《数学归纳法(高三学案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学归纳法(高三学案)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1数学归纳法复习学案1、用数学归纳法证明命题的步骤为:验证当 n 取第一个值0n时命题成立,这是推理的基础;假设当 n=k),(0*nkNk时命题成立.在此假设下,证明当1 kn时命题也成立是推理的依据. 结论. 3 2、探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）：观察,归纳,猜想,推理论证. 3、特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证0nn 时成立,注意0n不一定为 1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由 k 到 k+1 时项的变化（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（2）归纳递推是
2、证明的难点，应看准）归纳递推是证明的难点，应看准“目标目标”进行变形；进行变形；（3）由）由 k 推导到推导到 k+1 时，有时可以时，有时可以“套套”用其它证明方法，如：比较法、分析法用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法等，表现出数学归纳法“灵活灵活”的一面的一面用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等恒等式、不等 式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等 6) 12)(1(21222nnnnL题型一：对数学归纳法的两个步骤的认识题型一：对数学归纳法的
3、两个步骤的认识 1、已知、已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n=k（2k且为偶数）时命且为偶数）时命题为真，题为真， ，则还需证明（，则还需证明（ ）A.n=k+1A.n=k+1 时命题成立时命题成立 B.B. n=k+2n=k+2 时命题成立时命题成立 C.C. n=2k+2n=2k+2 时命题成立时命题成立 D.D. n=2n=2（k+2k+2）时命题成立）时命题成立解析解析 因因 n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因 k k 的下一个偶数是的下一个偶数是k+2k+2，故选，故选 B
4、B【名师指引名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n 的范围以及递推的范围以及递推的起点（的起点（2）观察首末两项的次数（或其它）观察首末两项的次数（或其它） ，确定，确定 n=k 时命题的形式时命题的形式)(kf（3）从）从) 1( kf和和)(kf的差异，寻找由的差异，寻找由 k 到到 k+1 递推中，左边要加（乘）上的式子递推中，左边要加（乘）上的式子2、用数学归纳法证明不等式、用数学归纳法证明不等式24131 21 11nnnnL的过程中，由的过程中，由 k 推导到推导到 k+1 时，不等式左边增加的式子是时，不等式左边增加的
5、式子是 解析解析求求)() 1(kfkf即可即可当当 n=k 时，左边时，左边kkkk1 21 11L，n=k+1 时，左边时，左边) 1() 1(1 31 21 kkkkL,故左边增加的式子是11 221 121 kkk，即)22)(12(1 kk题型二、证明代数恒等式题型二、证明代数恒等式1、已知*Nn,证明:nn21 121 41 31 211 nnn21 21 11 .1.证明:用数学归纳法证明.(1)当1n时,左边=21 211,右边21,等式成立;(2)假设当kn 时等式成立,即有:kk21 121 41 31 211 kkk21 21 11 .那么当1 kn时,左边=) 1(21
6、 1) 1(21 21 121 41 31 211 kkkkkkk21 21 11 ) 1(21 121 kk 121 21 31 21 kkkk) 1(21 11kk2 2) 1(1 1) 1(1 kk) 1() 1(1 ) 1(1 kkkk=右边;所以当1 kn时等式也成立.综合(1)(2)知对一切*Nn,等式都成立.思维点拨：仔细观察欲证等式的结构特征,在第二步证明当1 kn时向目标式靠拢 是关键.变式：是否存在常数变式：是否存在常数 a、b、c，使等式，使等式)(12) 1() 1(32212222cbnannnnnL对一切正整数对一切正整数 n 都成立？证明你的结都成立？证明你的结论
7、。论。【解题思路解题思路】从特殊入手，探求从特殊入手，探求 a、b、c 的值，考虑到有的值，考虑到有 3 个未知数，先取个未知数，先取 n=1,2,3,列列方程组求得，然后用数学归纳法对一切方程组求得，然后用数学归纳法对一切Nn，等式都成立，等式都成立解析解析 把把 n=1,2,3n=1,2,3 代入得方程组代入得方程组 7039442424cbacbacba ，解得，解得 10113cba ，猜想：等式猜想：等式)10113(12) 1() 1(32212222nnnnnnL对一切对一切Nn都成立都成立下面用数学归纳法证明：（下面用数学归纳法证明：（1）当）当 n=1 时，由上面的探求可知等
8、式成立时，由上面的探求可知等式成立（2）假设）假设 n=k 时等式成立，即时等式成立，即)10113(12) 1() 1(32212222kkkkkkL则则222222)2)(1()10113(12) 1()2)(1() 1(3221kkkkkkkkkkL2)2)(1()2)(53(12) 1(kkkkkk)2(12)53(12)2)(1(kkkkk10) 1(11) 1(312)2)(1(2kkkk所以当所以当 n=k+1n=k+1 时，等式也成立时，等式也成立综合（综合（1 1） （2 2） ，对，对Nn等式都成立等式都成立【名师指引名师指引】这是一个探索性命题，这是一个探索性命题， “归
9、纳归纳猜想猜想证明证明”是一个完整的发现问是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式题和解决问题的思维模式题型三、证明不等式题型三、证明不等式1. 用数学归纳法证明下述不等式；).2,(109 31 31 21 11nNnnnnn且L分析：分析：一般与自然数 n 有关的不等式问题可以应用数学归纳法来证明，证明过程中特别要主要项的变化.证明证明: 当 n=2 时，左边，109 6054 6057 61 51 41 31当 n=2 时，不等式正确；. 假设当不等式正确，即，2)2( kkn109 31 21 11kkkL当时，左边1 kn331 231 131 31 31 21 kkkkkkL11
10、331 231 131)31 31 21 11(kkkkkkkkL，109)331 231()331 131(109 332 231 131 109kkkkkkk当时不等式也正确；1 kn根据知对，且，不等式都正确. 2 ,1 Nn2n点评：点评：在的证明过程中还需要熟练运用不等式证明的一些技巧，有时有一定的难1 kn度，不过必须注意，不是所有的与正整数 n 有关的不等式证明都能用数学归纳法证明成功.2. 求证：2121 31 211nnL（ Nn）2.证： 1n时 左211右 假设kn 时 成立即：2121 31 211kkL当1 kn时左121 121 21 2121 21 121 211
11、1kkkkkkkLLL21 21 2122 2121 121 121 21111kkkkkkkkkL3即：1 kn命题成立综上所述 由对一切 Nn命题成立.题型四、证明整除问题题型四、证明整除问题在高考难度范围内，整除问题并不多见，如果与正整数 n 有关的整除问题，在教材的范围内一般只有用数学归纳法解决.1、用数学归纳法证明：能被 6 整除.)(53Nnnn分析：分析：对于多项式 A、B,如果 A=BC，C 也是多项式，那么 A 能被 B 整除，若 A 与 B 均能被 C 整除，则 A+B,A-B 也能被 C 整除. 证明：证明：.1.时，13+51=6 能被 6 整除，命题正确；1n. 假设
12、时命题正确，即能被 6 整除，2kn kk53当时，1 kn)5()55() 133() 1(5) 1(3233kkkkkkkk，6) 1(3kk两个连续的整数的乘积是偶数，能被 6 整除，) 1( kk) 1(3kk能被 6 整除，即当时命题也正确，6) 1(3)5(3kkkk1 kn由知命题时都正确. 2 ,1 Nn点评：点评：用数学归纳法证明整除问题，在的证明过程中应首先考虑拼凑出1 kn“归纳假设” ，然后再想办法证明剩余部分.题型五、证明函数内比较大小题型五、证明函数内比较大小1、设 f(k)满足不等式Nkkxxk1223loglog1 22的自然数 x 的个数（1）求 f(k)的解
13、析式；（2）记)()2() 1 (nfffSnL，求nS的解析式；（3）令NnnnPn12，试比较nS与nP的大小。1.解：（1）原不等式kkkkkkkkxxxxxxxxx 220222302232301111211 1212211kkkkf（2）12222)()2() 1 (110nnnfffSnn nLL（3）22nPSn nnn=1 时，; 01221；n=2 时，; 02222 n=3 时，; 03223；n=4 时，; 04224n=5 时，; 05225；n=6 时，; 06226猜想：5n时nnPS 下面用数学归纳法给出证明（1） 当 n=5 时，55PS ，已证（2）假设5kk
14、n时结论成立即22 ,kPSk kk那么 n=k+1 时，112kkP而2112122222kkkkk在5k范围内，0212k恒成立则2212 kk，即11kKPS由（1） （2）可得，猜想正确，即5n时，nnPS 综述：当 n=2,4 时，nnPS 当 n=3 时，nnPS n=1 或5n时，nnPS 。题型六、解决数列问题题型六、解决数列问题归纳猜想证明是高考的重点内容之一，数列是定义在 N*上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳法的原理实质是一样的，所以数列中许多问题常用到数学归纳法证明。而中学学习归纳法的主要用途就是用来解决数列问题.41、设数列的前项和为，且 nannS)23(212nnaSnn*()nN（1） 求；321,aaa（2） 求数列的通项公式 na1、解：、解：（1） 容易求得：
