《2013年高考试题四川卷(理科数学)试题及每个题的详细解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年高考试题四川卷(理科数学)试题及每个题的详细解答（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（四川卷） 第卷一、选择题1设集合 Ax|x20，集合 Bx|x240，则 AB 等于( )A2 B2 C2,2 D答案 A解析 Ax|x202，Bx|x2402，2，AB22,22，选 A.2如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点( )AA BB CC DD答案 B解析 表示复数 z 的点 A 与表示 z 的共轭复数的点关于 x 轴对称，B 点表示 .选 B.z3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )答案 D解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选 D.4设 xZ，集合 A 是奇数
2、集，集合 B 是偶数集若命题p：xA,2xB，则( )A綈 p：xA,2xB B綈 p：xA,2xBC綈 p：xA,2xB D綈 p：xA,2xB答案 D解析 命题 p：xA,2xB 是一个全称命题，其命题的否定綈 p 应为xA,2xB，选 D.5函数 f(x)2sin(x)(0， 0，y0，b0)，从 1,3,5,7,9 中任取两个ab作为 有 A 种，又 与 相同， 与 相同，lg alg b 的不同值ab2 513393193的个数有 A 220218，选 C.2 59节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然
3、后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( )A. B. C. D.14123478答案 C解析 设在通电后的 4 秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为 X、Y，X、Y 相互独立，由题意可知Error!，如图所示两串彩灯第一次亮的时间相差不超过 2 秒的概率为P(|XY|2)S正方形2S ABCS正方形 .4 42 12 2 24 412163410设函数 f(x)(aR，e 为自然对数的底数)，若曲exxa线 ysin x 上存在点(x0，y0)使得 f(f(y0)y0，则 a 的取值范围是( )A1，e Be11,1C1
4、，e1 De11，e1答案 A解析 由于 f(x)(aR)在其定义域上为单调递增函exxa数，所以其反函数 f1(x)存在，由于 y01,1，且 f(f(y0)y0，f1(f(f(y0)f1(y0)，即 f(y0)f1(y0)，yf(x)与yf1(x)的交点在 yx 上即x 在 x1,1上有exxa解，即x 在0,1上有解aexxx2，x0,1，exxaaex2x1，当 0e02110，aexxx2在0,1上递增，当 x0 时，a最小1；当 x1 时，a最大e，故 a 的取值范围是1，e，选 A.第二卷二、填空题11二项式(xy)3的展开式中，含 x2y3的项的系数是_(用数字作答)答案 10
5、解析 Tr1C x5ryr(r0,1,2,3,4,5)，由题意知Error!，含r 5x2y3的系数为 C 10.3 55 4 33 2 112在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点O，则 _.ABADAO答案 2解析 由于 ABCD 为平行四边形，对角线 AC 与 BD 交于点O，2，2.ABADACAO13设 sin 2sin ，则 tan 2 的值是_(2，)答案 3解析 sin 2sin ，sin (2cos 1)0，又，sin 0,2cos 10 即 cos ，sin (2，)12，tan ，tan 2.3232tan 1tan22 31 32314已知 f(x)
6、是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f(x)x24x，那么，不等式 f(x2)0，x0 时，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)x24x，又 f(x)为偶函数，f(x)f(x)，xb，则 AB，故 B ，4根据余弦定理，有(4)252c225c，2(35)解得 c1 或 c7(舍去)故向量在方向上的投影为|cos B.BABCBA2218某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 x 在1,2,3，24 这 24 个整数中等可能随机产生(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率Pi(i1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行
7、 n 次后，统计记录了输出 y 的值为 i(i1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表(部分)运行次数 n输出 y 的值为 1 的频数输出 y 的值为 2 的频数输出 y 的值为 3 的频数30146102 1001 027376697乙的频数统计表(部分)当 n2 100 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行 3 次，求输出 y 的值为 2的次数 的分布列及数学期望解 (1)变量 x 是在 1,2,3，
8、24 这 24 个整数中随机产生的一个数，共有 24 种可能当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时，输出y 的值为 1，故 P1 ；12当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时，输出 y 的值为2，故 P2 ；13当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时，输出 y 的值为 3，故 P3.16所以，输出 y 的值为 1 的概率为 ，输出 y 的值为 2 的概率为 ，1213输出 y 的值为 3 的概率为 .16(2)当 n2 100 时，甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i1,2,3)
9、的频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大(3)随机变量 可能的取值为 0,1,2,3.P(0)C 03，0 3(13)(23)827P(1)C 12 ，1 3(13)(23)49P(2)C 21 ，2 3(13)(23)29P(3)C 30，3 3(13)(23)127故 的分布列为0123P8274929127所以，E()01 2 31.8274929127即 的数学期望为 1.19如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面ABC，ABAC2AA1，BAC120，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P 是线段 AD 的中点(1)在平面 ABC
10、 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线 l平面 ADD1A1；(2)设(1)中的直线 l 交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，求二面角AA1MN 的余弦值解 (1)如图，在平面 ABC 内，过点 P 作直线 lBC，因为 l 在平面A1BC 外，BC 在平面 A1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面 A1BC.由已知，ABAC，D 是 BC 的中点，所以，BCAD，则直线 lAD.因为 AA1平面 ABC，所以 AA1直线 l.又因为 AD，AA1在平面 ADD1A1内，且 AD 与 AA1相交，所以直线 l平面 ADD1A1.(2)方法一
11、 连接 A1P，过 A 作 AEA1P 于 E，过 E 作EFA1M 于 F，连接 AF.由(1)知，MN平面 AEA1，所以平面 AEA1平面 A1MN.所以 AE平面 A1MN，则 A1MAE.所以 A1M平面 AEF，则 A1MAF.故AFE 为二面角 AA1MN 的平面角(设为 )设 AA11，则由 ABAC2AA1，BAC120，有BAD60，AB2，AD1.又 P 为 AD 的中点，所以 M 为 AB 中点，且 AP ，AM1，12所以，在 RtAA1P 中，A1P；52在 RtA1AM 中，A1M.2从而 AE，AF，AA1APA1P15AA1AMA1M12所以 sin .AEA
12、F25所以 cos .1sin21(25)2155故二面角 AA1MN 的余弦值为.155方法二 设 A1A1.如图，过 A1作 A1E 平行于 B1C1，以 A1为坐标原点，分别以，的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正A1EA1D1A1A方向，建立空间直角坐标系 Oxyz(点 O 与点 A1重合)则 A1(0,0,0)，A(0,0,1)因为 P 为 AD 的中点，所以 M，N 分别为 AB，AC 的中点，故M，N，(32，12，1)(32，12，1)所以，(0,0,1)，(，0,0)A1M(32，12，1)A1ANM3设平面 AA1M 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1)，则Error!
13、即Error!故有Error!从而Error!取 x11，则 y1，所以 n1(1，0)33设平面 A1MN 的一个法向量为 n2(x2，y2，z2)，则Error!即Error!故有Error!从而Error!取 y22，则 z21，所以 n2(0,2，1)设二面角 AA1MN 的平面角为 ，又 为锐角，则 cos |n1n2|n1|n2|.|1， 3，00，2，12 5|155故二面角 AA1MN 的余弦值为.15520已知椭圆 C：1(ab0)的两个焦点分别为 F1(1,0)，x2a2y2b2F2(1,0)，且椭圆 C 经过点 P.(43，13)(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设过点
14、A(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，点 Q 是线段 MN 上的点，且，求点 Q 的轨迹方程2|AQ|21|AM|21|AN|2解 (1)由椭圆定义知，2a|PF1|PF2|2.(431)2(13)2(431)2(13)22所以 a.又由已知，c1.2所以椭圆 C 的离心率 e .ca1222(2)由(1)知，椭圆 C 的方程为y21.x22设点 Q 的坐标为(x，y)，当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 与椭圆 C 交于(0,1)，(0，1)两点，此时点 Q 的坐标为.(0，23 55)当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 ykx2.因为 M，N 在直线 l 上，可设点 M，N 的坐标分别为(x1，kx12)，(x2，kx22)，则|AM|2(1k2)x ，|AN|2(1k2)x .2 12 2又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由，得2|AQ|21|AM|21|AN|2，即21k2x211k2x2 111k2x2 2.*2x21x2 11x2 2x1x22
