数学建模2006年国家一等奖论文

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1、2006 年国家一等奖论文- 1 -出版社资源的优化配置摘 要本文通过一个多目标整数规划模型较好地解决了书号的分配问题。使出版 社在获取尽量大的经济效益的同时，既增加了对强势产品的支持力度，又保证 了出版社长远的发展。书号的分配问题属于优化问题。影响书号分配的因素主要包括两个因素， 一个是同一门课程每个书号的平均销售利润；一个是该门课程的强势度，本文 以综合得分来衡量。 首先，为了确定每门课程的综合得分，利用层次分析法，将人为因素：市 场占有率、读者满意度、对价格和质量的评价和 A 出版社在读者心中的地位， 进行了量化。采用指数为标度的层次分析法，取重要度为，得到判断矩a618. 1阵（层次结

2、构见 P6 图 6-1） ，进而得到了每个因素的权重，依次为 0.466、0.288、0.178、0.068，并且通过了一致性检验。根据附表二中的数据， 进而得到了 20012005 年每门课程的综合得分。其次，利用 20012005 年的数据，通过灰色预测模型，得到了 2006 年同 一课程每一个书号的销售量以及综合得分（具体数据见附表二和附表三） 。最后，为了求最优解，本文建立了多目标规划模型。根据每门课程的销售 量和综合得分，得到了两个目标函数。第一个目标是使 2006 年的销售额最高， 即利润最大。第二个目标是使出版社 2006 年的综合得分最高。本文在优先考虑 第一个目标的前提下,实

3、现第二个目标，即在销售额尽量大的情况下使综合得分 最高。约束条件包括以下几个方面：书号的总量为 500 个；每个分社分到的书 号数至少为其申请总数的 1/2；每个分社分到的书号不能超过该社的编辑能力； 每门课程分到的书号数不能超过其申请数目；每门课程预计销售量的估计精度 在一定范围内波动。 本文利用 matlab 软件实现了层次分析，得到了每门课程 5 年的综合得分， 然后用灰色预测估测出了 2006 年的综合得分。并最终利用了 LINGO 软件对目 标规划模型求解，得到了全局最优解。九个分社分到的书号数依次为： 78、42、120、86、50、53、25、36、25，总销售额为 244573

4、23 元。每门课程 分配的的书号数与销售额请见附表一。考虑到实际情况，附件 5 中数学分社的 工作能力应等于 120，但是从 2001-2005 年每年实际分到的书号数目却大于 120。通过灰色预测，本文将数学分社的实际工作能力上限定为 150。 本文通过对书号分配问题的讨论，提出以量化分析为基础的资源（书号） 配置方法，给出一个明确的分配方案，并且以建议书的形式向出版社提供有益 的建议。 关键词：多目标整数规划；层次分析法；灰色预测 ；2006 年国家一等奖论文- 2 -一 问题的提出出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都 捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本

5、（策划成本、编辑成本、生产 成本、库存成本、销售成本、财务与管理成本等）和利润。 某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生 产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地 分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社 提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支 持力度的原则优化资源配置。资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分） 根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程作出出版计划，付诸实施。资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益 和长远发展战略。由于市场信息（主要是

6、需求与强势度）通常是不完全的，企 业自身的数据收集和积累也不足，这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍 存在的。 本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数据 资料，利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的 资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。二 问题的分析出版社每年都需要对它要出版的书号进行合理的配置，以达到最好的经济 效益。这是一个考虑多因素的资源配置问题。根据经济学的基本知识，这些因 素有消费者对出版社的满意程度，产品的市场占有率，书籍的质量，市场的需 求，等。而在这里，本文将其归结为两个因素。一个是同一门课程每

7、个书号的 平均销售利润；一个是该门课程的市场潜力，而市场中的各个因素没有一个绝 对量化的指标。因此，本文以综合得分来衡量。每个书号的平均销售利润表现 为实际销售量和利润率，综合得分表现为读者的满意度和市场占有率。读者的 满意度带有人的主观因素，需要利用层次分析法来量化。2006 年的实际销售量 和市场占有率需要利用灰色模型来预测。要求得最佳分配方案，既要考虑到每 门课程的销售量和利润，又要考虑该门课程的市场潜力，以满足长远发展的需 要。三 符号的说明：出版社一年的总利润；V ：出版社一年的总综合评分；W2006 年国家一等奖论文- 3 -： 第 i 课程下所有书目的平均单价；ip： 第 i 门

8、课程在 2006 年的每个书号的销售量；iS： 第 i 课程实际销售的总书号数目；ix： 所有书本的利润率；r： 2006 年 第 i 课程申请的书号数目；iT： 第 i 门课程人力资源能力的最大限度；il： 定量的相对重要度；a： 第 i 门课程的综合评价值；iZ：判断矩阵的一致性指标CI ：判断矩阵的一致性比率RI： 判断矩阵的元素； ijd：第 i 年第 j 个因素的权重；ijw： 第 i 门课程的强势度；iQ四 问题的假设1.所有课程的利润率同一； 2.同一门课程所有书目的年销量相近，且同一课程不同书目的价格相近； 3.A 出版社在分配书号时至少保证分给各分社申请数量一半； 4.不考虑

9、新增的人力资源，并且只考虑人力资源的历年平均值； 5.附表二问卷调查数据认为是客观，可靠的； 6.A 出版社只考虑所关注的九个分社的 72 门课程； 7.A 出版社每年分配到的总的书号数目一定，都为 500；五 模型的建立根据假设 2，由于所给教材的利润率是同一的，则总利润的最大化问题可以 转化为总销售额的最大化问题。 根据假设 3，由于相同课程下不同书号的年销量相近，且价格相近，则对 书号的分配问题可转化为对课程的分配问题。2006 年国家一等奖论文- 4 -并且考虑人力资源的限制，以及假设 4，可以看出这是一个有约束条件的 整数线性规划问题。则构建如下多目标函数：（1）721721maxm

10、axiii iii iVpSxrWQ x 其中的 为常数。r 并有如下的约束条件：（2）11721110,1,2,72,500,/2,1,2,9, . .,1,2,9,1,2,72,1.2,72,iiii iIPiji j IPiIPiji j IPiiiixixxyi stxl ixiTx i LLLLL为整数在此约束条件下，求出目标函数的最优解，从而给出分配方案。六 模型的求解6.1 求解思路 在目标函数中，各门课程在 2006 年的销售量和强势度是未知的可变量。为 此，对附件 2 中的数据进行处理，将其中的多个指标综合成为一个强势度也就 是它的综合得分。 对于强势度来说，可以归结为以下四

11、个因素：市场占有率，消费者对书本 的满意度，书本印张价格比，出版社在消费者心中的影响力。由于是考虑多因 素来确定强势度的，因而，采用确定不同因素不同权重的方法，给出每门课程 的综合评价值。进而可以将强势度这一指标量化。 其中，分析权重有很多方法，在此，本文选用层次分析法。因为层次分析 法中的判断矩阵具有良好的可调性，可以根据题目中增加强势产品的支持力度 这一原则，进行不断调节以达到优化的目的。 并且，在求出每年每门课程的强势度之后，对其进行灰色预测，便可估测 出 2006 年的各门课程的强势度。2006 年国家一等奖论文- 5 -而对于销售量，利用其前五年的数据对其进行灰色预测，得到 2006

12、 年的预 测销售量。6.2 强势度的确定 6.2.1 原始数据无量纲化处理 我们对各个因子原始数据进行 “均值化”处理无量纲处理,公式为：（3）1( )( )/( )/ );niiiin1,2,3, ;inL6.2.2指数标度 对于综合评价值的确定，本文采取层次分析的方法。并且使用了指数标度。 因为相对于传统的 19 标度，指数标度克服了其一致性与判断思维一致性不等 价这一缺憾，是矩阵一致性指标真正反映思维一致性程度。它是一种“等距分 级，等比附值”的标度方法。符合传递性准则。 为了使定量的相对重要度 a 正确反映定性评判的结果，必须使判断尺度给 出的相对重要性大小与定性分析的结果基本相符，这

13、就要求判断尺度本身要符 合一定的规则。现假设判断尺度符合“等距跃进” ，则有：（4）对上式进行计算得到 ,显然这与判断尺度不符合，再假设判断尺度符1a 合“阶梯跃进” ，则有：（5）12, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5kkkaaak 对上式进行计算得到 ，这与合理性准则基本一致，这时有表的新1.618a 的指数标度。112, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5kkkkaaaak 2006 年国家一等奖论文- 6 -表 6-1 指数标度尺度6.2.2 层次分析在本问题中，就针对强势度这一目标来说，可以分为三个层次。如下图所 示：强势度满意度市场占 有率印张价 格比教材新 颖程度作者

14、的 影响印刷质 量教材价 格出版社 的地位图 6-1 层次分析图其中最上一层为目标层。中间为准则层，最下层为方案层。 然后构造判断矩阵。因为判断矩阵之中加入了人的主观因素。则本文在这 里考虑题目中强势产品的支持力度这一原则。对其强势产品加大其权重。在这 里，本文将强势产品归结为两个因素：市场占有率与满意度。 则产生如下矩阵：24132124321 1 1 1aaa aaa aaa aaa 标度标度定义标度标度定义1ijd 对指标 B 而言，与iBjB同等重要；4.236ijd 对指标 B 而言，与iB明显重要；jB1.618ijd 对指标 B 而言，与iBjB稍微重要；6.854ijd 对指标

15、 B 而言，与iB很重要；jB2.618ijd 对指标 B 而言, 与iBjB重要；11.09ijd 对指标 B 而言，与iB绝对重要；jB2006 年国家一等奖论文- 7 -6.2.3 求其最大特征根：1617184.440947.77649.7441eee 可得max4（6） 6.2.3一致性检验：计算一致性指标：0.89RI （7） 1;CIn n（8）计算一致性比率：/;CRCI RI（9） 当 的时候， 查表可得 4n 0.89RI 求得：00.1CR 通过一致性检验，认为其比较矩阵的不一致程度在容许范围之内。可用 来计算权值。 则其每个因素的权重为：444111ijij jijwKK（10） 经过 matlab 程序可得出每个因素的权重，依次为 0.466 、0.288、0.178、0.068其中 表示判断矩阵的元素。ijK则通过下面可以求出其第 j 书号的强势度jZ（11）41,1,2,3,4 1,2,72jijij iZwq ijL2006 年国家一等奖论文- 8 -详见附表二 6.3 估测 06 年的综合评价值综合竞争指数在时间上是有积累效应的，类别之间也具有模糊的特性， 没有明确的界线，而且又受多种因素的综合影响。若采用线性回归的方法不 但计算烦杂，而且由于线性回归对预测近期有较高精度，但对于利用五年数 据预测第六