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1、2014 广东高考理广东高考理科数学科数学 第 1 页 共 8 页 x y O A B C 2014 2014 年广东高考年广东高考理科数学理科数学逐题详解逐题详解 详解提供详解提供: 广东佛山市南海中学 广东佛山市南海中学 钱耀周 林宝碧钱耀周 林宝碧 一一、选择题选择题:本大题共 :本大题共 8 8 小题,每小题 小题,每小题 5 5 分,满分 分,满分 40 40 分,在每小题给出的四个选项中,分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1已知集合 1,0,1 M = , 0,1,2 N = ,则MN = ( ) A 1,0,1 B 1,0,
2、1,2 C 1,0,2 D 0,1 【解析解析】B；MN = 1,0,1,2 ,选 B. 2已知复数z 满足( ) 34i25 z += ,则z =( ) A34i B34i + C 34i D 34i + 【解析解析】A； ( ) ( )( ) 25 34i 25 34i 34i34i34i z = + ,选 A. 3若变量 , x y满足约束条件 1 1 yx xy y + ,且 2 zxy =+ 的最大值和最小值分别为m和n, 则mn =( ) A8 B7 C6 D5 【解析解析】C；画出可行域如图所示,其中 ( ) 1, 1 A , ( ) 2, 1 B , 1 1,2 2 C ,当直
3、线 2 yxz = + 过点 A时, 取得最小值 3 n = ,过点B 时,取得最大值 3 m = ,故 6 mn = ,选 C. 4若实数k 满足09 k = + ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 所以二面角DAFE 的余弦值为 2 57 19 . 说明说明:如果要写出F 坐标,可通过 131 ,0 422 CFCP = ? ? ? 得 3 3,0 22 F ,故 3 0,0 2 EF = ? ? . 解法二解法二:过E 作 / EGPC 交DF 于G ,结合(1)知,EG 平面 ADF , 过G 作GHAF 交 AF 于H ,连结EH , 又EG 平面 ADF , AF 平面 ADF
4、 ,所以 AFEG , 而EGGHG = ,所以AF 平面EGH ,所以 AFEH , 所以 EHG 为二面角DAFE 的平面角. 由(1)可知DFPC ,不妨设 2 AD = ,则 2 CD = , 1 CF = , 2 3 DP = , 4 CP = ,又 / EFCD,所以 DECF DPCP = ,所以 3 2 DE = , 在Rt DPF 中, 1 4 EGDE PFDP = ,所以 3 4 EG = ,同理可得 3 4 DG = ,所以 3 3 4 GF = , 在Rt ADF 中, 3 323 21 sin 414 7 AD GHGFAFDGF AF = , 所以 22 99 2
5、13 133 1619628 EHEGGH =+=+= ,所以 2 57 cos 19 GH EHG EH = , 所以二面角DAFE 的余弦值为 2 57 19 .2014 广东高考理广东高考理科数学科数学 第 6 页 共 8 页 说明说明:133197 = ,这其实是传统法的一个计算难点.总体而言,此题向量法占优! 19.(本题满分(本题满分 14 分)分) 设数列 n a 的前n项和为 n S ,满足 2 1 234 nn Snann + = , * nN ,且 3 15 S = . (1) 求 123 , a a a 的值； (2) 求数列 n a 的通项公式. 【解析解析】(1)当
6、1 n = 时, 12 234 Sa = ,即 12 27 aa = . 当 2 n = 时, 23 4128 Sa = ,即 123 420 aaa += . 又 3123 15 Saaa =+= ,所以 123 3,5,7 aaa = . (2) 当 2 n 时, 2 1 234 , nn Snann + = ( ) ( ) ( ) 2 1 213141 nn Snann = , 相减得 ( ) ( ) ( ) 2 2 11 234213141 nnnnn aSSnannnann + = , 化简得 ( ) 1 22161 nn nanan + =+ ,当 1 n = 时,此递推式也成立.
7、 由(1)知: 123 3,5,7 aaa = ,故猜想 21 n an =+ ,下面用数学归纳法证明: 当 1 n = 时, 1 2 1 13 a = + = ,猜想成立； 假设当 ( ) * nk k =N ,猜想成立,即 21 k ak =+ ,则 当 1 nk =+ 时,有 ( ) ( )( ) ( ) 2 1 216121 2161 46 211 222 k k kakkkk kk ak kkk + + + =+ 即 1 nk =+ 时猜想也成立. 所以对于任意的正整数n,均有 21 n an =+ ,故数列 n a 的通项公式为 21 n an =+ . 20.(本题满分(本题满分
8、 14 分)分) 已知椭圆C : 22 22 1 xy ab += ( 0 ab )的一个焦点为 ( ) 5,0 ,离心率为 5 3 . (1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 若动点 ( ) 00 , P xy 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程. 【解析解析】(1)由 5 c = 及 5 3 c e a = ,可得 3,952 ab = ,故椭圆C 的标准方程为 22 1 94 xy += . (2) 不妨设点P 引椭圆C 的两条切线对应的切点分别是 , A B,且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 ,3,2 ,3,2 ,3, 2 , 3
9、, 2 xy , 设直线PA为 ( ) 00 yyk xx = ,则PB为 ( ) 00 1 yyxx k = . 由 ( ) 00 22 1 94 yyk xx xx = += 消去 y 整理得( ) ( ) ( ) 2 22 0000 49189360 kxk ykxxykx += , 则 ( ) 22 0000 9240 xkx y ky =+= 同理可得( ) 2 2 0000 11 9240 xx yy kk += . 可知k 和 1 k 是方程( ) 22 0000 9240 xxx y xy += 的两个实数根,则有2014 广东高考理广东高考理科数学科数学 第 7 页 共 8
10、页 0 2 0 4 1 1 9 y k kx = = ,整理得 22 00 13 xy += , 易知( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 ,3,2 ,3,2 ,3, 2 , 3, 2 xy 也符合,故点P 的轨迹方程为 22 00 13 xy += . 21.(本题满分(本题满分 14 分)分) 设函数 ( ) ( ) ( ) 2 22 1 2223 fx xxkxxk = + ,其中 2 k 的x的集合(用区间表示). 【解析解析】(1)依题有( ) ( ) 2 22 22230 xxkxxk + ,令 2 2 txxk =+ ,则 ( )( ) 2 23310 tttt +=+
11、,解得 3 t ,所以 2 230 xxk + 对于 2 230 xxk + (因为 2 k ,令 2 210 xxk + = ,则 ( ) 441480 kk = + , 故方程的两根为 1 248 12 2 k xk + = + , 2 248 12 2 k xk + = + + , 所以 2 230 xxk + ， 121 k + + ， 令 2 2 txxk =+ ， 2 23 utt =+ ， 1 ( ) f x u = , 当 12 xk 单调递增， 1 ( ) f x u = 单 调递减，这时 ( ) f x 为增函数. 当 1212 kxk + + 时，t单调递增，同理得 (
12、) f x 为减函数； ( ) f x 在(, 12) k + ，( 12, 1) k 上为增函数；在( 1, 12) k + , ( 12,) k + + 上为减函数. (3) 6 k ，有 2222 (2)2(2)3(3)2(3)3 xxkxxkkk + ， 设 3 x = 关于 1 xk = 的对称点为x，则 3 125 2 x kxk + = = ， 由 ( ) g x 的图象知满足()的m 的范围为325 mk + ， 12124 kk + + + ， 满足题意的x的取值范围是 ( 124, 12)( 12, 3)(1, 12) kkkk + + ( 12, 124) kk + + + .
