数学期望在生活中的应用

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1、1数学期望在生活中的应用数学期望在生活中的应用王小堂王小堂 保亭中学保亭中学摘摘 要要： 数学期望是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之 一。通过几个例子,阐述了概率论与数理统计中的教学期望在生活中的应用,文章内容包括 决策、利润、彩票、医疗等方面的一些实例，阐述了数学期望在经济和实际问题中颇有价 值的应用。 关键词关键词： 随机变量， 数学期望， 概率 ， 统计 数学期望(mathematical expectation)简称期望，又称均值，是概率论中一 项重要的数字特征，在经济管理工作中有着重要的应用。本文通过探讨数学期 望在经济和实际问题中的一些简单应用，以期起到让学生

2、了解知识与人类实践 紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。 随随机机变变量量的的数数学学期期望望值值 ：在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或 均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句 话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期 望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”“ 期望值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。） 单单独独数数据据的的数数学学期期望望值值算算法法 ：对于数学期望的定义是这样的。数学期望 E(X)

3、 = X1*p(X1) + X2*p(X2) + + Xn*p(Xn) X1,X2,X3,Xn 为这几个数据， p(X1),p(X2),p(X3),p(Xn)为这 几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),p( Xn)概率函数就理解为数据 X1,X2,X3,Xn 出现的频率 f(Xi).则： E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + + Xn*fn(Xn) 很容易证明 E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。1 决策方案问题决策方案问题 决策方案即将数学期望最大

4、的方案作为最佳方案加以决策。它帮助人们在复 杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。具体做法为：如果知道任一2方案 Ai(i=1,2,m)在每个影响因素 Sj(j=1,2,n)发生的情况下，实施某种方案 所产生的盈利值及各影响因素发生的概率,则可以比较各个方案的期望盈利，从 而选择其中期望盈利最高的为最佳方案。1.1 投资方案投资方案 假设某人用 10 万元进行为期一年的投资，有两种投资方案：一是购买股 票;二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济形势，若经济形势好可获 利 4 万元，形势中等可获利 1 万元，形势不好要损失 2 万元。如果存入银行， 假设利率为 8%，可得利息 800

5、0 元，又设经济形势好、中、差的概率分别为 30%、50%、20%。试问应选择哪一种方案可使投资的效益较大？ 比较两种投资方案获利的期望大小： 购买股票的获利期望是 E(A1)=40.3+10.5+(-2)0.2=1.3(万元）,存入银 行的获利期望是 E(A2)=0.8（万元） ，由于 E(A1)E(A2),所以购买股票的期望收 益比存入银行的期望收益大，应采用购买股票的方案。在这里，投资方案有两 种，但经济形势是一个不确定因素,做出选择的根据必须是数学期望高的方案。 1.2 面试方案面试方案 设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，假定每个公司有三种 不同的职位:极好的,工资 4 万

6、;好的,工资 3 万;一般的,工资 2.5 万。估计能得到 这些职位的概率为 0.2、0.3、0.4，有 0.1 的可能得不到任何职位。由于每家公 司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，那么，应遵循什么策略应答呢？极端的情况是很好处理的，如提供极好的职位或没工作，当然不用做决定 了。对于其他情况，我们的方案是，采取期望受益最大的原则。 先考虑现在进 行的是最后一次面试，工资的数学期望值为: E（A1） =40.2+30.3+2.50.4+00.1=2.7 万。 那么在进行第一次面试时，我们可以认为，如果接受一般的值位，期望工 资为 2.5 万，但若放弃(可到下一家公司碰运气） ，期望工资为

7、 2.7 万，因此可 选择只接受极好的和好的职位。这一策略下工资总的期望 如果此人接到了三 份这样的面试通知,又应如何决策呢? 最后一次面试,工资的期望值仍为 2.7 万。第二次面试的期望值可由下列数 据求知:极好的职位，工资 4 万;好的，工资 3 万；一般的，工资 2.5 万;没工作 (接受第三次面试） ，2.7 万。期望值为:E（A2） =40.2+30.3+2.50.4+2.70.1=3.05 万。 这样，对于三次面试应采取的行动是：第一次只接受极好的职位，否则进 行第二次面试；第二次面试可接受极好的和好的职位，否则进行第三次面试； 第三次面试则接受任何可能提供的职位。这一策略下工资总

8、的期望值为 40.2+3.050.8=3.24 万。故此在求职时收到多份面试通知时，应用期望受益 最大的原则不仅提高就业机会，同时可提高工资的期望值。 2 生产和销售利润问题生产和销售利润问题 在经济活动中，不论是厂家的生产还是商家的销售，总是追求利润的最大 化,供大于求或供不应求都不利于获得最大利润。但供应量和需求量又不是预先 知道的。理性的厂家或商家往往根据过去的数据(概率） ，用数学期望结合微积 分的有关知识，制定最佳的生产或销售策略。 假定某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定其产量。估计出售一件3产品，公司可获利 m 元，而积压一件产品，可导致损失 n 元，另外，该公司预 测产品的

9、销售量 X 为一个随机变量，其分布为 p()，那么，产品的产量该如何 制定，才能获得最大利润。 假设该公司每年生产该产品 件，尽管 是确定的，但由于需求量(销售量)是 一个随机变量，所以收益是一个随机变量，它是的函数： 公司收益的数学期望为：E=pmX+(1-p)n(x-X)问题转化为,当 为何值时,期望收益可以达到最大值。这个问题的解决,就 是求目标函数期望的最大最小值。 3 彩票问题彩票问题 3.1 设每张福利彩票售价 5 元，各有一个兑奖号。每售出 100 万张设一个 开奖组，用摇奖器当众摇出一个 6 位数的中奖号码（可以认为从 000000 到 999999 的每个数等可能出现） ，兑

10、奖规则如下： 如果兑奖号与中奖号的最后一 位相同者获六等奖，奖金 10 元（中奖概率为 0.1） ；兑奖号与中奖号的最后二 位相同者获五等奖，奖金 50 元（中奖概率为 0.01） ；兑奖号与中奖号的最后三 位相同者获四等奖,奖金 500 元(中奖概率为 0.001);兑奖号与中奖号的最后四位 相同者获三等奖,奖金 5000 元（中奖概率为 0.0001） ；兑奖号与中奖号的最后 五位相同者获二等奖，奖金 50000 元(中奖概率为 0.00001）;兑奖号与中奖号 全部相同者获一等奖，奖金 500000 元（中奖概率为 0.000001） 。另外规定， 只领取其中最高额的奖金，试求每张彩票的

11、平均所得。 所以彩民的每张彩票的售价数学期望所得为:E=10*0.1+50*0.01+500*0.001+5000*0.0001+50000*0.00001+500000*0.000001=3.5 那么，一个开奖组（100 万张）可将所筹得的 500 万元中的 350 万元以 奖金形式返还给彩民，其余 150 万元则可用于福利事业及管理费用。因此，彩 票中奖与否虽然是随机的，但一种彩票的期望所得是可以预先算出的，计算期 望所得也是设计一种彩票的基础。 3.2 还有一种玩法和设奖方法： 彩票的玩法比较简单，2 元买一注，每一注填写一张彩票，每一张彩票由一个6 位数字和一个特别号码组成，每位数字均

12、可填写 0、1、9 这 10 个数字中的一个。每期设六个奖项，由彩票中心随机开出一个奖号-一个 6 位数号码另加一个特别号码。中奖号码情况如下所示(假设一等奖号码是 123456，特别号码是 7)： 奖级 中奖号码 每注奖金 特等奖 123456+7 不一定 一等奖 123456 不一定 二等奖 12345、23456 不一定 4三等奖 1234、2345、3456 300 元 四等奖 123，234、345、456 20 元 五等奖 12、23、34、45、56 5 元 3.1 中奖概率中奖概率 以一注为单位，计算每一注彩票的中奖概率： 特等奖 P0 = 1/10000000 = 0.000

13、0001 一等奖 P1 = 1/1000000 = 0.000001 二等奖 P2 = 20/1000000 = 0.00002 三等奖 P3 = 300/1000000 = 0.0003 四等奖 P4 = 4000/1000000 = 0.004 五等奖 P5 =50000/1000000 = 0.05合起来，每一注总的中奖概率为：P = P0+ P1+ P2 +P3+ P4+ P5 = 0.0543211这就是说每 1000 注彩票约有 54 注中奖(包括五等奖到特等奖) 3.2 彩票中奖的期望值彩票中奖的期望值 从理论上讲彩票奖金的返还率 50%，所以每一注彩票的期望值应该是 1 元。现

14、在，我们来实际计算一下，看是否如此。 体育彩票各奖级的概率、奖金数额列如下： 奖级 中奖概率 每注奖金 特等奖 00000001 2500000(元) 一等奖 0000001 50000(元) 二等奖 000002 5000(元) 三等奖 00003 300(元) 四等奖 0004 20(元) 五等奖 005 5(元) 5期望值 E = 0.00000012500000+0.00000150000+0.00025000+0.0003300+0.00420+0.0550.82(元) 即每一注体育彩票中奖的期望值约为 0.82 元。这与理论值 1 元相差不大，误差的原因主要是对前三级奖金的估计不够

15、精确。4 医疗问题医疗问题 在某地区进行某种疾病普查，为此要检验每个人的血液，如果当地有 N 个 人，若逐个检验就需要检验 N 次，现在要问：有没有办法减少检验的工作量？ 我们先把受检验者分组，假设每组有 k 个人，把这 k 个人的血液混合在一 起进行检验，如果检验的结果为阴性，这说明 k 个人的血液全为阴性，因而这 k 个人总共只要检验一次就够了，检验的工作量显然是减少了，但是如果检验 的结果是阳性，为了明确 k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这 k 个人再 逐个进行检验，这时 k 个人检验的总次数为 k+1 次，检验的工作量反而有所增 加，显然，这时 k 个人需要的检验次数可能只要 1 次，也可能要检验 k+1 次， 是一个随机变量，为了和老方法比较工作量的大小，应该求出它的平均值（也 是平均检验次数） 。 在接受检验的人群中，各个人的检验结果是阳性还是阴性，一般都是独立 的（如果这种病不是传染病或遗传吧遗传病） ，并且每个人是阳性结果的概率为 p，就是阴性结果的概率为 q=1-p，这时 k 个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为,呈阳性结果的概率则为 1,现在令 为 k 个人一组混合检验时每人kqkq所需的检验次数，由上述讨论可知