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1、自然科学史研究第卷第期年,一呼认。于左“口刀。二矛、 清代无穷级数研究中的一个关键问题何绍庚中国科学院自然科学史研究所内容提要清初蒙古族数学家明安图 创用三种 方法,成功地解决 了二项式平 方根了不几了的展开问题。这是他推导三角函数幂级数展开式的第一步,也是关健的一步。这一重要贡献足可与著名 的“明氏九 术”相媲幕。明安图一约,是我国清代杰出的数学家和天文学家,曾任钦天监监正,撰有数学名著割圆密率捷法。他在数学方面的重要贡献是推导和证明了有关三角函数和反三角函数幂 级数展开式的九个公式,即著名的“明氏九术”。对此,数学史界已有相当充分的研究。实际上,明安图还有另外一项非常重要的工作,即关于二项
2、展开式的研究。这是他为处理幂级数展开问题而正确选择的突破口。这个问题的解决,可说是他全部数学成就的基础。一、问 题的提出清初法国传教士杜德美,一来华,曾向中国学者介绍了三个著名的公式,即 圆周率“的无穷级数表 达式,正弦函数和正矢函数的幂级数展开式二一万 乏止十上立兰十竺。一卜二一二一生生二,一生十一六一六箭一 当时分别称之为“圆径求周”、“弧背求正弦”和“弧背求正矢”。这三个无穷级数公式是西方数学中较新的成果。它以与中国传统数学截然不同的内容与形式,为计算圆周率和三角函数值提供了有效的算法,向中国数学界展示了一个新的广阔的领域,因而受到许多中国数学家的欢迎和重视。可是,杜德美虽然传人了这些公
3、式,但并 未同时介绍推导这些公式的 原理和方法。议种 情况给当时的数学土作者带来了一定的困惑。正如有人所见钱宝踪主编中 这显然是不合适的。梅文鼎梅氏丛书国数学叙,第一页,科学出版社,” “年。这九个公式曾长期被称为“杜氏九术”,根据明叼图对这九个公式的实际工作,宜将其改称为“明氏九术、辑要附录梅毅成赤水遗珍札自然科学史研究卷说“特未详立法之根,学者恒苦莫抉其旨”。甚至还有人产生了怀疑和误解,认为这种方法只不过是“巧合”。一些优秀数学家出于理论和实践的需要,并不满足于盲目引甩个别的公式,而是积极探索这些公式的理论根据和证明方法,力求深刻理解和真正吸收外国的先进成果,使之成为自己手中的有力工具。明
4、安图指 出“圆径求周、弧背求弦、求矢三法,本泰西杜德美氏所著,实古今所未有也。亚欲公诸同志。惜仅有其法而未详其义,恐人有金针不度之疑。”于是,他在钦天监工作之余,悉心研究无穷级数问题,前后达三十余年,终于成功地证明上述三个公式,并且还得到了反正弦、反正矢等另外六个无穷级数公式,从而成为我国清代无穷级数研究领域的开拓者,得到了数学界和数学史家的高度评价。明安图为证明这些公式,创立了割圆连 比例法和级数回求法。割圆连比例法的中心思想是根据相似三角形对应边成比例的道理,得 出一系列比例关系式并求出相应的折线长度,然后 用折线逼近圆弧,从折线与弦的关系导 出弧与弦的关系。其具体运算的着眼点则在于无穷级
5、数的各项系数。他首先运用这种方法来处理分弧通弦与全弧通弦的关系,特别是先要推算二分之一弧通弦、三分之一弧通弦、五分之一弧通弦与全弧通弦的关系,亦即将弧二等分、三等分和五等分,分别求 出相应弦长之间的表达式。由于全弧通弦可根应表示为三等分、五等分等奇数等分弧通弦的多项式,相对来说比较容易解决而用偶数等分弧通弦的表达间题均可归结为用二等分弧通弦的表达问题,因此,如何用二分之一弧通弦表示全弧通弦,就成为解决整个问题的第一步,也是关键的一步。如图,半径一,全弧通弦。,二分之一弧通弦 明安图称之为一分弧通弦一。,明安图所面临的问题就是已知,求,即用。表示,这个问题本来并不 复杂。显然,用勾股法或三角法易
6、于求出亦即刀一丫共爵一一厂面。或者由刀刀一了一记,亦可得到同样结果。在一般的求解线段长度问题中,得到这一公式后再施以具体数字运算,求出答案,间题就算解决了。但是,这里的要求却是要通过关于。的算术运算表示。,因此,上述方法见明安图割圆密率捷法岑建功序。汪莱衡斋算学第六册后记。见明安图割圆密率捷法陈际新序七期何绍庚清代无穷级数研究中的一个关键问题“不能与诸法相通”,明安图不得不另辟蹊径,寻求并找到了三种新 的解法。正如他的学生陈际新所说“观者依次求之,则知其不可易矣”。二、第一 种解法在数理精蕴等著作中已有简单的连比例问题,但只限于有限项的计算。在此基础上,明安图创用了割圆连比例方法,将其推广于无
7、穷级数的情形。这无论从数学思想或数学方法上来讲都是重大的突破和飞跃。在这里所要解决的问题是建立一个以即。、 为变量 的幂级数来表示即。如图,作一一平 分于,连,又作。因,为相似等腰三角形,故,丽一丽一而“又因刀一,故”一“一器”一八一鱼。由于上式 中是未知量,因此还需要设法把与、与乙这两组连比例三角形联系起来,进而推导出与,之间的关系。为此,如图,作才,于是,为连比例三角形,一率咖一,二率价一一,三率价一作”,则才,应四率功粤,五率、一今,丑五尤,石尺为连比例三。 见明安图割圆密率捷法卷三。同上。自然科学史研究卷角形,、天尺成连比例 才相应的连比例率数为,。,也鱼二延长至,延长至,使一连。以为
8、轴对称于汉付刃作,则与汉重合以为轴对 称于作,则与重合。作,这时和,分别与和全等,所以一一鱼,一一一,二,奢因四边形与相似,所以才才万一才刀丑月,夕一犷任一一其中一,十一,月由此可列出又一连比例线段又一率 找一一犷,又二率诚才万 一,又三率端一十十一一时一又五率诚一于是可知,令一。,一六,只口价六。一价。 一 价一鑫价,乎一一 令一六令由此可见,在这个表达式中,已经把与联系起来,通过算术运算初步建立了一应与,。之间的关系。为将直接表示成由,。和相应系数构成的关系式,明安图除依据连比例和多项式运算法则外,在这里首先运用了他所创立的级数回期何绍庚清代无穷级数研究中的一个关键问题夕求法,从而得到符合
9、要求的结果。据咖以求得币价、 ,尸一功,功,价价,币,币价, 价,可币一 价“一汽币,壳“一备“备“祝一音音伽若咖器咖, 而叭 一而物个面物一奋竹,乡, 中,一甲 ,一, 奋甄一面叭,十叮二丁中巧器一器诚十黑姚二一器武一豁朴”器一一以上各式相加,并除以,即得丑石一生亡刃。斗气代一二钙护 斗,二中十一尹,尸二中,十叮一一二尸二中“十斗斗任,端咖一一一一一一于是,一一一今汗针六衬湍价六咖十一, 一专咖 一态裕六人一击灿一 一一母令一六令一忐务添令一一, ,一六鲁一居几丽令一万六面令、, ,血设一兴,只要对 照一下就不难看出,上式括号内的表达式在实质上相当于求故 名犷了一护一, 劣一一一劣一一劣。只
10、不过明安图的公式与现在通用的二项式平方根一尸功展开式在表达形式上略有不自然科学史研究同而已。然而如果考虑到明氏表达式更接近沃利斯和牛顿等的表达式以及他们当时对研究这类问题的重视程度,就更易于理解明安图独立发现这类无穷级数公式 的重要意义了。三、第二种 解法为求出和验证用二分之一弧通弦表达全弧通弦的公式,明安图提 出了三种不同的解法。这里再简单介绍一下他的第二种方法。如图,作尸,一,于是,为连比例三角形。一率价 一一,二率功一一,三 率,一一乎,四率如一尸。一令。作“。,上“,贝”“一含”中,乙性一止一生价、,一斗一一。由于一一月,因此只要找到与的关系,即 可推导 出它与劝,。的关系,从而得到由
11、变量表示的公式。在这一解法中,根据“与“为连比例三”形,令“为又三率的二分之一卿分,以及一,可得币生姚一合士合,于是得到又四率的表达式价中一“经过一些线段换算及比例换算,可得专人一十诚一认认,硫此后按照与前一解祛类似的程序,运用连比例关系和级数回求法,可推导出与前法完全相同的公式,从而验证了上述 结果。这一解法 虽然与第一法有所不同,且较为简单明燎,但就数学思想和数学方法而言,并没有多少创新的内容,因此这里就不详述了。四、第三种解法八,价门一 一, 一一如图,一一率币,一,二率咖,价,尸尸三率咖何绍庚清代无穷级数研究中的一个关键问题在勾股形中,勾 为刀一压一也,股为刀石,弦为一石一价,股弦较一
12、云一压一价一收一。因此,如果求出与,功之间的关系,即可得到全弧通弦即由二分之一弧通弦户的表达式。为达到这一目标,明安图创立了颇具特色的方法。这种方法与中国传统开方术的论证方法是一脉相承的。伪性叭口入如示意图与图相应符号未予改变,线段长度有所不同,作弦方积边长为云的正方形和股方积边长为石的正方形。显然,曲尺形的面积为几一云十石石一石因而,一一石一石矛云十石一互。力一兰宜止匕二二一 中八但其中石仍为未知数。为求出的表达式,明安图采用了逐次逼近刀衬的近似计算方法,其具体过程简述如下由于石于,故可先令石云,取矛云十瓦一里。一石一一,云于是一奥在求得初商斋一分弓,并以此作为逐次逼近“的初“。一一于币后,
13、需要继续推求“的长度。云月云柑一一研。品汽几。二长方形面积之和自然科学史研究卷命叩护,一曲尺形一正方形 面积之和,。,一。,一。,一生。、,。一一、斗对此仍以加 除之,类似地取认 、 。,、下不 一一一,丁丁一一一下几厂一一下一下下叻,甲,以此作为逐次逼近的次商。又因一口”,一口了。认十,。气。 。,二长方形之和。,。,二曲尺形之和,。,。,凡,中,凡,一音礼一忐札所以知形可尺 、此曲由在几,口一。 。,八吸中州卜一甲类似地取令平一平一以此作为继续逼近的三商。可以完全类似地选取。,一一丁一一二一一不乙中二一下下百咖。 ,甲,立一,仁月钊一一尸丁二二甲州,一丫一一一丁了甲粗尸一罗一一丁二二甲抖月
14、 斗斗,斗五商六商忐焉 忐伽忐如湍九叭二七商一一,一甲二中州一“将初商,二商,三商,相加可得一认,矶平 一云一石中月 斗,中,勺一一一二,中州,代一一二代丁甲。, 斗,斗,一丁一一丁二中。十,一,中十,一一,吧二中“十二斗,斗。斗。因云一九,期何绍庚清代无穷级数研究中的一个关键问题。二二,一一乙中一一巾一申一一中一巾一” 斗。认认一“厂歹万 一石下一舀 份一份应,血于是得到了与前二法完全相同的结果。明安图曾对这一方法做了简单的总结。他指出“用连 比例率数推之,故先求 得祖商,而后用初商平方 积以求次商,得次商廉隅积以求三商。准此推之,则股弦较之率数密矣。”这种算法不仅卓有成效,而且机械性很强,
15、不需要很复杂且难于掌握的几何技巧,带有浓厚的中国传统数学色彩,因而,足可列为中国传统勾股术与开方术的一项重要的新成就。五、简要的评论明安图研究二分弧通 弦率数求全弧通弦率数,实际上解决了二项式平方根的级数展开问题。这是他推导三角函数幂级数展开式的关键的一步,也是相当艰难的一步。然而,难关一破,收获便滚滚而来。他所得到的结果是一曰一一月一,认一“厂 节丁 份一应。今、一一 一,礼乙乃一一一一一一。应今。设二、一三边夕,则括号中的式子相当于公式一二,“,一斌一二一一生二,一二二。一 一止止一 众所周知,二项式平方根展开式,二项展开式 以及解析方法的创立对于近代数学发展具有深远的意义,所以,上述公式本身就是明安图取得的一项重要成果。不仅如此,从其推导过程还可以看到,明氏所创用的一些重要数学方法,诸如割 圆连比例法、级数回求法、多项式运算等等,都已完整地蕴涵在这个问题之中。因此,这个关键间题的解决可说是为瓤圆密率捷法以至他的全部数学创造奠定了基础。在微积分学传人 中国之前,明安图所掌握的数学工具只能是一些初等数学知识。要 运用这些知 识去解决他所面临的问题,其难度自然是非常大的。为解决这些问题,明安图充分发挥了他的创造精神,并且显示出高超的几何演绎和代数运算
