工程力学课程第3章

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1、第 3 章 教学方案平面任意力系平面任意力系基基 本本 内内 容容力线平移定理 平面任意力系的简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 物体系统的平衡 考虑摩擦时的平衡问题教 学 目 的1、 掌握力线平移定理。 2、 了解平面力系向一点简化。 3、 熟练掌握平面力系的平衡方程。掌握物体系统的平衡问题分 析。了解有摩擦时物体的平衡分析。重 点 、 难 点平面力系的简化；物体系统的平衡问题。第三章第三章 平面任意力系平面任意力系作用在物体上的力系，若各力的作用线在同一平面内，既不平行又不汇交于一点，称 为平面任意力系。本章研究平面任意力系的简化和平衡问题。3.1 力线平移定理力线平移定理定理：定理：

2、作用在刚体上的力，可以平移至刚体内任一指定点，若不改变该力对于刚体 的作用则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。 证明：证明：如图 3.1（a）所示，设有一力 F 作用于刚体的 A 点，为将该力平行移到任 一点 O，在 O 点加一对作用线与 F 平行的平衡力 F和 F，且使 F= F= F，在 F、F、F三力中，F 和 F两力组成一个力偶，其力偶臂为 d，力偶矩恰好等于原力对点 O 的矩，如图 3.1（b）所示。显然，三个力组成的新力系与原力 F 等效。这三个力可 看做是一个作用在 O 点的力 F和一个力偶（F，F） 。这样，原来作用在 A 点的力 F 便被等效为作用在新作用点 O

3、 的力 F和力偶（F，F） 。力偶（F，F）称为附加力偶，如图 3.1（c）所示，其矩 M 为 M = MO（F）= Fd 图图 3.1 应用：应用：力线平移定理是力系简化的理论依据，也是分析和解决实际工程中力学问题 的重要依据。如图 3.2（a）所示，钳工攻丝时，要求在丝锥手柄的两端均匀用力，即形成 一力偶使手柄产生转动进行攻丝。若在手柄的单边加力，如图 3.2（b）所示，那么丝锥极 易图图 3.2 折断，这是因为，作用在 A 点的力可等效为作用于 O 点的力 F和一附加力偶 M，如 图 3.3（c）所示。力偶 M 使手柄产生顺时针转动进行攻丝，而丝锥上受到的横向力 F 易造成丝锥折断。3.

4、2 平面任意力系的简化平面任意力系的简化3.2.1 平面任意力系向平面内一点的简化平面任意力系向平面内一点的简化 简化依据：简化依据：力线平移定理。 简化方法：简化方法：把各力向平面内任取的一点 O 平移（称为简化中心） ，得到作用于点 O 的力，以及相应的附加力偶，如图 3.3（b）所示。这样，平面任意力系简化成平面汇交力 系和平面力偶系。分别将平面汇交力系和平面力偶系合成为一个合力和一个合力偶，如图 3.3（c）所示。合力（31）1ni IRFF合力偶的矩 MO等于各力偶矩的代数和。附加力偶矩等于力对简化中心的矩，故（32）11()nnoio IIMMMiF3.2.2 主矢和主矩的概念主矢

5、和主矩的概念主矢和主矩主矢和主矩：平面任意力系各力的矢量和，称为该力系的主矢；而这些力对于RF简化中心 O 取矩的代数和 MO，称为该力系对于简化中心的主矩。主矢等于各力的矢量和， 所以它与简化中心的选择无关。而主矩等于各力对简化中心的矩的代数和，取不同的点为 简化中心，各力的力臂将有改变，则各力对简化中心的矩也有改变，所以在一般情况下主 矩与简化中心的选择有关。应用解析法可求出力系的主矢的大小和方向。过点 O 取坐标系 Oxy，则有RF图图 3.3（33）2222()()coscosnnRRxRyixiy i=1i=1RxRRyRFFFFFF FFF 上式中 和 以及 F1x，F2x，Fnx

6、和 F1y，F2y，Fny分别为主矢 以RxFRyFRF及原力系中各力 F1，F2，Fn在 x 轴和 y 轴上的投影。 和 分别为主矢与 x 及 y 轴间的夹角。 结论：结论：在一般情形下，平面任意力系向作用面内任一点 O 简化，可得一个力和一 个力偶，这个力等于该力系的主矢,作用在简化中心；这个力偶的力偶矩等于该力系对于简 化中心的主矩。 3.2.3 固定端约束固定端约束 如图 3.4（a） 、 （b）所示，车刀和工件分别夹持在刀架和卡盘上，刀架和卡盘限制了 车刀和工件各个方向的移动和转动，车刀和工件是固定不动的，这种约束称为固定端约束， 其简图如图 3.4（c）所示。应用力系简化方法可以分

7、析固定端约束的约束力。图图 3.4 固定端约束对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力。在平面问题中，这些力 构成一平面任意力系，如图 3.5（a）所示。将这群力向作用平面内点 A 简化得到一个力 和一个力偶，如图 3.5（b）所示。一般情况下这个力的大小和方向均为未知量。可用两个 未知分力来代替。因此，在平面力系情况下，固定端 A 处的约束力可简化为两个约束力 FAx、FAy和一个约束力偶 MA，如图 3.5（c）所示。图图 3.5 比较固定端约束和固定铰链约束的性质，可以看出固定端约束除了限制物体移动外， 还能限制物体在平面内转动。因此，除了约束力外，还有约束反力偶。3.3 平面任意力系

8、的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程3.3.1 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平衡条件：平衡条件：平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任一点的主矩同时等于零。即 （34）0 0oR M 所以，（35）22()()0( ) 0xyooRFFMMF 3.3.2 平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程根据平衡条件（3-5）式可得（36）00( )0xyoFFMF 式（3-6）称为平面任意力系的平衡方程的基本形式。平面任意力系平衡方程可解三个 未知力。 【例例 3-1】悬臂吊车如图 3.6(a)所示。横梁 AB 长 l=2.5m，重力 W=1.2kN。

9、拉杆 CD 倾角 =30，重力不计。电葫芦连同重物重力 G=7.5kN。试求当电葫芦在 x =2m 的位 置时，拉杆的拉力 F 和铰链 A 的约束力。(a) (b) 图图 3.6 解： （1）选横梁 AB 为研究对象，画受力图，如图 3.6(b)所示。 主动力： W ， G；约束力： F 、FAx、FAy。CD 是二力杆， F 沿 CD 连线。各 力作用线在同一平面内且任意分布，属平面任意力系。 （2）选图示坐标，列平衡方程求解。图图 3.70cos00sin0( )0sin02xAxyAyAFFFFFFWGlMFFlWGx 解得11()(1.2 1.257.5 2)13.2sin22.5si

10、n30 cos13.2cos3011.4sin1.27.5 13.2sin302.1AxAylFWGxKNl FFKNFWGFKN ooo（3）讨论。悬臂梁吊车工作时电葫芦是可移动的，考虑 x 为何值时，拉 F 值最大。 现从力矩方程可以看出，当 x= l 时，拉力 F 值最大。max111.2()(7.5)16.2sin2sin302WFGKNo（4）校核计算结果。另取一个非独立的投影方程或力矩方程，对某一个未知量进行运 算，所得结果与前面计算结果相同时，表明原计算正确。例如，再取 C 点为矩心，列力 矩方程( )0tan02 1.27.5 2()cot()cot3011.4222.5cAx

11、Axlm FF lWGxwGxFKNlo计算结果与前面计算结果相同，原计算正 确。 【例例 3-2 】悬臂梁 AB 长为 l，在均布载 荷 q、集中力偶 T 和集中力 F 作用下平衡， 如图 3.7 所示。设 T = ql2，F = ql。试求固定端 A 处的约束力。 解：（1）取悬臂梁 AB 为研究对象,画受力图。 固定端 A 处的约束力，除了 FAx、FAy之外， 还有约束力偶 MA，初学者极易遗漏，如图 3.7 所示。 （2）选图示坐标，列平衡方程求解。注意力偶的两个力对任意一轴的投影代数和均为 零；力偶对作用面内任一点之矩恒等于力偶矩。20000( )002xAxyAyAAFFFFFq

12、lqlMFMFlT 解得（a) (b) （c） 图图 3.822222113 222 0AAyMqlFlTqlqlqlqlFqlFqlql MA为负值，表明约束反力偶与假设方向相反，即顺时针转向。 从以上例题可见，选取适当的坐标轴和矩心，可以减少平衡方程中所含未知量的数目。 采用力矩方程比投影方程计算要简便一些。3.4 物体系统的平衡物体系统的平衡3.4.1 静定与静不定的概念静定与静不定的概念 力系的独立平衡方程数目是有限的。前面研究过的三种力系中，平面任意力系有三个 独立的平衡方程，平面汇交力系有两个独立的平衡方程，平面力偶系有一个独立的方程。 在研究平衡问题时，若所研究问题中未知量的数目

13、等于能列出的独立平衡方程数目， 则未知量可以用平衡方程全部求出，这类问题称为静定问题，该系统称为静定系统；若所 研究问题中未知量的数目超过了独立平衡方程的数目，则未知量不能用平衡方程全部求出， 这类问题称为静不定问题或超静定问题，这样的系统称为静不定系统。 图 3.8(a)所示的简支梁是静定的。图 3.8(b)成了静不定问题。图 3.8（c）所示组合梁， 则问题重新变为静定的，这时对每段可以写出三个独立的平衡方程，虽然未知量增加了， 但未知量的总数等于独立平衡方程的总数。3.4.2 物体系统平衡的特点和解法物体系统平衡的特点和解法 由若干个物体通过相互约束所组成的系统称为物体系统，简称物系。物

14、体系统平衡的 特点是，不仅需要研究物系的外力，还需求出系统内各物体之间相互作用的内力。 研究物系的平衡时，以整个物系为研究对象时，物体之间相互作用的内力不必考虑； 以物系中某一或几个物体为研究对象时，系统中其他物体对它们的作用力就成为外力，必 须予以考虑。在求解物体系统的平衡问题时，既可选整个系统为研究对象，也可选单个物体或部分 物体为研究对象。一般情况下，物系平衡问题需取多次研究对象，列多个平衡方程才能求 解。在选择研究对象和列平衡方程时，应使每个平衡方程中的未知量个数尽量少，最好只 有一个未知量，以避免解联立方程。图图 3.9【例例 3-3 】人字梯 AB、AC 两杆在 A 点铰接，在 D

15、、E 两点用水平绳连接，如图 3.9（a）所示。梯子放在光滑的水平面上，其一边有人攀梯而上，梯子处于平衡状态。已 知人自重 W =600N，AB = AC = l=3m，=45，梯子自重不计，其他尺寸见图。求绳子 的张力和铰链的约束反力。解：（1）先取人字梯 BAC 为研究对象，受力如图 3.9（b）所示。显然梯子在 W 、NB、NC组成的平面平行力系作用下平衡。列平衡方程( )0(2 sin)( sinsin)02232CBlMFNlW l解得： 2260040033BNWN由 2( )0(2 sin)(sin)0232BClMFNlW解得： 1160020033CNWN(2)再选 AC 杆为研究对象，受力如图 3.9（c）所示，显然 AC 杆在平面任意力系作用下处 于平衡状态，列平衡方程00yCAyFNF将代入，解得200CNN200AyCFNN22( )0