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1、第 1 页 共 11 页2013 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项: 1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。 2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应 的试卷类型信息.。 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交 回。第一部分第一部分(共共 50 分分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共 10 小题， 每小题 5 分，共 50 分）1. 设全集为 R, 函数的定义域为 M, 则为2( )1f xxC MR(A) 1,1(B) (1,1) (C)
2、 (D) , 11,)( , 1)(1,)( 【答案】D,所以选 D ), 1 () 1,(,1 , 1. 11, 0-12UQM RCMxx即2. 根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61【答案】C,所以选 C31)50(6 . 025,60xyxQ3. 设 a, b 为向量, 则“”是“a/b”的| |aabb(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【答案】C。cos|baba若,为真；1cos|babab/a0，即或的夹角为与则向量ba相反，若，则。ba
3、/|0bababa，即或的夹角为与向量输入 x If x50 Then y=0.5 * x Else y=25+0.6*(x-50) End If 输出 y第 2 页 共 11 页所以“”是“a/b”的充分必要条件。| |aabb另：当为零向量时，上述结论也成立。所以选 Cba或向量4. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, , 840 随机编号, 则抽取的 42 人中, 编号落入区间481, 720的人数为 (A) 11(B) 12(C) 13(D) 14【答案】B使用系统抽样方法，从 840 人中抽取 42 人，即从 2
4、0 人抽取 1 人。,所以从编号 1480 的 人中，恰好抽取 24 人，接着从编号 481720 共 240 人中抽取 12 人。故选 B5. 如图, 在矩形区域 ABCD 的 A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是 扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形 区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是(A)(B) 1412(C) (D) 224【答案】A该地点信号的概率=421212 的面积矩形的面积扇形的面积扇形 ABCDCBFADE所以该地点无信号的概率是。选 A146. 设 z1, z2是复数, 则下列命
5、题中的假命题是(A) 若, 则(B) 若, 则12| 0zz 12zz12zz12zz(C) 若, 则(D) 若, 则 |21zz 2112zzzz12|zz2122zz【答案】D对（A） ，若,则，所以为真。12| 0zz 021zz12zz对（B） ，若,则互为共轭复数，所以为真。12zz21zz 和12zz对（C） ，设若,则，,222111ibazibaz|21zz 2 22 22 12 1baba，所以为真2 22 2222 12 111,bazzbazz2112zzzz12DACBEF第 3 页 共 11 页对（D） ，若则为真，而，所以为假, 121izz12|zz1, 12 2
6、2 1zz2122zz选 D7. 设ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若, 则ABC 的coscossinbCcBaA形状为 (A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定 【答案】B因为，所以coscossinbCcBaAAABCCBsinsincossincossin又。联立两式得。ACBBCCBsin)sin(cossincossinAAAsinsinsin所以。选 B2, 1sinAA8. 设函数 , 则当 x0 时, 表达式的展开式中常数项为61,00.,( ),xxf xxxx ( )f f x(A) 20(B) 20(C) 1
7、5(D) 15 【答案】A当的展开式中，常数项为66-11-)(0）（）（时，xxxxxffx。所以选 A20)(-)1(333 6xxC9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于 300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x(单位 m)的取值范围是(A) 15,20(B) 12,25 (C) 10,30(D) 20,30【答案】C设矩形高为 y, 由三角形相似得: 利用线性,30040,40, 0, 0,4040 40xyyxyxyx，且规划知识解得，选 C30,10x10. 设x表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有 (A) x x(B) 2x 2x
8、 (C) xyxy(D) xyxy 【答案】D代值法。对 A, 设 x = - 1.8, 则-x = 1, -x = 2, 所以 A 选项为假。40mx40m第 4 页 共 11 页对 B, 设 x = - 1.4, 2x = -2.8 = - 3, 2x = - 4, 所以 B 选项为假。对 C, 设 x = y = 1.8, 对 A, x+y = 3.6 = 3, x + y = 2, 所以 C 选项为假。故 D 选项为真。所以选 D二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分， 共 25 分）11. 双曲线的离心率为, 则 m 等于 9 .22 1
9、16xy m5 4 【答案】9916169 4522 mm ab ac12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .3【答案】3立体图为半个圆锥体，底面是半径为 1 的半圆，高为 2。所以体积32121 312V13. 若点(x, y)位于曲线与 y2 所围成的封闭区域, 则 2xy 的最小值为 -4 . |1|yx【答案】- 4封闭区域为三角形。令| x 1 | = 2 , 解得 ，所以三角形三个顶点坐标分3, 121xx别为（1,0,） ， （-1,2） ， （3,2） ，故 2xy 在点（-1,2）取最小值 - 4 14. 观察下列等式: 21122123 2221263222212
10、4310 照此规律, 第 n 个等式可为 . ) 1(2) 1-n1-32-11 21 -n222 nnn（）（L【答案】 ) 1(2) 1-n1-32-11 21 -n222 nnn（）（L分 n 为奇数、偶数两种情况。第 n 个等式为。21 -n222n1-32-1）（L当 n 为偶数时，分组求和：。21)n(n-) 1()43()2-1222222nnL（1121第 5 页 共 11 页当 n 为奇数时，第 n 个等式=。21)n(n 21)n(n-2n综上，第 n 个等式：) 1(2) 1-n1-32-11 21 -n222 nnn（）（L15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作
11、答, 如 果多做, 则按所做的第一题计分) A. (不等式选做题) 已知 a, b, m, n 均为正数, 且 ab1, mn2, 则(ambn)(bman)的最小值为 2 . 【答案】2 利用柯西不等式求解，,且仅当212)()()(22bamnbmbnanambmanbnam（时取最小值 2nmbmbn anamB. (几何证明选做题) 如图, 弦 AB 与 CD 相交于内一Oe 点 E, 过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P. 已知 PD2DA2, 则 PE . . 6【答案】. 6./BADPEDBADBCDPEDBCDPEBC且在圆中Q. 6. 6232PEPDP
12、APEPEPD PAPEAPEEPD所以C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为 .220yxx Ryx ,sincoscos2【答案】Ryx ,sincoscos2222)21()21yx（圆的方程21r圆的半径。sincossin,coscoscos2cos2OPyOPxrOP所以圆的参数方程为Ryx ,sincoscos2三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分） 16. (本小题满分 12 分)E DOPABCPOyxE DOPABC第 6 页 共 11 页已知向量, 设函数. 1(cos
13、,),( 3sin ,cos2 ),2xxx xabR( )f x a b() 求 f (x)的最小正周期. () 求 f (x) 在上的最大值和最小值. 0,2 【答案】() .() .21, 1() =。( )f x a b)62sin(2cos212sin232cos21sin3cosxxxxxx最小正周期。22T所以最小正周期为。),62sin()(xxf() .上的图像知，在，由标准函数时，当65,6- sin65,6- )62(2, 0xyxx. 1 ,21)2(),6- ()62sin()(ffxxf所以，f (x) 在上的最大值和最小值分别为.0,2 21, 117. (本小题
14、满分 12 分) 设是公比为 q 的等比数列. na() 导的前 n 项和公式; na() 设 q1, 证明数列不是等比数列. 1na 【答案】() ;() 见下； ) 1(,1)1 () 1(,11qqqaqnaSn n() 分两种情况讨论。.111111naaaaSaaqnnL的常数数列，所以是首项为时，数列当.nnnnnnqaqaqaqaqSaaaaSq1211211LL时，当第 7 页 共 11 页上面两式错位相减: .)()()()-11123121nnnnnqaaqaqaaqaaqaaaSqL（。qqa qqaaSn n n-1)1 (.-111综上， ) 1(,1)1 () 1(,11qqqaqnaSn n() 使用反证法。设是公比 q1 的等比数列, 假设数列是等比数列.则na1na 当=0 成立，则不是等比数列。1*naNn，使得1na 当成立，则01*naNn，使得恒为常数
