二次谐波的产生及其解

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1、1 2.3 二次谐波的产生及其解二次谐波或倍频是一种很重要二阶非线性光学效应，在实践中有广泛的应 用， 如 Nd:YAG 激光器的基频光 (1.064m)倍频成 0.532 m 绿光， 或继续将 0.532 m 激光倍频到 0.266m 紫外区域。 本节从二阶非线性耦合波方程出发，求解出产生的二次谐波光强小信号解， 并解释相位匹配对二次谐波产生的影响。2.3.1 二次谐波的产生设基频波的频率为1，复振幅为1E ；二次谐波的频率为2212，复振幅2E 。由基频波在介质中极化产生的二阶极化强度2P， 辐射出的二次谐波场3Ez 所满足的非线性极化耦合波方程222202 222ik zdEziPz e

2、dzk(2.3.1-1) 122 2110211;,ik zPzz Ez e(2.3.1-2) 注意简并度1D，2122 2202110211 22111211 2;,2;,i kzikzd EziEz Ez edzkiEz Ez en c(2.3.1-3) 波矢失配量，122kkk(2.3.1-4) 写成单位矢量（光波 的偏振 方 向或电 场的振动方向）和 标量的乘积形式333Ea E ，基频光场可能有两种偏振方向，即1111,a E a E，两种偏振方向可以是相互平行也可以是相互垂直，并有331aa22212112111 2;,ikzdEziaa aEz edzn c(2.3.1-5) 基

3、频波与产生的二次谐波耦合产生的极化场强度21P，辐射出基频光场满足的非线性极化耦合波方程。122101 112ik zdEziPz edzk(2.3.1-6) 2 21*2() 12101212;,i kkzPzz Ez e(2.3.1-7) 21*1 12112121 1;,:ikzdEziaa az Ez edznc(2.3.1-8) 如果介质对频率为13,的光波都是无耗的，即13,远离共振区，则22311131;,;,都是实数。进一步考虑极化率张量的完全对易对称性和时间反演对称性可以证明：2( 2 ) 1211212 211211;,:;,effaa aaa a(2.3.1-10) 二次

4、谐波的耦合波方程组为: 21*1 21 1i kz effdEziEz Ez edzcn(2.3.1-11) 2221 1 2ikz effdEziEz edzcn(2.3.1-12) 2.3.2 二次谐波的小信号解1、小信号解 在小信号近似下，基频波复振幅不随光波传输距离改变，10dEzdz(2.3.2-1) 并由边界条件200E，对二次谐波的耦合波方程(2.2.1-12)积分得：LE (0)1E (0)=03图 1 倍频边界条件3 22 212222 1 210sin20/ 2i kLeffikL effeELEcnkkLiELecnkL(2.3.2-2) 二次谐波的光强为：2202222

5、 2421 0212 2222420 1 212sin12022102effeffILcnELkLcnEn ckLLEcn(2.3.2-3) 利用212有效倍频系数 (有效非线性光学系数 ) 22effeffd(2.3.2-4) 和函数定义s i ns i nxc xx，(2.3.2-5) 以及21011102Ic nE(2.3.2-6) 得到小信号近似下的二次谐波解222 0221 2 201222 22 132 021421sin228sin2effeffdIkLILccncnd LkLIcc n n(2.3.2-7) 小信号近似下倍频效率：222 22 132 10138sin2effd

6、LPkLIcPc n n(2.3.2-8) 倍频效率正比于基频光束功率密度，输出倍频光强是基频波光强的平方。同 时由曼利罗关系， 在产生一个二次谐波光子的同时， 要湮灭两个基频波光子。转换效率正比于倍频系数的平方，即与正比于有效极化率系数的平方22 e。2、二次谐波解的讨论4 定义相位匹配带宽： 由二次谐波光强最大值一半处的kL宽度，定义允许的相 位失配量0.886 /BWkL(2.3.2-9) 定义相干长度： 如果相位失配量0k，使倍频光强单调增长的一段距离为相干长度cLcLk(2.3.2-10) 由上面的讨论知， 在小信号近似下， 为获得高的倍频效率， 首先应满足相位匹 配条件0k，并且选

7、用有效倍频系数大和较长的晶体，尽可能增强基频光的强 度。图 2 2sinckL函数图 3 不同相位匹配因子倍频效率与晶体长度关系5 2.3.3 二次谐波的大信号解（基频波存在损耗）产生二次谐波的耦合波方程为21*1 21 12221 1 2ikz effi kz effdEziEz Ez edzcndEziEz edzcn(2.3.3-1) 讨论在相位匹配条件下， 即0k， 此时基频波和二次谐波的折射率相等，12nn如果基频波存在损耗，10dEdz 二次谐波耦合波方程变为：21* 21 1222 1 1effeffdEziEz EzdzcndEziEzdzcn(2.3.3-2) 类似于曼利罗关

8、系，作* 1122d E Ed E Edzdz运算，得到2212EzEz常数(2.3.3-3) 由初始条件2100;00EE2221210EzEzE(2.3.3-4) 2 2122 1210effd EzEEzdznc(2.3.3-5) 考虑到积分方程：1 221tanhdxxaxaa(2.3.3-6) 将(2.3.3-5)整理成上式形式2221122 111121tanh 000effd EzEz zn cEEEEz(2.3.3-7) 2Ez表示为：6 21 211 10 tanh0effEzEEznc(2.3.3-8) 定义倍频特征长度121 1 10S He f fLEnc(2.3.3-

9、9) 二次谐波光强为：2202222 0112 112 10tanh20 tanhSHSHIzcn Ezzcn ELzIL(2.3.3-10) 二次谐波与入射基频波光强比值：221( )tanh0SHGIzzIL(2.3.3-11) 基频光在晶体内光强为：210112201122 112 1020 sechSHGIzcn EzcnEEzLIL(2.3.3-13) 2sech0SHGIzIL(2.3.3-14) 图 4 基频光存在损耗条件下，倍频光和基频光光强与晶体长度关系7 相干长度还可写为：11 133 012 2eff SHdLI n c(2.3.2-15) 如 LiNbO3 晶体， 非线性倍频系数95.4 10m/Veffd， 基频光波长 1.064m，折射率 2.2，基频光光强 25 MW/cm2，求得倍频特征长度为3.7cm。