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1、12013 年年圆圆梦梦计计划划专专升本高等数学入学升本高等数学入学测试测试模模拟题拟题及答案及答案一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字 母填在题后的括号内。共母填在题后的括号内。共 1010 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分）1.若函数在在处连续，则（ C ） 0,sin0,3 )(xaxxxe xfx0xaA. 0 B. 1 C. 2 D. 3解：由得,故选 C.)0()00()00(fff231aa2.当时，与函数是等价无穷小的是（ A ）0x2)(
2、xxfA. B. C. D. )1ln(2xxsinxtanxcos1解：由,故选 A.11ln(lim1ln()(lim)220)20xx xxfxx3.设可导，则=（ D ）)(xfy )(xefA. B. C. D. )(xef)(xef)(xxefe)(xxefe解：,故选 D.)()()()(xxxxxefeeefef4.设是的一个原函数，则（ B ）x1)(xfdxxfx)(3A. B. C. D. Cx 2 21Cx 2 21Cx 3 31Cxxln414解：因是的一个原函数,所以,所以x1)(xf211)(xxxf 故选 B.Cxxdxdxxfx23 21)(25.下列级数中收
3、敛的是（ C ）A. B. C. D. 1374nnnn1231nn132nnn121sinnn解：因,所以收敛,故选 C.121) 1(lim2122) 1(lim33313nn nnnnnn132nnn6.交换的积分次序，则下列各项正确102121121),(),(yyydxyxfdydxyxfdyI的是（ B ）A. B. 1022 ),(xxdyyxfdx1022),(xxdyyxfdyC. D. 2122 ),(xxdyyxfdx2122),(xxdyyxfdx解：由题意画出积分区域如图:故选 B.交换的积分顺序，则（ A dxyxfdydxyxfdyI yy21212121),()
4、,(I）A Bdyyxfdxxx211),(dyyxfdxx x211 ),(C Ddyyxfdxxx1211),(dyyxfdxx x1211 ),(7.设向量是非齐次线性方程组 AX=b 的两个解，则下列向量中仍为该方程组21,解的是（ D ）A. B. C. D. 2121212212解：因同理得,2)(2121bbbAAA故选 D., 0)(21A,3)2(21bA,)2(21bAyy=2xy=x2O 1 x2138.已知向量线性相关,则（ D )2, 5 , 4, 0(),0 , 0 , 2(),1 , 1, 2 , 1 (321kk）A. -2 B. 2 C. -3 D. 3解解:
5、 : 03002240112125402240112125400021121321kkkk由于线性相关,所以,因此123, 123(,)2r 3k9.设为事件，且则（ A BA, 2 . 0)(, 4 . 0)(, 6 . 0)(ABPBPAP)(BAP） A.0.2 B. 0. 4 C. 0.6 D. 0.8解解: : 2 . 0)()()(1)(1)()(ABPBPAPBAPBAPBAP10.有两个口袋,甲袋中有 3 个白球和 1 个黑球,乙袋中有 1 个白球和 3 个黑球.现从甲 袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是（ B ）A. B. C. D. 163 2
6、07 41 21解解: : 由全概率公式得 207 51 41 52 43p二、填空题二、填空题( (本题共本题共 1010 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 3030 分，把答案填在题中横线上。分，把答案填在题中横线上。) )11设函数，则函数的定义域为. 2161 31arcsin xxy )4 , 2解：.424442016, 13112 xxxxx12设曲线在点 M 处的切线斜率为 3,则点 M 的坐标是.22xxy)0 , 1 (解：，由，从而，故填.12 xy1312xxy0y)0 , 1 (13设函数，则.xxyarctan y22)1 (2 x4解：,.21arc
7、tanxxxy2222222)1 (2 )1 (21 11 xxxx xy 14 .dxxx2012) 1(lnCx 2013) 1(ln2013解：.Cxxdxdxxx2013) 1(ln) 1(ln) 1(ln) 1(ln2013 2012201215= e .dxxex01解：.edxxeedxxexx00116幂级数的收敛域为.15)2(nnnnx)7 , 3解：由.152215lim5)2(15)2(lim)()(lim111 xxnnnxnxxuxunnnnnnnnn得级数收敛,73x当时,级数为收敛; 当时,级数为发散;3x1) 1(nnn7x11nn故收敛域为.)7 , 317
8、设 A 是 n 阶矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，且则、 032EAA1)2(EA.EA解：)()2()(2(0312EAEAEEAEAEAA19设型随机变量且则= .),8 , 1 ( NX),()(cXPcXPc1解：由正态分布的对称性得.1c5参考:设随机变量 X,且二次方程无实根)0)(,(2N042Xyy的概率为,则= 21解：解：由于 X)0)(,(2N方程 有实根,则042Xyy40416XX此方程无实根的概率为,故=4.214XPp20设型随机变量在区间上服从均匀分布,则方差.X4 , 2)(XD31解：直接由均匀分布得.3112) 24 ()(2 XD三、计算题：本大题共三、计
9、算题：本大题共 8 8 小题，其中第小题，其中第 21-2721-27 题每题题每题 7 7 分，第分，第 2828 题题 1111 分，共分，共 6060 分。分。21计算极限.xxxx20tansinlim解：原式= 20sinlimxxxx=xxx2cos1lim 0=0.2sinlim 0xx22求由方程确定的隐函数的导数.xyyxdxdy解：两边取对数得,yxyxlnlnln两边求导得,yyxyyxy11ln从而.) 1()ln1 ( xxyxy dxdy623计算定积分 222211dx xx解：令,则当时, ;当时, .txsec,tansectdttdx 2x4t2x3t所以原
10、式= = = = .342tansectansecdttttt34costdt|34sint)23(2124求微分方程的通解.02xeyy解：原方程可整理为xeyy2这是一阶线性微分方程,其中.xexQxP)(, 2)(所以原方程的通解为 CdxexQeydxxPdxxP)()()(.)(22Cdxeeedxxdx)(2Cdxeexx)(2CeexxxxCee225计算二重积分,其中是由直线所围成的区 Dydx2D222xyxyx、域. 解：区域 D 如图阴影部分所示.故Dydx2xxyyxx22221dd212 222d21|yyxxx214)d44(21xx.|215 )252(xx521
11、0y y=2xxy=2xO 1 242726设矩阵，且满足,求矩阵 X. 320031101 A, 231 BXBABAX2解：由可得XBABAX2BEAEABEAXEA)()()(2因,所以可逆,02 420041100 | EAEA因此BEAX)( 231220021102 25027设行列式,求在处的导数.1321312132113211)(xxxxxD)(xD0x解：13273127321732171321312132113211)(xxxxxxxxxxxxD211101110010001)7(1321312132113211)7(xxxxxxxx.)23)(7()2)(1)(7(22
12、xxxxxxxx故.)32)(7()23)(72()(22xxxxxxxD从而.14)0(DO xyy=xyx121图 5-7828已知离散型随机变量 X 的密度函数为且数学期望. 2, 1, 21,21, 10, 0, 0)(x xxaxxF.34)(XE求: (1) a 的值; (2) X 的分布列；(3)方差 D(X )解：(1) 由分布函数的性质知,随机变量 X 的可能取值为 0、1、2，且21)2(,21) 1(,)0(XPaXPaXP因34 23 212)21(10)(aaaXE所以.61a(2) 由（1）即得 X 的分布列为X012P61 31 21(3) ,37 212311610)(2222XE四、证明题与应用题：本大题共四、证明题与应用题：本大题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 1010 分，共分，共 3030 分。分。29设，其中可微，.)(2 yxfxyu )(tfuyzyxzx3:、证明：因为yyxfxyyxfyxu1)()(22),()(2 yxfxyyxfy 22)()(2yx yxfxyyxxyfyu9,)()(22 yxfxyxxyf故)()(2)()(2222 yxf yxyxfxyyxf yxyxf
