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1、集合论部分作业讲评集合论部分作业讲评网上形考作业网上形考作业 1：集合基本概念非实时讨论题：集合基本概念非实时讨论题1设集合 B2, a, 3, 4，判断下列各题是否正确，并说明理由(1) aB； (2) a, 4,3B；(3) 3,4； (4) B解答：解答：（1）错因为a是 B 的单元子集，不是 B 的元素（2）对因为a, 4,3是 B 的一个三元子集（3）对因为空集是任何集合的子集（4）错因为空集不是 B 的元素有同学这样解答：有同学这样解答：(1) 错的，a是表示一个集合，而不是 B 的一个元素(4) 对的，空集是任意集合的子集，是属于的关系点评：点评：(1) 没有正确理解集合的概念通
2、常将一些具有确定的、可以区分的若干事件的全体称为集合集合，而将这些事件称为集合的元素元素集合的元素可以是任何事件，也可以是另外的集合本题中，集合 B 的元素有 4 个：2、a、3和 4，而应 aB有 aB(4) 没有正确理解集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系是包含关系，集合的元素与集合之间的关系是属于关系本题中，集合 B 没有元素，而应有B 2判断下列各题是否正确，并说明理由(1) a, ba, b, c, a, b, c； (2) a, ba, b, c, a, b, c；(3) a, ba, b, a, b ； (4)a, ba, b, a, b 解答：解答：（1）对因为a, b是集
3、合a, b, c, a, b, c的一个二元子集（2）错因为a, b不是集合a, b, c, a, b, c的一个元素（3）对因为a, b是集合a, b, a, b 的一个二元子集（4）对因为a, b是集合a, b, a, b 的一个元素有同学这样解答：有同学这样解答：(1) 对的，a,b是集合a,b,c,a,b,c的一个二元集合，也是集合a,b,c,a,b,c的元素(2) 错的，a,b是以 a，b 为元素的单元集合，集合a,b,c,a,b,c中没有该元素(4) 对的，a,b是集合a,b,a,b中的一个单元集合，是属于集合的关系点评：点评：同学对集合中有元素是集合的情形容易混淆，主要是对属于关
4、系和包含关系没有正确理解(1) 本题中，a,b是集合a,b,c,a,b,c的一个二元子集，但不是集合a,b,c,a,b,c的元素(2) 回答不准确，应该是：a,b是以 a，b 为元素的二元集合，它是集合a,b,c,a,b,c的子集集合a,b,c,a,b,c中没有元素a,b，只有元素a,b,c3设集合 A=a , a ，P(A)是 A 的幂集，判断下列各题是否正确，并说明理由 (1) aP(A)； (2) a P(A)；(3) a P(A)； (4) a P(A)解答：解答：P(A)=,a,a,a,a（1）对，a是 A 的一个单元子集，从而是 P(A)的一个元素；（2）错，a是 P(A)的一个元
5、素，不是 P(A)的一个子集；（3）对，a是 A 的一个单元子集，从而是 P(A)的一个元素；（4）对，a是 A 的一个单元子集，是 P(A)的一个元素，从而a是 P(A)的一个单元子集有同学这样解答：有同学这样解答：(2) 对的，a是 P(A)的一个真子集(3) 答一：错的，a是集合，是 P(A)的子集，集合与集合之间应该是包含关系答二：错误，因为集合 P(A) 包含元素 a(4) 对的，a是 P(A)的一个真子集，是包含关系点评：点评：本题主要检查对幂集的概念的理解，以及当集合有的元素是集合时，正确区分元素与子集若先写出 P(A)，则较容易回答本问题幂集的定义：定义定义 1.1.6 设 A
6、 是一个集合，由 A 的所有子集组成的集合，称为 A 的幂集幂集，记作 P(A)即( ) |P Ax xA(2) ，a是 A 的子集而不是 P(A)的子集aA(3) 答一是取 a 为 A 的元素，没看到a也是 A 的元素，从而a是 A 的子集答二看到a是 P(A)的元素，则判断应该是对的(4) 未说清楚为什么a是 P(A)的真子集网上形考作业网上形考作业 4 4：关系的性质（分组讨论）：关系的性质（分组讨论）第一组讨论题：第一组讨论题：1设集合 A=1 , 2 , 3 , 4上的二元关系R = 1 , 1，1 , 3，2 , 2，3 , 1，3 , 3，3 , 4，4 , 3，4 , 4，判断
7、 R 具有哪几种性质？并说明理由解答：解答： IA=,R，所以 R 具有自反性； 由 R 的集合表达式可见，任意R，就有R，所以 R 具有对称性； 因为R，R，但R，所以 R 没有传递性有同学这样解答：有同学这样解答：元素有，但没有 ，所以集合 A 具有反对称性传递性：RR=，被 R 包含，R 为 A 上传递的关系点评：点评：(1) 对称关系 R 不要求有所有的元素和有所有的元素和的是全关系对称关系是若有，就有反对称关系是若，有ij，就没有(2) 错误计算 RR应该是 RR=，比 R 多了两个元素第二组讨论题：第二组讨论题：2设集合 A=a , b , c上的二元关系R = a , a，b ,
8、 b，b , c，c , c，S =a , b，b , a，T = a , b，a , c，b , a，b , c，判断 R，S，T 是否为 A 上自反的、对称的和传递的关系并说明理由解答：解答： IA=,R，所以 R 具有自反性；IAS=，IAT=，所以 S 和 T 都具有反自反性 R-1=,，R-1R=,=IA，S-1=S，T-1=,，T-1T= IA，所以 S 具有对称性，R、T 具有反对称性 因为 RR=, R，所以 R 具有传递性；因为S，S，但S，所以 S 没有传递性；因为T，T，但T，所以 T 没有传递性有同学这样解答：有同学这样解答：R 是 A 上的自反关系，=IARS，T 是
9、 A 上的反自反关系，SIA= 为空集，同样 TIA=S 是 A 上的对称关系，S=S-1=，R 是 A 上的传递关系，RR=，R点评：点评：没有判断 R 和 T 有没有对称性没有判断 S 和 T 有没有传递性网上形考作业网上形考作业 5：等价关系的判定（离线作业）：等价关系的判定（离线作业）1设集合 Aa, b, c, d，在 A 上定义二元关系R, , , , , , ,试判断 R 是否为 A 上的等价关系，说明理由解答：解答： ，所以 R 是自反的；,AIa ab bc cd dR 易见，所以 R 是对称的；1RR ,RRa aa db bb c ，,c bc cd ad dRR 所以，
10、R 是传递的故，R 是 A 上的等价关系2设集合 A=0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5上的关系R = 0, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 3， 3, 1, 3, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 4, 5, 5 试判断 R 是否为 A 上的等价关系并说明理由解答：解答： ，所以 R 是自反 0,0 ,1,1 ,2,2 ,3,3 ,4,4 ,5,5 AIR 的； 易见，所以 R 是对称的；1RR 0,0 ,1,1 ,1,2 ,1,3 ,2,1 ,2,2 ,2,3 ,RR 3,1 ,3,2 ,3,3 ,4,4 ,4,5 ,5,4 ,
11、5,5 RR 所以，R 是传递的故，R 是 A 上的等价关系3设集合 A = a, b, c, d，R，S 是 A 上的二元关系，且R = , , , , , , , ，S = , , , , , , , , ，试判断 R 和 S 是否为 A 上的等价关系，并说明理由解答：解答：对于关系 R： ，所以 R 是自反的；,AIa ab bc cd dR 易见，所以 R 是对称的；1RR ,RRa aa bb ab b ,c cc dd cd dRR 所以，R 是传递的故，R 是 A 上的等价关系对于关系 S：因为，所以 S 不是自反的，从而 S 不是 A 上的等价关系,d dS有同学这样解答：有同
12、学这样解答：1是等价关系：因为每个结点都有自回路，所以 R 是自反的两个结点间有 a 到 b 的弧就有 b 到 a 的弧，所以 R 是对称的R 是传递的所以是等价关系2是等价关系理由同上3是等价关系理由同上点评：点评：试图用关系图来说明，但没有画出图形，且没有说到传递性的判断网上形考作业网上形考作业 4 4、5 5 方法小结：方法小结：这两次作业都归结到判断二元关系的性质，二元关系性质的判别有下列四种方法：方法一：方法一：定义方法二：方法二：关系矩阵(1) R 是自反的关系的主对角线元素都是 1；RM(2) R 是反自反的关系的主对角线元素都是 0；RM(3) R 是对称的关系是对称矩阵；RM
13、(4) R 是反对称的关系中，对任意，若，则RMji 1ijr0jir（注：注：由关系矩阵不能判断传递性）方法三：方法三：关系图(1) R 是自反的关系关系图的每个结点都有自回路；(2) R 是反自反的关系关系图的任何结点都没有自回路；(3) R 是对称的关系关系图中任意两个结点之间或者没有有向弧，或者互有有向弧；(4) R 是反对称的关系关系图中任意两个结点之间或者没有有向弧，或者仅有一条有向弧；(5) R 是传递的关系关系图中，若结点 a 有有向弧指向 b，同时结点 b 又有有向弧指向 c，则结点 a 一定有有向弧指向 c特别地，若结点 a 有有向弧指向 b，同时结点 b 又有有向弧指向 a，则结点 a 和 b 上各有一条自回路方法四：方法四：充分必要条件(1) R 是集合 A 上自反关系的充分必要条件是；AIR(2) R 是集合 A 上反自反关系的充分必要条件是；ARI I(3) R 为集合 A 上对称关系的充分必要条件是；1RR(4) R 为集合 A 上反对称关系的充分必要条件是；1 ARRII(5) R 为集合 A 上传递关系的充分必要条件是R RRg
