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1、上海交通大学上海交通大学 董占海董占海1 1第第 11 章 静电场章 静电场11.1 库仑定律库仑定律 11.2 电场强度电场强度 11.3 高斯定理高斯定理 11.4 环流定理与电势环流定理与电势 1. 静电力的功静电力的功 2. 环路定理环路定理 3. 电势能、电势差和电势电势能、电势差和电势 4. 电势的叠加原理电势的叠加原理 5. 等势面和电势梯度等势面和电势梯度上海交通大学上海交通大学 董占海董占海2 2BAdAAdrqq 0BAr1r12 02 04)r-r(qqBA11 400ArBrAqq0B特点：特点：A 只与只与 q0 的起点和终点位置有关而与所经路径无关的起点和终点位置有
2、关而与所经路径无关 点电荷的情况点电荷的情况1. 静电力的功静电力的功drrqqdA2004上海交通大学上海交通大学 董占海董占海3 3 点电荷系的情况点电荷系的情况 n1iiEE由场强的迭加原理由场强的迭加原理: l dEqAini0BA 1 n1i0)11(4iBiAi0 r-rqqir iierq ni12 04特点：特点：A 只与只与 q0 的起点和终点位置有关而与所经路径无关的起点和终点位置有关而与所经路径无关结论：静电场力为保守力结论：静电场力为保守力上海交通大学上海交通大学 董占海董占海4 42 环路定理环路定理 ( circuital theorem) 0ll dE静电场中，电
3、场强度沿任意闭合路径的环流为零静电场中，电场强度沿任意闭合路径的环流为零意义：是静电场满足的另一个基本方程意义：是静电场满足的另一个基本方程0ll dF0 l0l dEq上海交通大学上海交通大学 董占海董占海5 5静电场的性质静电场的性质: 电场线不可能是闭合电场线不可能是闭合“Grass Seeds”上海交通大学上海交通大学 董占海董占海6 6Q: 如图电场是静电场吗？如图电场是静电场吗？上海交通大学上海交通大学 董占海董占海7 7电势能（差）设电势能（差）设WP 和和 WP0 分别表示电荷分别表示电荷 q0在起点在起点P和终点和终点P0处的电势能，则定义：处的电势能，则定义：ldEqWW0
4、PPPP00PWPP0WP03. 电势能，电势差和电势电势能，电势差和电势电荷电荷 q0电势能的减少等于静电力所做的功电势能的减少等于静电力所做的功上海交通大学上海交通大学 董占海董占海8 8电势(差电势(差)(Electrostatic Potential)电势的减少电势的减少(电势差电势差/电压电压)等于移动单位正电荷静电力所做的功等于移动单位正电荷静电力所做的功00PPPPl dEVVP P0 0P P单位正电荷的电势能称为电势电场线指向电势降低的方向单位正电荷的电势能称为电势电场线指向电势降低的方向上海交通大学上海交通大学 董占海董占海9 9若规定电势能零点：若规定电势能零点：W（P0
5、）= 0，则场中任一点，则场中任一点P的电势的电势(能能)0 0qWPPl dE若源电荷为有限大小，常以无限远为电势能零点若源电荷为有限大小，常以无限远为电势能零点0)(UPpl dEP电势（能）零点（电势（能）零点（ Reference Point ）*PWP0WP0=0电荷电荷 q0在某点的电势能将其移动到零电势能点处 静电力所做的功在某点的电势能将其移动到零电势能点处 静电力所做的功上海交通大学上海交通大学 董占海董占海1010例例*：在带电量为在带电量为Q 的点电荷所产生的静电场中，电量为的点电荷所产生的静电场中，电量为q 的点电荷在的点电荷在a 点处的电势能。点处的电势能。解：解：r
6、erQE2 041 Qq ldEqAW aaaldrddrrQqar112 040 0rQ qW4 选取合适的积分路径选取合适的积分路径0WrdEqAW aaar上海交通大学上海交通大学 董占海董占海1111例：求点电荷电场的电势分布例：求点电荷电场的电势分布rqVP 0 04 PldEVPrderqrP2 041 drrqP2 041 0V电势沿着电力线的方向降落电势沿着电力线的方向降落上海交通大学上海交通大学 董占海董占海1212 RRrdrEdrEU211Rqo4rqdrrqdrEUoror44222 Rodrrq24qR例例例例: : : 半径为: 半径为R的均匀带电球面，带电量为的均
7、匀带电球面，带电量为q。求电势分布。求电势分布。解：解：解：解：0E 1224rqEo球外电势球外电势（rR)球内电势球内电势)(Rr 取 零电势点：取 零电势点： r=，U=0, 则则上海交通大学上海交通大学 董占海董占海1313 RRrdrEdrEU211RrRq RqrRRqooo8)3( 4)(822 22 3rqdrrqdrEUoror44222RrRoodrrqdrRqr2344qR例例例例* * * *( ( ( (p149)p149)p149)p149): : : 半径为: 半径为R的均匀带电球体，带电量为的均匀带电球体，带电量为q。求电势分布。求电势分布。解：解：解：解：31
8、4RqrEo224rqEo球外电势球外电势（rR)球内电势球内电势)(Rr 取 零电势点：取 零电势点： r=，U=0, 则则上海交通大学上海交通大学 董占海董占海1414例例、 半径为、 半径为 R的无限长带电圆柱，电荷体密度为，求离轴为的无限长带电圆柱，电荷体密度为，求离轴为r处的处的 U=？R.pr解解：由高斯定理求得各处的电场：由高斯定理求得各处的电场 Rr r r2RERr o2 r r2o 0Uppl dEU设设r, U= 0Rr PprdEU 设设 r= R处，处，U= 022oRrorR2drr2URr 0r = 0处，处，2oR2 RrRUopln22U= Umax =drr
9、2RPo2 po2rln2R rRln2Rdrr2RrdEU o20UPRro2 p r2E o 上海交通大学上海交通大学 董占海董占海1515rUR思考思考：两个同心圆柱筒的电势分布如何？：两个同心圆柱筒的电势分布如何？R.pr上海交通大学上海交通大学 董占海董占海1616例例例例* * * * ( ( ( (p151):p151):p151):p151):求无限长均匀带电直线外任一点P的电势。(电荷密度求无限长均匀带电直线外任一点P的电势。(电荷密度 ) )解：解：解：解：drrl dEUoorrorr 2drrl dEUoorrorr 2rEo 2rEo 2rrrrrooo orr oo
10、ln2)ln(ln2ln2 rrrrrooo orr ooln2)ln(ln2ln2 如果势能零点在如果势能零点在ro =1mrUoln2Pr ra上海交通大学上海交通大学 董占海董占海1717qnq1q2q3Pr1 r2r3rnEnEEEE210pppl dEV0)(21ppnl dEEE000 321ppppppl dEl dEl dEnpVVVV214. 电势的叠加原理电势的叠加原理电荷系的电势等于各点电荷单独存在时电势的叠加电荷系的电势等于各点电荷单独存在时电势的叠加电势叠加原理电势叠加原理上海交通大学上海交通大学 董占海董占海1818rqVP 0 04点电荷系电势点电荷系电势iini
11、rqV0 041P 点电荷电势点电荷电势上海交通大学上海交通大学 董占海董占海1919例：例：连续分布的带电体系连续分布的带电体系 QQPPrdqdVV04rqdVP 04d 上海交通大学上海交通大学 董占海董占海2020例：例：例：例：A rod of length located along the x-axis has a uniform charge and a total charge Q. Find the electric potential at a point Palong the y-axis a distance dfrom the origin.yPdLxxdqdxr解
12、解：Charge elements dq= dxrdqdV04LdxdxV022 04 ddLL LQ220ln422 04dxdx 上海交通大学上海交通大学 董占海董占海2121例例例例* *( (p p147147 ) ): : 均匀带电圆环，带电量为均匀带电圆环，带电量为q，半径为，半径为R，求轴线上任意一点的，求轴线上任意一点的P电势。电势。解解解解：PxxaPxxadlRqdldq2dlRqdldq2Rrqdl rdqdVoo284Rrqdl rdqdVoo284r rRrRqdlRrqdVVoLo 2282 8RrRqdlRrqdVVoLo 2282 82244Rxq rqVoo
13、方法一：方法一：电势叠加电势叠加上海交通大学上海交通大学 董占海董占海2222请思考请思考：一半径为一半径为一半径为一半径为R R、带电量为、带电量为、带电量为、带电量为Q(Q(不均匀不均匀不均匀不均匀) )的球的球的球的球面在球心处的电势？面在球心处的电势？面在球心处的电势？面在球心处的电势？上海交通大学上海交通大学 董占海董占海2323例例*(p148)：求两同心带电球面的电势分布：求两同心带电球面的电势分布)(const.44)(44)(4120210121202012021RrRq RqRrRRq rqRrrqqU零电势点：零电势点： r =，U=0 考虑到电势的叠加原理考虑到电势的叠
14、加原理rUR1R2q1q2 上海交通大学上海交通大学 董占海董占海2424Question : How about the potential landscape of 3 or 4 charged thin shells ?q1q2q3上海交通大学上海交通大学 董占海董占海2525例例*：一个电偶极子在外电场中的电势能一个电偶极子在外电场中的电势能UqqUW)()(UUqcosqElEpUPPUqW0 q0在外电场中电势能与外电场电势的关系在外电场中电势能与外电场电势的关系上海交通大学上海交通大学 董占海董占海2626例例*、(p156)计算电偶极子的电势分布计算电偶极子的电势分布(r,given) 解解：电势电势rq rqV00442,cosrrrrr 2 04cos rqVxy-q+qrrr Prrrrq04)( 2 04repVr 上海交通大学上
