完全平方公式讲解

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1、 郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习 方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。积累是最伟大的力量！完全平方公式讲解完全平方公式讲解第一部分第一部分 概念导入概念导入1问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=aa，那么（a+b）2 应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？（1） （p+1）2=（p+1） （p+1）=_； （m+2）2=_；（2） （p-1）2=（p-1） （p-1）=_； （m-2）2=_；2学生计算3得到结果：（1） （p+1）2=（p+1） （p+1）=p2+2p+1（m+2）2=（m+2） （m+2）= m2+4m+

2、4（2） （p-1）2=（p-1） （p-1）= p2-2p+1（m-2）2=（m-2） （m-2=m2-4m+44分析推广：结果中有两个数的平方和，而 2p=2p1，4m=2m2，恰好是两个数乘积的二倍。 （1）（2）之间只差一个符号。推广：计算（a+b）2=_ _ （a-b）2=_ _ 【2】得到公式，分析公式（1） 结论：(a+b)(a+b)2 2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 2 倍倍（2）公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一

3、项的平方与这两项乘积 2 倍的和注意：公式右边 2ab 的符号取决于左边二项式中两项的符号若这两项同号，则 2ab 取“” ，若这两项异号，则 2ab 的符号为“” （3）公式中字母可代表的含义公式中的 a 和 b 可代表一个字母，一个数字及单项式（4）几何解释图 15图 15 中最大正方形的面积可用两种形式表示：（ab）2 a22abb2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（ab）2a22abb2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性【学习方法指导学习方法指导】例 1计算（1） （3a2b）2 （2） （mnn2）2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中 a，b 在题目中

4、分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候同时应注意公式中 2ab 的符号郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习 方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。积累是最伟大的力量！解：（1） （3a2b）2（3a）22（3a）（2b）（2b）29a212ab4b2注意：（2）中 n2的指数 2 与公式中 b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方” 例 2计算（1） （mn）2 （2） （5a2） （5a2）点拨：（1）可直接用完全平方公式由于m 与n 是同号，所以公式中的 2ab 取“” （2）中两个二项式虽然不同，但若将第一个括

5、号中的“”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算解：（1） （mn）2（m）22（m） （n）（n）2m22mnn2（2） （5a2） （5a2）（5a2） （5a2）（5a2）2（25a220a4）25a220a4小结：由（2）可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算例 3计算（1） （x2y）2（xy） （xy）（2） （mn） （m2n2） （mn）点拨：（1）可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简 （2）可先利用平方差公式将 mn 与 mn 相乘，再将所得结果 m2n2与中间括号里的 m2

6、n2相乘，可利用完全平方公式解：（1） （x2y）2（xy） （xy）（x24xy4y2）（x2y2）x24xy4y2x2y24xy5y2（2） （mn） （m2n2） （mn）（mn） （mn） （m2n2）（m2n2） （m2n2）（m2）22m2n2（n2）2m42m2n2n4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习 方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。积累是最伟大的力量！例 4计算：（x）2（x）22y 2y点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算：a2

7、b2（ab） （ab） ，将此题转化为平方差公式进行计算解法一：（x）2（x）22y 2y（x2xy）（x2xy）42y 42yx2xyx2xy42y 42y2xy解法二：例 5计算：（a2b1） （a2b1）点拨：此题“三项式乘三项式” ，且这两个括号中的三项只有符号不同先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成（ab） （ab）的形式，利用平方差公式进行简化运算关键：此题最重要一步就是由到的过程转化，要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变！随堂练习随堂练习一、选择题一、选择题1下列运算中，正确的是（ ）A3a+2b=5ab B （a1）2=a22a+1 Ca

8、6a3=a2 D （a4）5=a9郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习 方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。积累是最伟大的力量！2下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（ ）A （x+y）2=x2+y2 B （xy）2=x2y2C （x+y）2=x22xy+y2 D （xy）2=x22xy+y23下列各式计算结果为 2xyx2y2的是（ ）A （xy）2 B （xy）2 C（x+y）2 D（xy）24若等式（x4）2=x28x+m2成立，则 m 的值是（ ）A16 B4 C4 D4 或4二、填空题二、填空题5 （x2y）2=_6若（3x+4y）2=（3x4y）2+B，则 B=_7若

9、 ab=3，ab=2，则 a2+b2=_8 （_y）2=x2xy+_；（_）2=a26ab+_1 39 49 16三、解答题三、解答题9利用完全平方公式计算：（1）20082； （2）78210先化简，再求值：（2x1） （x+2）（x2）2（x+2）2，其中 x=1 311.利用公式计算：196212.某正方形边长 a cm，若把这个正方形的边长减小 3 cm，则面积减少了多少？13.已知 x+y=1，求x2+xy+y2的值1 21 214.已知 a+=5，分别求 a2+， （a）2的值1 a21 a1 a15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加 3 米，则它的面积就增加 39

10、平方米，求这个正郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习 方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。积累是最伟大的力量！方形花坛的边长16.小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本22220092008 20092007200920092不需要用计算器，而且很快说出了答案你知道他是怎么做的吗？17已知：ab5，ab6，求 a2b218.利用公式计算：992119.计算 （1）； （2）；) 1)(1(abab)32)(32(xx（3）102； （4）99.22（5）；（6）.) 1)(1(baba2)2(pnm20.一个正方形的边长增加 3cm,它的面积就增加 39,这个正方

11、形的边长是多少?2cm21.当的值2)2()23)(23(1, 1babababa与与与郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习 方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。积累是最伟大的力量！22.求证：当 n 为整数时，两个连续奇数的平方差是 8 的倍数22) 12() 12(nn23.观察下列等式：，10122312225232273422请用含自然数 n 的等式表示这种规律为：_.24.已知是一个完全平方式,求 M 的值.2294yMxyx25.2005 年 12 月 1 日是星期四，请问：再过 2005天的后一天是星期几?2答案答案一、1B2C 点拨：（x+y）2=x2+2xy+y2，

12、所以 A 不正确；（xy2=x22xy+y2，所以 B 不正确；（x+y）2=（x）2+2（x）y+y2=x22xy+y2，所以 C 正确；（xy）2=（x+y）2=x2+2xy+y2，所以 D 也不正确，故选 C3D4D 点拨：因为（x4）2=28x+16，所以若（x4）2=x28x+m2成立，则 m2=16，从而得 m=4，故选 D二、5x2+4xy+4y2 点拨：（x2y）2=（x+2y） 2=（x+2y）2=x2+4xy+4y2648xy 点拨：B=（3x+4y）2（3x4y）2=9x2+24xy+16y2（9x224xy+16y2）=9x2+24xy+16y292+24xy16y2=

13、48xy713 点拨：因为 ab=3，ab=2，所以 a2+b2=（ab）2+2ab=32+22=9+4=138x；y2；a4b；16b23 21 93 4三、9解：（1）20082=（2000+8）2=20002+220008+82=4000000+32000+64=4032064；（2）782=（802）2=8022802+22=6400320+4=6084郑州郭氏数学内部资料；更多学习资料及学习 方法、考试技巧请百度郭氏数学公益教学博客。积累是最伟大的力量！10解：（2x1） （x+2）（x2）2（x+2）2=2x2+4xx2（x24x+4）（x2+4x+4）=2x2+3x2x2+4x4

14、x24x4=3x10当 x=时，原式=3（）10=110=111 31 311.思路：196 接近整数 200，故 1962004，则此题可化为（2004）2，利用完全平方公式计算解：1962（2004）2200222004424000016001638416说明：可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算12.思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积边长边长” ，表示出两个正方形的面积，用“大小”即可得出所求计算的关键在完全平方式的展开解：原正方形面积：a2现正方形面积：（a3）2面积减少了 a2（a3）2a2（a26a9）a2a26a9（6a9） （cm2）答：面积减少了（6a9） cm213.解：因为 x+y=1，所以（x+y）2=1，即 x2+2xy+y2=1所以x2+xy+y2=（x2+2xy+y2）=1=1 21 21 21 21 2点拨：通过平方将已知条