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1、 1 作业作业 1A 质点运动的描述质点运动的描述 1A-1一人自原点出发，25s 内向东走 30m，又 10s 内向南走 10m，再 15s 内向正西北走 18m，求在这 50s 内， (1) 平均速度的大小和方向； (2) 平均速率的大小。 解：(1) BCABOAOC+= )45sin)45cos(18)10(30jiji+= ji73. 227.17+= |OC =17.48 m，方向 =8.98(东偏北) =tOCtr/v0.35 m/s，方向东偏北 8.98 (2) (路程)()181030+=Sm=58m, 平均速率大小：16. 1/=tSv m/s 1A-2一艘正沿直线行驶的快
2、艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即2kvdtdv=，式中k为常数，试证明快艇在关闭发动机后又行驶 x 距离时的速度为kxevv=0；其中0v是发动机关闭时的速度。 证明 ： dtvdvdtdxdxdvdtdv/)/()/(= 2/kvdxvdv= 即kdxvdv=， 当 t=0，0vv =，积分得：kxevv=01A- 3. 已知质点的运动学方程为 jttittr)314()2125(32+= (SI) 求：(1) 当 t = 2 s 时，加速度的大小 a ; (2) 加速度a与 x 轴正方向间夹角。 解：(1) j tia2+=，当 t = 2 s，24
3、1|+=a=4.123 m/s2 (2) =41arctg104o 1A-4一质点在xoy平面内运动，运动方程为： =22192tytx，式中yx,以米计，t以秒计，(1)求质点的轨迹方程；（2）求t时刻的速度和加速度；（3）在什么时刻质点的位置矢量与速度垂直？ O C A B 东 y 北 /4 西 南 x PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 2 解：(1)消去时间 t，得 2 192xy =（2）对时间求一次导数，得 t 时刻速度为：24vitj=对时间求二次导数，得 t 时刻加速度为：4aj= （3）当位矢与速度垂直时，有：.0r v = ，即 ()()221
4、92. 240titjitj+=解得 0 ,3 ,3ts ts ts= 。显然，t=3s 无意义，应舍去。 1A-5 设质点的运动函数为x=x)(t，)(tyy =，在计算质点的速度时，有两种解法 （1）先求出22yxr+=，然后求出 dtdrv =及22dtrda = （2） 先求出dtdx，dtdy ,然后求出:22)()(dtdy dtdxv+=，2 22 2 22 )()(dtyd dtxda+= 试问哪种方法正确？两者差别何在？ 解：（2）解法正确，（1）错误。 作业作业 2A 质点运动的描述之二质点运动的描述之二 2A-1. (1) 在一个转动的齿轮上，一个齿尖 P 沿半径为 R
5、的圆周运动，其路程 S 随时间的变化规律为2 021bttS+=v，其中0v和 b 都是正的常量求： (1) t 时刻齿尖 P 的速度大小和加速度大小 (2) 从0=t开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间 解：(1) ctbtS+=d/dv ctat=d/dv；()Rctban/2+= (2)根据题意： at = an ，即有：()Rctbc/2+= 解得 cb cRt= 2A- 2 (1) 对于在 xy 平面内，以原点 O 为圆心作匀速圆周运动的质点，试用半径 r、角速度 和单位矢量i、j表示其t时刻的位置矢量 已知在t = 0时， y = 0, x = r, 角速度 如图所示
6、； (2) 由(1)导出速度v与加速度a的矢量表示式； (3) 试证加速度指向圆心 解：(1) jtri trjyixrsin cos +=+= x y O r (x,y) jiPDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 3 (2) jtri trtrcos sindd+=v jtri trtasin cosdd22=v(3) ()rjtri trasin cos22=+=，这说明 a与 r方向相反，即a指向圆心 2A- 3 如图示，A 为电动机带动的绞盘，其半径 rA = 0.25 m，B 为一动滑轮小室 C 向上作匀减速运动，其初速度 v0 = 4.00 ms-1 (
7、向上)，加速度量值 a= 0.50 ms-2，绳与绞盘间无滑动求在任意时刻 t (1) 配重 D 的速度和加速度 (2) A 的角速度和角加速度 解：(1) 根据给定条件取如右下图的坐标轴方向，小室 C 的运动速度表示为： ()iatC=0vv 由于配重 D 与小室 C 间装有动滑轮，故配重 D 的运动速度表示式为 itiatD)00. 100. 8()(20+=vv (SI) 加速度为： ii aaD00. 12= (SI) (2) 由于绳与绞盘间无滑动， A 的角速度和角加速度分别为(以逆时针为正) ()() 25. 050. 000. 4220t rat rAAD=vv = (324t)
8、 (SI) = aD / rA = 2a / rA = 4.00 rad/s2 2A- 4 一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道 A 点处速度v的大小为0v，其方向与水平方向夹角成30。 求物体在A点的切向加速度at 和轨道的曲率半径 。 解：=O tga30sing/2 2 0 2330cosvggaO n= ()gan3/v322= 2A-5. 河水自西向东流动，速度为hkm/10，一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西30，相对于河水的航速为hkm/20，此时风向为正西，风速为hkm/10，试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。 （设烟离开烟卤后很快就获得与风相同的速度）。 O
9、xDvCv0v30AgnaaC D B A rA PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 4 解： 记水、风、船和地球分别为 w， f，s 和 e，则水地、风船、风地和船地间的相对速度分别为weV 、fsV 、feV 和seV 由已知条件 weV=10 km/h，正东方向 feV=10 km/h，正西方向 swV=20 km/h，北偏西030方向 根据速度合成法则： seV =swV weV由图可得： seV=310 km/h，方向正北 同理 fsV =feV seV ， 由于feV =weV fsV=swV， fsV 的方向为南偏西 30 在船上观察烟缕的飘向即fs
10、V 的方向，它为南偏西 30 2A-6. 有一宽为l的大江， 江水由北向南流去， 设江中心流速为0u， 靠两岸的流速为零，江中任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方成正比。 今有相对于水的速度为ov的汽船由西岸出发，向东偏北 45方向航行，试求其航线轨迹方程以及到达东岸的地点。 解：以出发点为坐标原点，向东取为 x 轴，向北取为 y 轴，因流速为y 方向，由题意可得 ux = 0 uy = a(xl/2)2b 令 x = 0, x = l 处 uy = 0, x = l/2 处 uyu0 ， 代入上式定出 a、，而得()xxlluuy=204设船相对于岸的速度v(vx，vy)，则
11、有 2/0vv=xyyu+=)2/(0vv， 将上二式的第一式进行积分，有tx20v= 还有，xy tx xy tyydd2dd dd dd0vv=()xxllu20042v即 ()xxllu xy=020241dd v因此，积分之后可求得如下的轨迹(航线)方程： 3020200 32422xluxluxyvv+= y 45 v0 u0 x l 30o 30o seVfsVfeVweV北 东 swVPDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 5 到达东岸的地点(x，y )为 = 00 3231v, ulyylxlx作业作业 3A 功和功能原理功和功能原理 3A- 1. 质
12、量 m2 kg 的物体沿 x 轴作直线运动， 所受合外力 F106x2 (SI) 如果在 x=0处时速度 v00；试求该物体运动到 x4 m处时速度的大小 解：用动能定理，对物体 +=402402d610d021xxxFm)(v3210xx +=168 解出 v13 m/s 3A- 2 如图所示，质量 m2 kg 的物体从静止开始，沿 1/4 圆弧从 A 滑到 B，在 B 处速度的大小为 v6 m/s，已知圆的半径 R4 m，则物体从 A 到 B 的过程中摩擦力对它所作的功 W. 解：由功能原理，得 W=+mgRmvmgRmvmv22 02 21)21(2142.4 J 或由动能定理得 22 02 21 21 2
