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1、1矩阵、行列式复习矩阵、行列式复习1、理解矩阵的概念并能正确的表示矩阵理解矩阵的概念并能正确的表示矩阵（1）矩阵的定义个实数排成行 列的矩形数表nmnjmiaij, 2 , 1;, 2 , 1,LLmn叫做矩阵。记作，叫做矩阵的维数。mnnmnnaaaaaaaaaALMMLL212221211211nmAnm矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素.方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵（2）线性方程组的系数矩阵和扩充矩阵 222111 cybxacybxa（3）矩阵的三种变换互换矩阵的两行；把某一行同乘（除）以一个非零的数；某一行乘以一个数加到另一行。变换幻的目的
2、是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。2、掌握矩阵的加法、减法及乘法运算掌握矩阵的加法、减法及乘法运算（1）矩阵的和（差）2当两个矩阵 A，B 的行数与列数分别相同时，将它们对应位置上的元素相加（减）所得到的矩阵称为矩阵 A，B 的和（差） ， 记作：A+B （A-B）运算律：运算律： 加法交换律：A+B=B+A加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）（2）矩阵与实数的积设 为任意实数，把矩阵 A 的所有元素与 相乘得到的矩阵叫做矩阵 A 与实数 的乘积矩阵.记作： A运算律：运算律：（为实数）、分配律： ；BABAAAA)(结合律： AAA（3）矩阵的乘积
3、一般，设 A 是阶矩阵，B 是阶矩阵，设 C 为kmnk 矩阵nm如果矩阵 C 中第 i 行第 j 列元素是矩阵 A 第 i 个行向量ijC与矩阵 B 的第 j 个列向量的数量积，那么 C 矩阵叫做 A与 B 的乘积.记作：C=AB运算律运算律分配律：，ACABCBA)(CABAACB)(结合律：， BABAABBCACAB注：交换律不成立，即注：交换律不成立，即BAAB 3、掌握二阶行列式的有关概念及求二元一次方程组的解法：、掌握二阶行列式的有关概念及求二元一次方程组的解法：3设二元一次方程组（*） 222111 cybxacybxa（其中是未知数，是未知数的系数且不全为零，yx,2121,
4、bbaa是常数项 ）21,cc用加减消元法解方程组（*）:当时，方程组（*）有唯一解：，01221baba 1221122112211221babacacaybababcbcx引入记号 表示算式，即 21 aa21 bb1221baba21 aa21 bb1221baba从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等记 ， ， ，D21 aa21 bbxD21 cc21 bbyD21 aa21 cc则当 =时，方程组（*）有唯一解，D21 aa21 bb01221baba可用二阶行列式表示为 DDyDDxyx当 D=0 时, 无穷组解；
5、0xyDD当 D=0 时, 无解。0,0xyDor D系数行列式也为二元一次方程组解的判别式。1122abDab44、三阶行列式、三阶行列式（1）三阶行列式的展开方法：对角线方式展开按某一行(或列)展开法=333231232221131211aaaaaaaaa112233122331132132112332122133132231a a aa a aa a aa a aa a aa a a=-+11a33322322 aaaa 12a33312321 aaaa 13a32312221 aaaa记 ，； ， 3222 11aaM3323 aa1111 11) 1(MA3121 12aaM3323
6、 aa12A； ， 。1221) 1(M3121 13aaM3222 aa1331 13) 1(MA称为元素的余子式余子式，即将元素所在的第一行、第jM1ja1ja1列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类j似可以定义其它元素的余子式） ；称为元素的代数余代数余jA1ja1子式，子式，（。jj jMA11 1) 1()3,2,1j则三阶行列式就可以写成= =,D333231232221131211aaaaaaaaa131312121111AaAaAa这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。上式称为三阶行列式5按第一行展开的展开式按第一行展开的展
7、开式。类似地，若将按别的行或列的D元素整理，同样可得行列式按任一行(列)展开式。（2）三阶行列式的性质 行、列依次对调,行列式的值不变,即 两行(或两列)对调,行列式的值变号,例如 某行(或列)所有元素乘以数 k,所得行列式的值等于原行列式值的 k 倍,例如 某两行(或两列)的元素对应成比例,行列式的值为零,例如 某行(或列)的元素都是二项式,该行列式可分解为两个行列式的和,例如6 某行(或列)的所有元素乘以同一个数,加到另行(或列)的对应元素上,行列式的值不变,例如性质：如果将三阶行列式的某一行（或一列）的元素与另一行（或一列）的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零。5、用三阶
8、行列式求三角形的面积：若三个顶点坐标ABC分别为、，则11223311121ABCxy Sxy xy),(11yx),(22yx),(33yx、 、 三点共线的充分必要条件为ABC1122331 10 1xy xy xy6、三元一次方程组的解法、三元一次方程组的解法设三元一次方程组 ()，其中是未知333322221111dzcybxadzcybxadzcybxazyx,数，是未知数的系数，且不全为零，)3 , 2 , 1( icbaiii、是常数项。)3 , 2 , 1( idi下面用加减消元法解方程组()：我们把方程组()的系数行列式记为，用的D111222333abcabcabcD元素的
9、代数余子式依次乘以方程组()的321aaa、321AAA、7各方程，得11111111AdzAcyAbxAa， 22222222AdzAcyAbxAa33333333AdzAcyAbxAa将这三个式子相加，得：332211332211332211332211)()()(AdAdAdzAcAcAcyAbAbAbxAaAaxAa其中式中 的系数恰为()的系数行列式 xD由于的系数分别是的第一列元素的代数余子式的乘积zy、D之和，因此的系数都为零zy、式的常数项可表示为 111222333xdbcDdbcdbc于是式可化简为 Dx=Dx。类似地，用 D 的元素 、 、 的代数余子式、依1b2b3b1
10、B2B3B次乘以方程组（*）的各方程，可推得 Dy=Dy；用 D 的元素 、 、 的代数余子式、依次乘以方程组（*）1c2c3c1C2C3C的各方程，可推 Dz=Dz ，其中111222333yadc Dadc adc111222333zabdDabaabd由方程组xyzD xD D yD D zD 可见， 对于三元一次方程组（*） ，其系数行列式为 D。8（i）当时，方程组（*）有唯一解0D xyzDxD DyD DzD （ii）当 D=0 时，方程组（*）无解，或者有无穷多解，例如，方程组 _无解_531zyxzyxzyx而方程组，和_有无穷多解_1 3333 5555xyz xyz xyz 1232324xyzxyzxyz 性质：（1）线性方程组的系数行列式,则它唯一解。0D （2）Cramer 定理的逆定理是推论: 如果线性方程组无解或解不唯一，则它的系数行列式必为零。（3）定理齐次方程组一定有零解。即0,1,2,ixinL齐次方程组有唯一零解的充分必要条件是它的系数行列式不为零；齐次方程组有非零解得充分必要条件是它的系数行列式9为零。
