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1、代数不等式的解法代数不等式的解法例题例题例例 5-3-15-3-1 解不等式 16x+x4-x516。解解 原不等式可同解变形为x5-x4-16x+160。左边分解因式，得同解不等式(x-1)(x2+4)(x-2)(x+2)0用数轴标根法，得不等式的解集为x|-2x1 或 x2。注注 解实系数一元高次不等式，可先把最高次项的系数化为正数，并使 右边为 0，再通过因式分解，将左边变形，最后用数轴标根法求解集。例例 5-3-25-3-2 (1)已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c0 的解集为(-，) (，+)。求 ax2+bx+c的解集，并说明 b 的取值范围 a，c 的关系；(2)若 a0，
2、解不等式(a-1)x2+b(2-a)x-b20。解解 (1)由题设知，a0。所以，(x-)(x-)0由此可知，当 时，不等式 ax2+bx+c0 的解集为x|x； 当 = 时，不等式无解。又由题设 a0，且 b2-4ac0，即 b24ac。因此，当 c0 时，有 4ac0，这时 b 可取任意实数；当 c0 时，则 4ac0，这时(2)由于 a0，从而 a-10，故所给不等式同解于若 b=0，此不等式即为 x20。这时无解；解集为注注 解一元二次不等式时，应充分利用二次函数的图象，通过形数结合， 提高解题的速度。解解 法一 移项、化简，原不等式同解于(x+1)x(x-1)(x-3)0由下图可知，
3、原不等式的解集是x|-1x0 或 1x3法二 原不等式同解于不等式组故()的解集为x|1x3；()的解集为 x|-1x0。从而所求解 集为x|1x3x|-1x0=x|1x3 或-1x0注注 将不等式同解变形为不等式组时，要注意区分解集的“交”、“并” 关系。例例 5-3-45-3-4 解下列不等式：解解 (1)原不等式同解于不等式组解不等式组()，得 0x1，()无解。故原不等式的解集是x|0x1(2)令 t=x2-x，则原不等式化为此不等式的允许值集确定于不等式组另一方面，不等式(i)可化为注注 解含根式的不等式，关键在于去掉根号，使之化为有理不等式。去 掉二次根号的常用方法是平方法，有时也
4、采用变量代换的方法或配成完全平 方的方法。无论采用哪种方法，都要注意转化的同解性。例例 5-3-55-3-5 解下列不等式：解解 (1)原不等式可化为(2)原不等式的允许值集为x|x3。原不等式可化为两边立方，得化简并整理后即为解前一不等式组得 x4；后一不等式组无解。故原不等式的解集为 x|x4。例例 5-3-65-3-6 解关于 x 的不等式：当 a0 时，由(i)得 t1-a0，即当 a=0 时，(i)无解；于是，当 a1 时，(i)无解。综上所述，当 a0 时，原不等式的解集为当 a=0 或 a1 时，原不等式无解。注注 本例既涉及变量代换，又涉及参数的讨论，综合性较强，但并不需 要高超的技巧，按常规方法即可解决。关键是变量代换，难点是严间，要认真领会。
