《量子力学导论 第九章 chap9 力学量本征值问题的代数解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学导论 第九章 chap9 力学量本征值问题的代数解法（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第九章 力学量本征值问题的代数解法9.1 一维谐振子的一维谐振子的 Schrdinger 因式分解法因式分解法 升、降算符升、降算符一、Hamilton 量的代数表示一维谐振子的 Hamilton 量可表为222 21 21xpH采用自然单位（），1h（此时能量以为单位，长度以为单位，动量以为单位）h/hh则22 21 21xpH而基本对易式是。ipx,令，)(21ipxa)(21ipxa其逆为，。)(21aax)(2aaip利用上述对易式，容易证明(请课后证明)1,aa将两类算符的关系式，)(21aax)(2aaip代入一维谐振子的 Hamilton 量，有22 21 21xpH 21 2
2、1NaaH上式就是 Hamilton 量的因式分解法，其中。aaN由于，而且在任何量子态下NN0),(),(aaaaN所以为正定厄米算符N2二、Hamilton 量的本征值下面证明，若的本征值为，则的本征值为（自然单位，NnL, 2 , 1 , 0nHnE）h， 21nEnL, 2, 1, 0n证明：设|n为的本征态( n 为正实数)，即NnnnN利用及容易算出1,aaaaN， aaN,aaN,因此。nanaN,但上式 左边nnanaNnNanaN由此可得。nannaN) 1(这说明，也是的本征态，相应本征值为。na|N) 1( n如此类推，从的本征态出发，逐次用运算，可得出的一系列本征态Nn
3、|aN，n|na|na |2相应的本征值为，n1n2n因为为正定厄米算子，其本征值为非负实数。N若设最小本征值为，相应的本征态为，则0n0n00na此时00000nnaanN即是的本征值为 0 的本征态，或。此态记为，又称为真空态，亦即0nN00n0|谐振子的最低能态(基态)，对应的能量本征值 ( 加上自然单位)为。2/h3利用 aaN,同样可以证明nannaN) 1(这说明也是的本征态，本征值为。naN) 1( n利用上式及，000N从出发，逐次用运算，可得出的全部本征态：0aN利用，有。1,aaNaaaa11已知是的本征态，本征值是 00N由可知nannaN) 1(010aaN即也是的本征
4、态，本征值是 1。0aN下面看是否也是的本征态，本征值是多少？02aN显然0200000)1 (00022222aaaaaNaaaNaaaaaaaaaN故也是的本征态，本征值是 2。02aN这样对本征态 ，0|0|a0|2a本征值为， ， ，N012本征值为， ， ，H2/12/32/5所以，可以成为上升算符，可以称为下降算符。证毕。aa4这种描述体系状态的表象叫粒子数表象。利用归纳法可以证明（课下证）：（即）的归一化本征态可表为（为什么？）NH0)(!1nann且满足，nnnH 21nnnn由得0)(!1nann0)()!1(111 nann所以1|10|)()!1(10|)(!1|11nn
5、annannann从而有nnna|1|而由得nnnaanN|nnnaan|1所以naanna|11|或1|nnanaa上式作用任一左矢，有|m1|nnamnaam5利用，有，代入上式，即1,aa1aaaa1|1|nnamnaam或1|nnamnmnaam利用，上式变为1|1|nnnannmnmnnam|1|1|移项，得。nnmnam|1|1|上式对任意 m 都成立，所以nnna|11|或。1|nnna连同，1|1|nnna这就是下降和上升算符的定义,很有用处。三、升降算符的应用1. 坐标和动量算符的矩阵元计算利用1|1|nnna1|nnna以及，)(21aax)(2aaip容易证明： hh)1
6、(2,)1(211111nnnnnnnnnnnnnnipnnx拿第一式的证明为例。因为，)(21aax所以6)1(21)1| 1| 1(21)1| 1|1| (21)| | (21| 1, 1, nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnannannxnx2. 能量本征态在坐标表象中的表示考虑基态，它满足0|00|a即。00)(ipx在坐标表象中，上式可以写为00| ipxx插入完备性关系得1| | dxxx00| | dxxipxxx已经知道) ( | xxxixpxh令，代入前式可以得出1h00| ) (dd) ( dxxxxiixxxx利用积分中 函数的性质可得00| dd xxx把，并
7、注意，有xx )(0|0xx0)(dd0 xxx解出得2 02)(xex7添上自然单位，可得出在坐标表象中的归一化基态波函数为2 2410)(xexh h而坐标表象中激发态的波函数为0!1)(n naxnnxx由于，添上长度的自然单位，)(21ipxa/1h可得 xxadd1 21 所以241222 dd1 !1)(xnnexxnx 上次课复习，)(21ipxa)(21ipxa，)(21aax)(2aaip，22 21 21xpH 21 21NaaH， 21nEnL, 2, 1, 0n，1|1|nnna1|nnna0)(!1nann升降算符的应用四、S-方程因式分解的条件上述的因式分解法是 S
8、chrdinger 提出来的。8可以证明，对于存在束缚态的一维势阱，只要基态能量有限, 存在,则可定 xV0E 0义相应的升降算符，并对 Hamilton 量进行因式分解。另外还可以证明，对于 r 幂函数形式的中心势，只当（Coulomb 势）)(rVrrV/1)(或 (各向同性谐振子势)时，径向 S-方程才能因式分解。2)(rrV总之，S -方程的因式分解与经典粒子束缚运动轨道的闭合性有某种关系。9.2 角动量算符的本征值和本征态前面我们学习了轨道角动量、自旋角动量的性质（本征值和本征态）以及它们之间的耦合问题。下面我们对角动量算符的本征值和本征态作一般的讨论。一、一般角动量算符的对易关系如
9、果算符，其三个分量满足下列对易关系jzyxjjj,，zyxjijjh,xzyjijjh,yxzjijjh,则以作为三个分量的矢量算符称为角动量算符。且式zyxjjj,j，zyxjijjh,xzyjijjh,yxzjijjh,称为角动量的基本对易式。轨道角动量 ，自旋角动量以及总角动量的各分量都满足此基本对易式。lsjsl以下根据此基本对易式及角动量算符的厄米性来求出角动量的本征值和本征态。定义2222 zyxjjjj利用角动量分量间的一般对易式容易证明：，0,2jjzyx,定义yxjjji其逆表示为，)(21jjjx)(i 21jjjy同样可以证明：9jjjzh,zzjjjjjhm22zjjj
10、jjh2)(222 zjjjjjj利用角动量的定义及分量的对易关系，上述几个式子是很容易证明的。利用，有yxjjji)(2)(2iiii)i)(i()i)(i(22222222zyxyyxxyxyyxxyxyxyxyxyxjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj所以。)(222 zjjjjjj二、角动量本征值和本征态的代数解法1. 声子的概念前面我们在粒子数表象时所用的对易关系式1,aa是针对玻色子体系而言的。我们知道，光是玻色子，在被量子化后形成“光子”的概念。同样，晶体里的格波（其实就是一种声波）的能量也是量子化的。人们把量子化了的格波叫做“声子”。声子和光子一样都是玻色子
11、。2. 角动量本征值和本征态的代数解法考虑二维各向同性谐振子，相应的两类声子产生和湮灭算符用，和，表示,并 1a1a 2a2a满足，jijiaa,0, jijiaaaa2, 1,ji定义正定厄米算符，111aaN222aaN其本征值分别为和，1n2nL,2, 1,0,21nn10它们分别表示两类声子的数目。和的归一化共同本征态可表为1N2N0!)()(2121 2121nnaannnn 定义算符xxjaaaaj)(211221yyjaaaaij)(211221)(21)(21212211NNjaaaajzz由此定义角动量升降算符21)i(aajjjyx )()i(12jaajjjyx利用对易式
12、，jijiaa,0, jijiaaaa2, 1,ji容易证明，jijj,zyx,这正是角动量的基本对易式（）。 1h因为，jijiaa,0, jijiaaaa2, 1,ji所以 211212212112121212212112212112211221,i 21,i 41,i 41)(i 21),(21,aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaajjyx 即11 zyxjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaajji)(21i)(i 21)00(i 21,i 21,i 21,2211112212112212121212212112211212122112同理可证其它几个分量对易式。同样可证明关系式 1222222NNjjjjzyx其中，221121aaaaNNN其本征值为。L,2, 1,021nnn这样，的本征值可表为，且2j) 1( jj（？） LL,25, 23, 21,2,1,02nj即角动量量子数只能取非负整数或半整数。j由前述可知，是、和的共同本征态，21nn1N2NN但， 1222NNj)(2121NNjz故也是的共同本征态，且21nn),(2 zjj
