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1、1第九章 力学量本征值问题的代数解法91） 在 8.2 节式（21）中给出了自旋（）与轨迹角动量（ ）耦合成总角动量的波函数，这相当21lj jljm于的耦合。试由 8.2 节中式（21）写出表 9.1（a）中的 CG 系数 21,21sjljjmmmj21121解：8.2 节式（21a） （21b）: 21),0( 21mmlljjjljm 11121lmlm YmlYmll（21a）21,2121,212121,21jjmjjmjjYmjYmjjmjmlj21 jljljm 11121lmlm YmlYmll（21b） 21,2121,211122121),0( 21jjmjjmjjYmj
2、Ymjjmjmllj21 jl此二式中的 相当于 CG 系数中的 ，而,。l1j212 sj21, ,21mmmmj因此， （21a）式可重写为jm222112211 mjmmjmjmjmj21 21 21 21 21 21 21 2111111111mjjmmjmjjmmj（21a） 21 21 122121 21 122111211111211121121),21(mjjmjmjjmjjlja对照 CG 系数表，可知：当,时 ，21121jjjj212m2111 111221 21 21 jmjjmmj而时，212m22111 111221 21 21 jmjjmmj对于的（21b）式，有
3、 21211jlj2111 1111221,21 21 21 jmjmjmj2111 1111221,21 21 21 jmjmjmj92）设两个全同粒子角动量，耦合成总角动量，21jjjJ（1）JMj2 21 212121jmjm mmJMmjjm利用系数的对称性，证明CG JMjJjJMjp222 12由此证明，无论是 Bose 子或 Fermi 子，都必须取偶数J 证：由式（1） ，JMjp212 12 212121jmjm mmJMjmjm把, 21mm 12 122112jmjm mmJMjmjm利用系数的对称性 CG 21 212112212 jmjm mmJjJMmjmj(2)
4、JMjJj22对于 Fermi 子，半奇数，奇数，但要求，jj212p即要求，所以必须为偶数。 12JjJ， （情况，只能构成交换对称态，为什么？）因此12maxjJjJ2max 0, 2,32,12LjjJ可验证：态的总数为。 。JMj212 jj1212120jjJjJ对于 Bose 子，整数，偶数，但要求jj212p即 ，故也必须为偶数 12JjJ0, 2, 22,2LjjJ93）设原子中有两个价电子，处于能级上，按耦合方案，nlELS3，（总角动量）LLL21sss21JsL证明： （a）必为偶数；sL （b）。当时，（偶） ； 时，可以为奇，sLsLJ,L0sLJ 1s1, 1LLL
5、JJ也可以为偶。证： 自旋的耦合：，2121 ss ).(0).(1反对称，单态对称，三重态s轨迹角动量的耦合：，lll21. 0, 1, 12,2LllL其中偶是对称态，奇是反对称态，总的波函数（对于交换全部坐标，包括自旋）要求反对称，所以LL时，0s. 0, 22,2LllL时，1s. 1, 12,2LllL在两种情况下，都为偶数，但sL sLsLJ,L对于，偶；0s LJ，。1s1, 1LLLJ可以为奇，也可以为偶J讨论本题结论与题 92 有无矛盾？（按耦合方案，似乎必为偶数） 。提示：在本题中，若用耦合来分jjJjj析，？是否只有一个值？两种耦合方案得出的态数是否相等？jj94）大小相
6、等的两个角动量耦合成角动量为的态， 证明的几率却相等，000jjzzjj21jjj, 1,L即。121j提示：利用 （P235，式（23） ） 1200jmjmjmj证：Dirac 符号表示，有 ，00jjJMjj2100jj（1）JMJMjj21122112211 mJMmjmjmjmj在本题的情况下，。jjj210 MJmmm令 21则（1）成为 （2）00jjmmjmjmjmj00其中即为耦合表象中的态用无耦合表象基矢展开时的展开式系数CG 系数，其模即表示00mjmj 00jj体系处于态时，测得取值（同时取值，取各可能值）的几率。00jjzj1mzJ2mmjjj, 1,L由提示， （3
7、） 1200jmjmjmj4（4）12100 2jmjmj即，对于给定的所合成的态，的几率与的具体取值无关，皆jjj2100jjzzjj21jjj, 1,Lm为。121j95）设，在态下，证明（取）JJJ21jmjj211h，02211yxyxjjjj 121112211 1jjjjjjjjmjz 121111122 2jjjjjjjjmjzzjm1证：（参剖析，8.68 等）96）在表象(以为基矢)中，的子空间的维数为 3，求在此三维空间中的矩阵表示，再利zLL ,2lm1lxL用矩阵方法求出的本征值和本征态xL解：在表象中，的子空间中的基矢为，。由于zLL ,21llmm11, 0, 1m
8、11mjmjmjjmJmmjmjjmJmjx1211mjmjjmJmjx1211。121JJJx对于本题，以上方式中，lj xxLJ LJzzLJ 不难求得 01111110011xxxxxmmxLLLLLL。 2210011010xxxxLLLL在此三维空间中的矩阵表示为表象xLzLL ,25（1） 01010101022xL设的本征值为，本征矢为，则本征方程为xL1h cba （2）02102121021cba此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零，由此可解得本征值：, 012. （3）1, 0 , 1将代入（2） ，可得1， ， 。02ba022cba02cb由此得 ，2bca 1212bcba归一化 ，取 。112122 b 21b（4） 1212111同理，将分别代入（2） ，可求得1, 0 ； 。 1212120 12121316
