《高等几何考试试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等几何考试试卷（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 浙江省 2002 年 4 月高等教育自学考试 高等几何试题 课程代码： 10027 一、填空题 (每空 2 分，共 20 分) 1._，称为仿射不变性和仿射不变量. 2.共线三点的简比是_不变量 . 3.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一 _. 4.点坐标为 (1， 0，0)的方程是 _. 5. uu12 22=0 代表点 _的方程 . 6.已知共线四点A、B、C、D 的交比 (AB ，CD)=2 ，则 (CA ，BD)=_. 7.对合由 _唯一决定 . 8.二阶曲线就是 _的全体 . 9.证明公理体系的和谐性常用_法. 10.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线
2、叫做_直线 . 二、计算题 (每小题 6 分，共 30 分) 1.求直线 x- 2y+3=0 上无穷远点的坐标。2.求仿射变换xxyyxy71424的不变点 . 3.求四点 (2，1，- 1)，(1，- 1， 1)，(1，0，0)， (1，5，- 5)顺这次序的交比. 4.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束x1- x3=0 与 x2-x3=0 (=12)所决定的 . 5.求二次曲线2x2+xy - 3y2+x- y=0 的渐近线 . 三、作图题 (每小题 6 分，共 18 分) 1.给定点 A、 B，作出点C，使 (ABC)=4. 作法：2.过定点 P，作一条直线，使通过两条已知直线的不可
3、到达的点. 作法：2 3.如图，求作点P 关于二次曲线的极线作法：四、证明题 (第 1、2 题各 10 分，第 3 小题 12 分，共 32 分) 1.设 P、Q、R、S 是完全四点形的顶点，A=PSQR,B=PR QS,C=PQRS,证明A1=BCQR,B1=CA RP, C1=AB PQ 三点共线 . 证明：2.过二次曲线的焦点F，引两条共轭直线l,l，证明ll. 证明：3.将 ABC 的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形(图 甲)，求证它的三双对顶连线共点。证明 (按以下程序作业)：第一步：将 ABC 仿射变换为等边A BC(图乙 )，为什么这样变换存在?
4、 第二步：在图乙中，画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地变成怎样的命题。第三步：证明：变换后的相应命题成立。这样原来命题也就成立，为什么? 3 浙江省 2002年 4 月自考高等几何试题答案 课程代码： 10027 一、填空题 (每空 2 分，共 20 分) 1. 经过一切透视仿射不改变的性质和数量2. 仿射3. 仿射变换4. u1=0 5. (1，1，0)、(1，- 1，0) 6. - 1 7. 两对不同的对应元素8. 两个射影线束对应直线交点9. 模型10. 分散二、计算题 (每小题 6 分，共 30 分) 1.解：化为齐次式x1- 2x2+3x3=0,以 x3=0 代入得x1-
5、2x2=0，x1=2x2或x2=1 21x无穷远点坐标为(2， 1，0) 2.解：由xxyyxy71424得610440xyxy解此方程，得不变点为(,)1223.解：以 (2，1，- 1)和(1，- 1， 1)为基底，则 (2， 1，- 1)+1(1,- 1,1)相当于 (1，0，0) 211010111得1=1 又(2，1，- 1)+2(1,- 1,1)相当于 (1，5，- 5) 211515222得2=-32所求交比为12234.解：=12(1) 4 将 x1- x3=0, x2-x3=0 中的， ，代入 (1) 得xxxxxxxxxx2313131313122得x2(x1+2x3)-
6、x3(x1- x3)=0，化简，即得所求的二阶曲线方程x xx xx xx12231332205.解：系数行列式21212 1 231 2 12120A31=54, A32=54, A33=-254, 因此中心坐标=-15,=-15. 由2X2+XY - 3Y2=0，即(2X+3Y)(X - Y)=0. 得2X+3Y=0 X- Y=0. (1) 将X=x+15Y=y+15代入 (1) 得2x+3y+1=0 x- y=0 即为所求的渐近线方程三、作图题 (每小题 6 分，共 18 分) 1.作法：(ABC)=AC BC4 1，ACBCBC31, 即ABBC=3 . 在 AB 延长线上，作点C，使
7、 BC=1 3AB 2.作法： (利用代沙格定理)：任取线束S，设束中两条直线交a 于 A，C，5 交 b 于 A， C；连直线 PC，PC分别交线束S的第三条直线于B，B；直线 BA 和 B A的交点Q 与点 P 的连线，即为所求的直线. 注： 1文字，2也可利用巴卜斯定理；或完全四点形调和性质作图. 3.作法：过P 点任引两直线，使与分别交于A、B 及 C、D，设 Q=AC BD ，R=AD BC，那么直线 QR 即为所求的极线. 四、证明题 (第 1、2 题各 10 分，第 3 小题 12 分，共 32 分) 1.证明：在 ABC 及 PQR 中，AP、BQ、CR 共点 S. 对应边的交
8、点C1=AB PQ，B1=CA RP, A1=BCRQ 三点共线2.证明：已知F 为焦点， l，l为由 F 所引的二共轭直线，按其点定义，两迷向直线FI，FJ 是二次曲线的切线. 从而(FI，FJ，l， l)=- 1，所以ll3.第一步，任意两三角形，总存在仿射变换，使其中一个三角形仿射变换为另一三角形. 第二步：正三角形的每边三等份，每一分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形，求证它的三双对顶的连线共点. 第三步：由A作 BC边上的高线AS， ABC是正三角形，由对称性可知K， N在 AS 上 .同理 J、 M与 PL也分别在过点B、 C所作的高线上，因为 ABC的三高线共点，所以六边形JKLMNP的三对顶点的连线共点. 正三角形的垂心和重心是合一的，由于仿射变换构成变换群，且同素性和接合关系以及三角形的重心是仿射不变性，所以原命题也成立.
