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1、1三度、三定理三度、三定理1. 标量场、梯度 2. 矢量的通量、散度散度散度散度散度散度散度散度、高斯定理 3. 矢量的环流、旋度旋度旋度旋度旋度旋度旋度旋度、斯托克斯定理 4. 亥姆霍兹定理“ “ “ “ “ “ “ “三度三度三度三度三度三度三度三度” ” ” ” ” ” ” ”、“ “ “ “ “ “ “ “三定理三定理三定理三定理三定理三定理三定理三定理” ” ” ” ” ” ” ”21. 1. 标量场、梯度标量场、梯度标量场在空间的分布和变化规律等值面，方向导数，梯度标量场可以用一个标量函数表示：)(),(ruzyxuuv=等值面Cruzyxuu=)(),(v 等值面等值面等值面等值
2、面bacd等值面?3如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场如何了解标量场 中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量中某一点的标量 函数函数函数函数函数函数函数函数U U沿某一方沿某一方沿某一方沿某一方沿某一方沿某一方沿某一方沿某一方 向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？向的变化情况？方向导数：方向导数：方向导数：方向导数：方向导数：方向导数：方向导数：方向导数：标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿标
3、量函数在给定点沿标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿标量函数在给定点沿 某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率某一方向对距离的变化率方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数l l l lU U U U 40coscoscosuuuu lxyzG l=+=vv方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数方向导数l l l lU U U U l l l lMMMMu u u uMMMMu u u u l l l lu u u ul
4、 l l lMMMM = = = = ) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( (limlimlimlim0 0 0 00 0 0 00 0 0 0x x x xo o o oz z z z) ) ) ), , , , , , ,( ( ( (0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0z z z zy y y yx x x xMMMM) ) ) ), , , , , , ,( ( ( (0 0 0 00 0 0 00 0 0 0z z z zz z z zy y y yy y y yx x x xx x x xMMMM + + + + + + + + + + + +x
5、 x x x y y y y z z z z l l l l ) ) ) )coscoscoscos, , , ,coscoscoscos, , , ,(cos(cos(cos(cos: : : :0 0 0 0 l l l ll l l lvvz z z ze e e erx x x xe e e ery y y ye e e ery y y ymax|uGl=vxyzuuugraduGeeexyz=+vvvv5标量的标量的“ “梯度梯度” ”？“ “ “ “爬山爬山爬山爬山” ” ” ” 同样的增量情况下，沿什么方向最陡同样的增量情况下，沿什么方向最陡同样的增量情况下，沿什么方向最陡同样的
6、增量情况下，沿什么方向最陡” ” ” ”？ 梯度梯度梯度梯度梯度梯度梯度梯度是表示是表示是表示是表示是表示是表示是表示是表示标量标量标量标量标量标量标量标量最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率最大空间增长率的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的的大小和方向的矢量矢量矢量矢量矢量矢量矢量矢量。gradUU=GradientGradientGradientGradientgradgradgradgrad方向导数中沿那个方向方向导数中沿那个方向方向导数中沿那个方向方向导数中沿那个
7、方向 标量函数对距离的标量函数对距离的标量函数对距离的标量函数对距离的 变化率最大？变化率最大？变化率最大？变化率最大？哈密顿算符：哈密顿算符：哈密顿算符：哈密顿算符：HamiltonianHamiltonianHamiltonianHamiltonianHamiltonianHamiltonianHamiltonianHamiltonianxyzeeexyz =+vvv6不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下 的表示的表示的表示的表示的表示的表示的表示的表示柱面坐标系中：柱面坐标系中：柱面坐标系中：柱面坐标系中：zeyexezyx+=
8、vvv直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：球坐标系中： +=sin11 RaRaRaRrrrzererezr+=vvv 17如何记忆如何记忆如何记忆如何记忆如何记忆如何记忆如何记忆如何记忆 ？dzadyadxal dzyxrrrr+=直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：直角坐标系：dldzayaxazyx+=rrr?=l dr8柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：柱面坐标系：dzadradral dzrrrrr+=)(zararazr+=rrr
9、 1dld?=l dr9球坐标系：球坐标系：球坐标系：球坐标系：球坐标系：球坐标系：球坐标系：球坐标系：)sin()(dRadRadRal dR+=rrrr +=sin11 RaRaRaRrrrdld?=l dr10不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下不同坐标系下 的表示的表示的表示的表示的表示的表示的表示的表示柱面坐标系中：柱面坐标系中：柱面坐标系中：柱面坐标系中：zueyuexueuzyx+=vvv直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：直角坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：球坐标系中：球坐标系中： +=u Rau RaRuauRsin11
10、rrrzueu rerueuzr+=vvv 1U11例题例题例题例题例题例题例题例题已知：已知：已知：已知：cos),(0=RVRVV求：求：求：求：求：求：求：求：令：令：令：令：令：令：令：令：VE=r?=Er直接法直接法直接法直接法直接法直接法直接法直接法球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！球坐标系梯度公式！ +=sin11 RaRaRaRrrr?=VEr?=sincos00VeVeVERrrv+=12例题例题例题例题例题例题例题例题距离矢量 ，求标量场 的梯度R R R R1 1 1 1) ) )
11、 )1 1 1 1( ( ( (R R R R r r r rr r r rR R R Rvvv = = = =13源点与场点源点与场点 源点： 场点：),(zyxr rrrR R源点源点场点场点O O),(zyx14例题例题例题例题例题例题例题例题距离矢量 ，求标量场 的梯度R1)1(RrrRvvv=zueyuexueuzyx+=vvv?=u)()()(zzeyyexxerrRzyx+=vvv20 3)1(RR RR Rvv =0Rvr r r rr r r rR R R Rvvv = = = =是是是是 单位矢量单位矢量单位矢量单位矢量15特例特例11(),()?RR11()()RR=16
12、2.2.2.2.2.2.2.2.矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量线矢量线矢量线矢量线矢量线矢量线矢量线矢量线-线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方线上每一点的切线方向与该点矢量场的方 向相同向相同向相同向相同向相同向相同向相同向相同单位空间内矢量线的个数代表该点场的大小单位空间内矢量
13、线的个数代表该点场的大小0Fdl=vv172.2.2.2.2.2.2.2.矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量的通量和散度矢量矢量沿某一有向曲面沿某一有向曲面的面积分的面积分AvSv矢量矢量矢量矢量矢量矢量矢量矢量在某一在某一有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面的的面积分面积分面积分面积分面积分面积分面积分面积分称为称为通过该面的通过该面的通过该面的通过该面的通过该面的通过该面的通过该面的通过该面的通量通量通量通量通量通量通量通量。 cosnssA dSA e dSAdS =vvvv通量
14、通量( (FluxFlux) )数学描述：数学描述：有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面有向曲面：开表面开表面开表面开表面开表面开表面开表面开表面， 右螺旋右螺旋右螺旋右螺旋右螺旋右螺旋右螺旋右螺旋闭合曲面闭合曲面闭合曲面闭合曲面闭合曲面闭合曲面闭合曲面闭合曲面，外法线，外法线，外法线，外法线，外法线，外法线，外法线，外法线18通量的应用通量的应用 判断闭合曲面内源的性质0=0无源负源正源19AAdivVsdAVAdivSrrrr r=0lim散度散度散度散度散度散度散度散度定义：定义：定义：定义：定义：定义：定义：定义：单位体积的单位体积的单位体积的单位体积的单位体积的单位体积的单位体积的单位体积的净流出的净流出的净流出的净流出的净流出的净流出的净流出的净流出的通量，称为散度通量，称为散度通
