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1、 12013 广东高考文科数学试卷及答案广东高考文科数学试卷及答案 一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分. 在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合22|20,|20,Sx xxxRTx xxxR=+=，则ST =I（ ） A. 0 B. 0,2 C. 2,0 D. 2,0,2【答案】A； 【解析】由题意知0, 2S =，0,2T =，故 0ST =I； 2. 函数()lg1 1xyx+=的定义域是（ ） A. ()1, + B. )1, + C. ()()1,11,+U D. )()1,11,+U【答案】C； 【解析】由题意知10 1
2、0x x+ ，解得1x 且1x ，所以定义域为()()1,11,+U； 3. 若()34i xyii+=+，, x yR，则复数xyi+的模是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D； 【解析】 因为()34i xyii+=+， 所以34xiyi=+， 根据两个复数相等的条件得：3y=即3y = ，4x =，所以xyi+43i=，xyi+的模224( 3)5=+ =； 4. 已知51sin25+=，那么cos=（ ） A. 2 5 B. 1 5 C. 1 5D. 2 5 【答案】C； 【解析】51sinsin()cos()cos()cos22225+=+=+=； 5. 执行如
3、图1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 7 【答案】D； 2【解析】1i=时，1 (1 1)1s = +=；2i=时，1 (2 1)2s = +=；3i=时，2(3 1)4s =+=； 4i =时，4(4 1)7s=+=； 图 1 图 2 图 1 图 2 6. 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（ ） A. 1 6B. 1 3C. 2 3D. 1 【答案】B； 【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2， 所以该三棱锥的体积1 111 1 23 23V = =； 7. 垂直于直线1yx=+且与圆2
4、21xy+=相切于第象限的直线方程是（ ） A. 20xy+= B. 10xy+ = C. 10xy+ = D. 20xy+=【答案】A； 【解析】设所求直线为l，因为l垂直直线1yx=+，故l的斜率为1，设直线l的方程为yxb= +， 化为一般式为0xyb+=； 因为l与圆相切221xy+=相切， 所以圆心(0,0)到直线l的距离12b=， 所以2b = ， 又因为相切与第一象限， 所以0b ， 故2b =，所以l的方程为20xy+=； 8. 设l为直线，, 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若/ / , / /ll，则/ / B. 若,ll，则/ / C. 若, / /ll
5、，则/ D. 若,l/，则l【答案】B； 3【解析】 若与相交， 且l平行于交线， 则也符合 A， 显然 A 错； 若, / /ll， 则，故 C 错；,l/，若l平行交线，则/ /l，故 D 错； 9. 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为()1,0F，离心率等于1 2，则C的方程是（ ） A. 22 134xy+= B. 22 143xy+= C. 22 142xy+= D. 22 143xy+=【答案】D； 【解析】由焦点可知()1,0F可知椭圆焦点在x轴上，由题意知11,2cca=，所以222,213ab=，故椭圆标准方程为22 143xy+=； 10. 设ar 是已知的平面向量且0a r
6、r ，关于向量ar 的分解，有如下四个命题： 给定向量br ，总存在向量cr ，使abc=+rrr ； 给定向量br 和cr ，总存在实数和，使abc=+rrr ； 给定单位向量br 和正数，总存在单位向量cr 和实数，使abc=+rrr ； 给定正数和，总存在单位向量br 和单位向量cr ，使abc=+rrr . 上述命题中的向量br ，cr 和ar 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D； 【解析】因为单位向量（模为1的向量，方向不确定）和一个不为零的实数可以表示任何一个向量，由题意可知 A,B,C,D 均正确； 二、 填空题：
7、本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. （一）必做题（1113 题） 11. 设数列 na是首项为1，公比为2的等比数列，则1234aaaa+=_； 【答案】15； 【解析】由题意知11a =，22a = ，34a =，48a = ，所以；1234aaaa+124815= +=； 12. 若曲线2lnyaxx=在点()1,a处的切线平行于x轴，则a=_； 4【答案】1 2； 【解析】因为2lnyaxx=，所以12yaxx =，因为曲线2lnyaxx=在点()1,a处的切线平行于x轴，所以1210xya= =，所以1 2a =； 13. 已知变量, x y满足约
8、束条件30 11 1xy x y+ ，则zxy=+的最大值是_； 【答案】5； 【解析】 作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为( 1,1),( 1,2),(1,1),(1,4)， 代入可知z的最大值为145z= +=； （二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为2cos=，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为_； 【答案】22(1)1xy+=； 【解析】因为曲线C的极坐标方程为2cos=；所以2cos2cos1 cos2x= + ，sin2sincossin2y=；可变形得：cos21x=，可
9、变形得：sin2y=；由22sin 2cos 21+=得：22(1)1xy+=； 15. （几何证明选讲选做题） 如图3， 在矩形ABCD中，3AB=，3BC =，BEAC，垂足为E，则ED=_； 【答案】21 2； 【解析】因为在矩形ABCD中，3AB=，3BC =，BEAC，所以030BCA=，所以03cos3032CECB=；在CDEV中，因为060ECD=，由余弦定理得： ()2 222203 33 31212cos603232224DECECDCE CD=+ =+ =，所5以21 2CD =； 三、 解答题： 本大题共 6 小题， 满分 80 分. 解答须写出文字说明和演算步骤. 1
10、6. （本小题满分 12 分） 已知函数( )2cos,12fxxxR=. （1） 求3f的值； （2） 若3cos5=，3,22，求6f. 【答案与解析】 （1）22cos2cos21331242f=； （2）因为3cos5=，3,22，所以234sin155= = ； 2cos2cos2 coscossinsin6612333f=+ 31433 24 62525210=； 17. （本小题满分 12 分） 从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量）)80,85 )85,90 )90,95 )95,100 频数（个） 5 10 20 15 （1） 根据频
11、数分布表计算苹果的重量在)90,95的频率； （2） 用分层抽样的方法从重量在)80,85和)95,100的苹果中共抽取 4 个，其中重量在)80,85的有几个？ （3） 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在)80,85和)95,100中各有一个的概率； 6【答案与解析】 （1）重量在)90,95的频率200.450=； （2）若采用分层抽样的方法从重量在)80,85和)95,100的苹果中共抽取 4 个，则重量在)80,85的个数5415 15=+； （3）设在)80,85中抽取的一个苹果为x，在)95,100中抽取的三个苹果分别为, ,a b c，从抽出的4个苹果中， 任取2个共
12、有( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )x ax bx ca ba cb c6种情况， 其中符合“重量在)80,85和)95,100中各有一个”的情况共有( , ),( , ),( , )x ax bx c种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在)80,85和)95,100中各有一个”为事件A，则事件A的概率31( )62P A=； 18. （本小题满分 14 分） 如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，,D E分别是,AB AC上的点，ADAE=， F是BC的中点，AF与DE交于点G. 将ABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥ABCF，其中2 2BC=
13、. （1） 证明：DEBCF/平面； （2） 证明：CFABF平面； （3） 当2 3AD =时，求三棱锥FDEG的体积F DEGV. 图 4 图 5 图 4 图 5 7（1） 证明： 在图4中， 因为ABC是等边三角形， 且ADAE=， 所以ADAE ABAC=，/ /DEBC；在 图5中 ， 因 为/ /DGBF，/ /GEFC， 所 以 平 面DGE / /平 面BCF， 所 以 DEBCF/平面； （2）证明： 在图4中，因为因为ABC是等边三角形，且F是BC的中点，所以AFBC； 在图5中，因为在BFCV中，12,22BFFCBC=，所以222BFFCBC+=，BFCF，又因为AFCF，所以CFABF平面； （3）因为,AFCF AFBF，所以AF 平面BCF，又因为平面DGE / /平面BCF，所以AF平面DGE；所以11 11 1 1 133 33 23 2 3 36324F DEGDGEVSFGDG GE FG=V； 19. （本小题满分 14 分） 设各项均为正数的数列 na的前n项和为nS，满足2* 1441,nnSannN+=，且2514,a a a构成等比数列； （1） 证明：2145a
