率，2 21SvCFDf为空气密度，称为空气阻力系数。DC已知桑塔纳汽车横街面积为 1.89m2，空气阻力系数为 0.425，发动机功率 60kW，内部传动机械能损失 10%，空气密度为 1.225。现研究该车沿水平路面行驶的最大速度。42/msN取汽车发动机燃烧物以外的整体汽车为质点系。设车匀速行驶则0内外AA分别用和 表示外，内力功率之和，有。前者含发动机燃外P内P0内外PP烧生成的功率，滚动摩擦力偶矩的功率和
13、空气阻力功率。WPk60发3 max21SvCPD阻内力中各阻力之负功使能量损失 10%，余下。略去滚动摩擦的功，有kWP609 . 0发km/h107 . 1)/2(0212 max3/1 max3 maxvSCPvSvCPDD代入数据得得发发即每小时 170km。如考虑滚动摩擦，车速将小于次值。 车速和发动机转速及传动比均有关，发动机的功率和发动机转速也有关系，这是需要在技 术上研究的。本讨论的估算是有意义的，它给出了汽车运动中能量分配的基本概念，在设 计上有参考价值。NFCWFWfF2NF滚M驱M图（10）河海大学 课程论文- 7 -3.刚体平面运动的动能运用刚体平面运动的动能运用 在不
14、考虑滚动摩擦时证明下图系统微小的位移后是简谐振动 各物理量为在图（）上标的值用能量的方法：根据公式（2）求得各点速度关系ABABrvvrrrr再根据能量守恒得0)()4444(0)4444()(0)4444()(221 221 221 221 21 21 212121 22 2121 22 21 2121 22 21 21222122212 22 12 xkkxMmm RI RIxmm RI RIxkkxMxxmm RI RIxxkkxxMxCvmvmRvIRvIxkxkMv求导得上式对所以是简谐振动同时也可以用受力分析的方法0)()4444()()()(222121 22 2121210 2
15、2202220 111011100 xkkxMmm RI RIMaffFxkkFRaIRffamffRaIRffamffaavv板所以是简谐振动M1m2m1k2kV 2v 1f1f1fF 2f河海大学 课程论文- 8 -结论结论刚体的平面运动可分解为刚体的平动和刚体的定轴转动。在研究刚体的运动学是可以选取 刚体上比较特殊和好研究的一点作为基点，然后把其他点的运动看做是其绕之一基点的转 动和基点运动的合成。 对刚体的平面运动的动力学分析中刚体满足质心运动定理，同时刚体对质心的转动与刚体 定轴转动的定理形式相同，即有刚体对质心的转动定理。刚体平面运动的动能满足克尼希定理式。其表达式是22 21m21CCKIvE参考文献参考文献漆安槙，杜婵英。普通物理学教程。力学。2 版。北京：高等教育出版社，
