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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）数学（理科）本试卷分第卷和第 II 卷（非选择题）两部分，第卷第 1 至第 2 页，第 II 卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。参考公式：参考公式： 如果事件 A 与 B 互斥，那么()( )( )P ABP AP B如果事件 A 与 B 相互独立，那么()( ) ( )P ABP A P B第第卷（选择题卷（选择题 共共 50 分）分） 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。（
2、1）设 是虚数单位，是复数的共轭复数，若i_ zzz，则=+2=2zzigz（A） （B）1+i1 i （C） （D）1+i1-i （2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 （A） （B）1 625 24（C） （D）3 411 12版权所有：( ) （3）在下列命题中，不是公理的是 （A）平行于同一个平面的两个平面相互平行 （B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 （C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线（4）“是函数在区间内单调递增”的“0“a ( )= (
3、-1)f xaxx(0,+ )（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五 名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90，五名女生的成绩 分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A）这种抽样方法是一种分层抽样 （B）这种抽样方法是一种系统抽样 （C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数（6）已知一元二次不等式的解集为，则的解集为( )2x
4、xx或(10 )0xf（A） （B）| lg2x xx或|-1-lg2x x| 0Ix f x（）求的长度（注：区间的长度定义为）；( ,) （）给定常数，当时，求 长度的最小值。(0,1)kl（18）（本小题满分 12 分）设椭圆的焦点在轴上2222:11xyEaax（）若椭圆的焦距为 1，求椭圆的方程；EE（）设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的第一象限内的点，直线交12,F FPE2F P轴与点，并且，证明：当变化时，点在某定直线yQ11FPFQap上。 （19）（本小题满分 13 分） 如图，圆锥顶点为。底面圆心为，其母线与底面所成的角为po 22.5。和是底面圆上的两条平行的弦，轴与
5、平面ABCDOOP 所成的角为 60，PCD （）证明：平面与平面的交线平行于底面；PABPCD （）求。cosCOD（20）（本小题满分 13 分）设函数，证明：22222( )1(,)23n n nxxxfxxxR nNn K（）对每个，存在唯一的，满足；nnN2 ,13nx ()0nnfx（）对任意，由（）中构成的数列满足。npNnx nx10nnpxxn（21）（本小题满分 13 分） 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张 老师负责，已知该系共有位学生，每次活动均需该系位学生参加（和都是固定的nknk 正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动
6、通知的信息独立、随机地发给该系位学k 生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x （）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（）求使取得最大值的整数()P Xmm数学（理科）试题参考答案数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 5 分，满分分，满分 5050 分。分。（1 1）A A (2)D(2)D (3)A(3)A (4)C(4)C (5)C(5)C (6)D(6)D (7)B(7)B (8)B(8)B (9)D(9)D (10)A(10)A二、填空题：本题考
7、查基本知识运算，每小题二、填空题：本题考查基本知识运算，每小题 5 5 分，满分分，满分 2525 分。分。（1111） （1212） （1313） （1414） （1515）21 32，132nan三、解答题三、解答题(16)(16)（本小题满分（本小题满分 1212 分）分）: :本题考查三角恒等变换和三角函数的图像及基本性质等基础知本题考查三角恒等变换和三角函数的图像及基本性质等基础知识和基本技能识和基本技能, ,考查逻辑推理能力运算求解能力考查逻辑推理能力运算求解能力. .解：解：（） 4sincos4xxxf.24cos(sincoscossin)44 2 2cos(sincos)2
8、 2(cossincos)2sin22cos222sin(2)24xxxxxxxxxxxx 因为的最小正周期为，且，从而有，故。( )f x02 21（）由（）知，若，则( )2sin(2)24f xx02x52444x当，即时，单调递增，2442x08x( )f x当，即时，单调递减，52244x82x( )f x综上可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减。( )f x0,8 ,8 2 （17）（本小题满分）（本小题满分 1212 分）：本题主要考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等分）：本题主要考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能、考查分类讨论思想和综合运
9、用数学知识解决问题的能力。基础知识和基本技能、考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力。解：解：（）因为方程有两个实根，22(1)0(0)axaxa1220,1axxa的解集为，因此区间，的长度为。( )0f x 12x xxx20,1aIaI21a a（）设，则，令，得，由于，2( )1ad aa2 221( ) 1ad a a ( )0d a 1a 01k故当时，单调递增；11ka( )0d a ( )d a当时，单调递减；11ak ( )0d a ( )d a所以当时，的最小值必定在或取得，11kak ( )d a1ak 1ak 而，故。2322321 (1)21 (1)11(1
10、)2 1 (1)k dkkkk kdkkk k (1)(1)dkdk因此当时，在区间上取得最小值。1ak ( )d a1,1kk231 2k kk （18）（本小题满分）（本小题满分 1212 分）分）: :本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，考察数形结合的思想，逻辑推理能力和运算求解能力。位置关系等基础知识和基本技能，考察数形结合的思想，逻辑推理能力和运算求解能力。解：解：（）因为焦距为 1，所以，解得，21214a 25 8a 故椭圆 E 的方程为。2288153xy（）设，其中，由题设知，0
11、012(,),(,0),( ,0)P xyFcF c221ca0xc则直线的斜率，直线的斜率，1FP 100F Pykxc2F P 200F Pykxc故直线的方程为，2F P00()yyxcxc当时，即点的坐标为,0x 00cyycxQ000,cy cx 因此直线的斜率为，1FQ 100FQykcx由于，所以11FPFQ 1100001F pFQyykkcx cx g化简得222 00(21)yxa将上式代入椭圆 E 的方程，由于在第一象限，解得，00(,)P xy22 00,1xaya 即点在直线上。P1xy（19）（本小题满分）（本小题满分 1313 分）分）: :本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，直线与平面、直线与直线间所成角的计算等基础知识和基本技能，考查空间的位置关系，直线与平面、直线与直线间所成角的计算等基础知识和基本技能，考查空间概念、推理论证能力和运算求解能力。概念、推理论证能力和运算求解能力。解：解：（）证明;设面与面的交线为PABPCD，l 因为，不在面内，/ /ABCDABPCD所以,/ /ABPCD面又因为,面与面ABPAB 面PAB的交线为 ，所以，PCDl/ /ABl 由直线在底面上，而 在地面外可知，ABl与底面平行。l
