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1、第一章1-4、 试写出各向异性介质在球坐标系)(、r中的非稳态导热方程， 已知坐标为导热系数主轴。解：球坐标微元控制体如图所示：热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：kTrkjTrkirTkTkqrsin11 （1-1）根据能量守恒：stoutginEEEEddrdrtTcddrdrqdqdqdrrq prsinsin22（1-2）导热速率可根据傅里叶定律计算：drrdtTkqrrsindrdrTrkqsin（1-3）rddrT rkqsin将上述式子代入（1-4-3）可得到)51(sinsin)sin()sin(sin)(222ddrdrtTcddrdrqdrddrT rkrdddrT rk
2、dddrrTrkrpr对于各向异性材料，化简整理后可得到：tTcqTrkTrkrTrrrk pr 222222 2sin)(sinsin)(（1-6）第二章2-3 、一长方柱体的上下表面(x=0，x=) 的温度分别保持为1t和2t，两侧面(Ly) 向温度为1t的周围介质散热，表面传热系数为h 。试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度场。解：根据题意画出示意图：（1）设ffftttttt2211,，根据题意写出下列方程组00000212222h yLyyyxxyx（2-1）解上述方程可以把分解成两部分I和两部分分别求解， 然后运用叠加原理I得出最终温度场，一下为分解的I和两部分：00000212
3、222IIIIIIIhyLyyyxxyx0000002222h yLyyyxxyx（2）首先求解温度场I用分离变量法假设所求的温度分布),(yxI可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积，即)()(),(11yYxXyxI（2-2）将上式代入I的导热微分方程中，得到012121212 XdyYdYdxXd，即21 11 1 YYXX，上式等号左边是x 的函数， 右边是 y 的函数， 只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为2。由此得到一个待定常数的两个常微分方程0012 21212 212 Y dyYdXdxXd（2-3）解得)()()(1xBshxAchxX（2-4）)sin(
4、)cos()(1yDyCyY（2-5）把边界条件0,0 yyI代入（ 2-3-4）得到 A=0，所以有)()(1xBshxX（2-6）把边界条件0, yLyI代入（ 2-3-5）得到 D=0 ，所以有)cos()(1yCyY（2-7）把边界条件0,IIhyLy联立（ 2-3-7）得到/)cot(hLLL（2-8）设BihLL/,，则有iB/)cot(，这个方程有无穷多个解，即常数有无穷多个值，即)3, 2, 1(nn，所以对应无穷多个，即)3 ,2, 1(nn，所以有)cos()(1yCyYnn（2-9）联立（ 2-3-6）可得1)()cos(),(nnnnIxshyKyx（2-10）把边界条
5、件2,Ix代入上式可得LnnnLndyyshKdyy 0202)(cos)()cos(（2-11）解得)cos()sin(/()sin(22nnnnn nLshK（2-12）其中Lnn)()c o s()c o s() si n (/()si n (2),(12xLshyLLshyxnnnnnnnn I（2-13）（3）求解温度场与解I一样用分离变量法，假设所求温度分布),(yx可以表示成一个x 的函数和一个y的函数的乘积)()(),(22xYxXyx（2-14）将该式子代入的导热微分方程中得到022222222 XdyYdYdxXd，即22 22 2 YYXX，由此可得到两个常微分方程022
6、22 XdxXd（ 2-15）022 222 YdyYd（ 2-16）解式（ 2-3-15）时根据x 的边界条件可以把解的形式写为)()()(2xBshxAchxX（2-17）把边界条件0,x代入上式，得到A=0，所以有)()(2xBshxX（2-18）其中innnnBL/)cot(,)()cos(),(1xshykyxnn nnI（2-19）把边界条件1,0x代入上式可得LLnnnndyyxshKdyy002 1)(cos)()cos(（2-20）)cos()sin(/()sin(21nnnnn nLshK（2-21）)()cos()cos()sin(/()sin(2),(11xLshyLL
7、shyxnnnnnnnn（2-22）（4）最终求得稳态温度场)()cos()cos()sin(/()sin(2)()cos()cos()sin(/()sin(2),(),(),(1112xLshyLLshxLshyLLshyxyxyxnnnnnnnnnnnnnnnnI2-5、地热换热器是管中流动的流体与周围土地之间的换热，可应用于热能的储 存、地源热泵等工程实际。一种布置方式是把管子埋设在垂直于地面的钻孔中。 由于管子的长度远大于钻孔的直径， 可把管子的散热简化为一个有限长度的线热 源。当运行的时间足够长以后， 系统可以达到基本稳定的状态。设土地是均匀的 半无限大介质， 线热源单位长度的发热量
8、为ql ，地表面的温度均匀， 维持为 t0 。 使用虚拟热源法求解土地中的稳态温度场。解：根据题意画出示意图如下：设有限长热源长度为H，单位长度热源发热量为lq，电源强度为)(0wdzql，设地面温度维持恒定温度00,ttt。（1）求解点热源dz0 产生的温度场有限长线热源在某点产生的温度可以看做是许多点源在该点产生的温度场的叠加，因此我们先来看下无限大介质中点源产生的温度场，这是一个球坐标系中的无内热源的稳态导热问题，其导热微分方程为：0)(122drdrdrdr（3-1）解微分方程可得rcc1 2（3-2）把边界条件0,r代入上式得到02c，所以有rc1（3-3）在球坐标系点热源0dz单位
9、时间内的发热量等于它在任意球面上产生的热流量Q，即01244dzqcrdrdQl（3-4）所以得到014dzqcl由此可得到球坐标系中点热源0dz产生的温度场为0*14dzrql（3-5）（2）分别求出两个线热源产生的温度场线热源产生的温度场可以看作是点热源产生的温度场的叠加，因此有地下有限长线热源产生的温度场00114dzrqHl（3-6）对称的虚拟热源产生的温度场为00214dzrqHl（3-7）（3）虚拟热源法求解的地热换热器产生的温度场zzzzzHzHzHzHqdz zzzzqdzrqdzrqlHlHlHl22222222002 022 020000)()(ln4)(1)(1 41 4
10、1 4（3-8）第三章 3-1、用热电偶测量呈简谐波周期变化的气流温度，热电偶的感温节点可看作直 径为 1mm 的圆球，其材料的密度为8900kg/m3，比热容为 390J/(Kg ? K)，测温记 录最高和最低温度分别为130和 124，周期为 20s。若已知气流与热电偶间 的对流换热的表面传热系数为20W/(m2 ? K)，试确定气流的真实温度变化范围。解：气流温度按简谐波变化时，热电偶的温度响应为)cos(*wB（4-1）式中)arctan( 122rrfw wAB按 题目要 求 102022Tw，shAcv r925.2820610139089003，)/(202kmwh，根据题目提供
11、的热电偶测量的最高温度、最低温度，求出热电偶测量的温度变化的振幅如下式32124130122 rfwA （4-2）把rw,的数据代入上式中得到气流温度变化的振幅4.27fA，所以真实气体温度变化的最大值、最小值为Ct0 max4.1544 .272124130（4-3）Ct0 min6.994.272124130（4-4）3-6、已知初始温度均匀的无限大介质中由连续恒定发热的线热源所引起的温度场由式子)4(4),(2arEqrtil 确定。若线热源的加热不是连续的而是间歇的，即从0的时刻起， 线热源进行周期性的间歇加热，周期为 T，其中加热的时段为T1，其余的 T-T1 时间不加热。试利用线性
12、叠加原理确定介质中的温度响应。解：无限大介质连续恒定发热的线热源引起的温度场：) 4(4),(2arEqtrtii（5-1 ）其中：du uezEzui)(对于随时间变化的热流可以用一系列连续的矩形脉冲热流来近似如图所示：由叠加原理得到时刻的温度变化为：)0( ,)(4)(4101 121l iillniqarEqqttii（5-2 ）对于间歇性的脉冲，令TTCl/为运行份额，如果在整个运行期间的平均热负荷为lq，则脉冲加热的强度为Cql/，具体见下图：由叠加原理得到：0222020)(4(44)(44)(44ni lilli nl i nlnTarETnTarECqTnTarEqnTarEq
13、tt（5-3）即温度响应为022)(4(41)(4ni li lnTarETnTarECqtt（5-4）第四章 4-1、 处在 x0 的半无限大空间内的一固体， 初始温度为溶解温度tm。 当时间0 时，在 x=0 的边界上受到一个恒定的热流q0 的作用。使用积分近似解得方法确 定固液界面位置随时间变化的关系式。温度分布按二次多项式近似。解：设过余温度mtt，边界条件为dxdqx0,00（6-1）0,0)(xx（6-2）热平衡方程为0),(,)(XxddXLdxd（6-3）其中 L 是潜热，La/用二次多项式近似固相区中的温度分布，设2)()(),(XxBXxAx（6-4）由边界条件（ 6-1）
14、可知，)(2,0XxBA dxdx，则)2()(22 0BXAXxBAq（ 6-5）由边界条件（ 6-2）变形，XXXdd),(，代入（ 6-3）式可得0)(222xLxa（6-6）将（ 6-4）代入上式得到022aBAL（ 6-7）联立（ 6-5）和（ 6-7）两个式子，可解得XaLXaqXaLA0 2242（6-8）将（ 6-4）代入（ 6-3）得到ddXLXxBA)(2（6-9）其中)(Xx，所以有 ddXLA，代入 A 的值即得ddXXaLXaqXa0 22421（6-10）变形可得到dX X LaqaXLaqaXdXa LaqaXd 002024)4(242（6-11）积分可得到2/
15、30200)4( 62LXaqa aqLaX Laq（6-12）化简整理可得界面随时间的变化方程为302 2 0222 20)4(36)2(LXaqaqaL LaqaX（6-13）第六章 6-4、常物性流体在两无限大平板之间作稳态层流运动，下板静止不动，上板在 外力作用下以恒定速度U运动，试推导连续性方程和动量方程。解：按照题意可以写出0,0xvyvv（7-1）故连续性方程为0yvxu（7-2）可以简化为0xu（7-3）因流体是常物性，不可压缩，NS方程为X 方向上：)(12222yuxuyPFyuvxuux（7-4）简化为022yuxPFx（7-5）Y 方向上：)(12222yvxvyPFy
16、vvxvuy（7-6）可简化为0yPFy（7-7）第七章 7-3、试证明：当1Pr时流体外掠平板层流动边界层换热的局部努塞尔数为2/12/1PrRe1 xNu证明：适用于外掠平板的层流边界层的能量方程为22ytytvxtu（8-1）常壁温的边界条件为wtty,0（8-2）tty,（8-3）引入一量纲温度ww tttt，则上述能量方程变为22yyvxu（ 8-4）引入相似变量 xUyxyxy2/1Re)(，得到)(21)1 21)( xxxUyxx（8-5）)( xUyy（8-6）)( 22xUy（8-7）将上面的三个式子代入（8-4）可得到0Pr21“f（8-8）当1Pr时，速度边界层厚度远小于温度边界层厚度，可近似认为温度边界层内速度为主流速度，即ff, 1，由此可得 2Pr)(fdd（8-9）求解得到2/12/ 1)Pr()0(,Pr)2()(erf则2/12/1PrRe564.0xxNu（8-10）第八章 8-2、常物性不
