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1、第 1 页 共 17 页绝密绝密启用前启用前2010 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学数学试题试题参考公式:参考公式:锥体的体积公式锥体的体积公式: V锥体锥体=1 3Sh,其中,其中 S 是锥体的底面积,是锥体的底面积,h 是高。是高。一、填空题:本大题共一、填空题:本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位分。请把答案填写在答题卡相应的位置上置上.1、设集合 A=-1,1,3,B=a+2,a2+4,AB=3,则实数 a=_.解析 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1.2、
2、设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为_.解析 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与 3+2 i 的模相等,z 的模为 2。3、盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是_ _.解析考查古典概型知识。31 62p 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标) ,所得数据都在区间5,40中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的 100 根中,有_根在棉花纤维的长度小于 20mm。注注 意意 事事 项
3、项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题第 14 题) 、解答题(第 15 题第 20 题) 。本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡 的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。 5.如需作图,须用 2B 铅
4、笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。第 2 页 共 17 页解析考查频率分布直方图的知识。100(0.001+0.001+0.004)5=305、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(xR)R)是偶函数,则实数 a=_解析考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数,由 g(0)=0,得 a=1。6、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线112422 yx上一点 M,点 M 的横坐标是 3,则 M到双曲线右焦点的距离是_解析考查双曲线的定义。422MFed,d为点 M 到右准线1x 的距离,d=2,MF=4。7、右图是一个算法的流程图
5、,则输出 S 的值是_解析考查流程图理解。2412223133,L输出25122263S L。8、函数 y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=_解析考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为:22(),kkkyaaxa当0y 时,解得2kax ,所以1135,164 1212k kaaaaa 。9、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆422 yx上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是_来源解析考查圆与直线的位置关系。 圆半径为 2
6、,圆心(0,0)到直线 12x-5y+c=0 的距离小于 1,|113c,c的取值范围是(-13,13) 。10、定义在区间 20,上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P,过点 P 作PP1x 轴于点 P1,直线 PP1与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2的长为_。第 3 页 共 17 页解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段 P1P2的长即为 sinx 的值,且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx=2 3。线段 P1P2的长为2 311、已知函数21,0( )1,0xxf xx,则满足不等式2(1)(2 )fxfx的
7、 x 的范围是_。解析 考查分段函数的单调性。2212( 1,21)10xxxx 12、设实数 x,y 满足 32xy8,4yx29,则43yx的最大值是 。来源解析 考查不等式的基本性质,等价转化思想。2 2()16,81x y,211 1 , 8 3xy,32 2 421()2,27xx yyxy,43yx的最大值是 27。13、在锐角三角形 ABC,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,6cosbaCab,则tantan tantanCC AB=_。解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角(方法一)考虑已知条件和所
8、求结论对于角 A、B 和边和边 a、b 具有轮换性。具有轮换性。当当 A=B 或或 a=b 时满足题意,此时有:时满足题意,此时有:1cos3C ,21 cos1tan21cos2CC C,2tan22C,1tantan2 tan2ABC,tantan tantanCC AB= 4。(方法二)(方法二)226cos6cosbaCabCabab,2222 222236,22abccabab abab2tantansincossinsincossinsin()1sin tantancossinsincossinsincossinsinCCCBABACABC ABCABCABCAB第 4 页 共 1
9、7 页由正弦定理,得:上式=2222221411 3cos()662ccc cC abab 14、将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记2(S 梯形的周长) 梯形的面积,则 S 的最小值是_。解析 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。设设剪成的小正小正三角形的边长为x,则:222(3)4(3)(01)1133(1)(1)22xxSxxxx(方法一)利用导数求函数最小值。(方法一)利用导数求函数最小值。224(3)( )13xS xx,22224(26) (1)(3)( 2 )( )(1)3xxxxS xx 2222224(26) (1)(3)
10、( 2 )42(31)(3) (1)(1)33xxxxxx xx 1( )0,01,3S xxx,当1(0, 3x时,( )0,S x递减;当1 ,1)3x时,( )0,S x递增;故当1 3x 时,S 的最小值是32 3 3。(方法二)利用函数的方法求最小值。(方法二)利用函数的方法求最小值。令令11 13,(2,3),( , )3 2xt tt,则:,则:222441 8668331tStt tt故当131,83xt时,S 的最小值是32 3 3。二、解答题:本大题共二、解答题:本大题共 6 小题,共计小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文分,请在答题卡指定区域内作
11、答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤字说明、证明或演算步骤.第 5 页 共 17 页15、 (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2)设实数 t 满足(OCtAB)OC=0,求 t 的值。解析本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。满分 14 分。(1) (方法一)(方法一)由题设知(3,5),( 1,1)ABAC uuu ruuu r ,则(2,6),(4,4).ABACABACuuu ruuu ruuu ruuu r所以| 2 10,|
12、 4 2.ABACABACuuu ruuu ruuu ruuu r故所求的两条对角线的长分别为4 2、2 10。(方法二)(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则:E 为 B、C 的中点,E(0,1)又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4)故所求的两条对角线的长分别为 BC=4 2、AD=2 10;(2)由题设知:OCuuu r =(2,1),(32 ,5)ABtOCttuuu ruuu r 。由(OCtAB)OC=0,得:(32 ,5) ( 2, 1)0tt ,从而511,t 所以11 5t 。或者:2 AB OCtOCuuu r uuu ruuu
13、 r ,(3,5),AB uuu r211 5|AB OCtOC uuu r uuu r uuu r16、 (本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC,BCD=900。(1)求证:PCBC;(2)求点 A 到平面 PBC 的距离。解析 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空 间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分 14 分。 (1)证明:因为 PD平面 ABCD,BC平面 ABCD,所以 PDBC。第 6 页 共 17 页由BCD=900,得 CDBC,又 PDIDC=D,PD、DC平
14、面 PCD,所以 BC平面 PCD。因为 PC平面 PCD,故 PCBC。(2) (方法一)分别取 AB、PC 的中点 E、F,连 DE、DF,则:易证 DECB,DE平面 PBC,点 D、E 到平面 PBC 的距离相等。又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍。由(1)知:BC平面 PCD,所以平面 PBC平面 PCD 于 PC,因为 PD=DC,PF=FC,所以 DFPC,所以 DF平面 PBC 于 F。易知 DF=2 2,故点 A 到平面 PBC 的距离等于2。(方法二)体积法:连结 AC。设点 A 到平面 PBC 的距离为 h。因为 ABDC,BCD=
15、900,所以ABC=900。从而 AB=2,BC=1,得ABC的面积1ABCS。由 PD平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积11 33ABCVSPD。因为 PD平面 ABCD,DC平面 ABCD,所以 PDDC。又 PD=DC=1,所以222PCPDDC。由 PCBC,BC=1,得PBC的面积2 2PBCS。由A PBCP ABCVV,11 33PBCShVV,得2h ,故点 A 到平面 PBC 的距离等于2。17、 (本小题满分 14 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度h=4m,仰角ABE=,ADE=。(1)该小组已经测得一组、的值,tan