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1、高三数学导学案 编号 ：005 撰稿人：王琪 制版、校对人 : 王琪知知识识改改变变命运，学命运，学习习成就未来成就未来 课时：课时： 第一课时第一课时 课题：点差法课题：点差法【学习目标学习目标】 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线 的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大 大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法” ，它的一般结论叫
2、做点差法公式。注意：能用这个注意：能用这个 公式的条件：（公式的条件：（1） 直线与抛物线有两直线与抛物线有两 个不同的交点；个不同的交点； （2）直线的斜率存）直线的斜率存 在在.【使用说明及学法指导使用说明及学法指导】1、通过证明定理，熟悉“点差法”的运用； 2、记住点差法推导出的公式，并熟练应用； 一、自主证明一、自主证明1 1、定理、定理 在椭圆在椭圆（0 0）中，若直线）中，若直线 与椭圆相交于与椭圆相交于12222 by axablM、N 两点，点两点，点是弦是弦 MN 的中点，弦的中点，弦 MN 所在的直线所在的直线 的斜率为的斜率为),(00yxPl，则，则.MNk2200 a
3、b xykMN同理可证，在椭圆同理可证，在椭圆（0 0）中，若直线）中，若直线 与椭圆相交与椭圆相交12222 ay bxabl于于 M、N 两点，点两点，点是弦是弦 MN 的中点，弦的中点，弦 MN 所在的直线所在的直线 的斜率的斜率),(00yxPl为为，则，则.MNk2200 ba xykMN2 2、定理定理 在双曲线在双曲线（0，0）中，若直线）中，若直线 与双曲与双曲12222 by axabl线相交于线相交于 M、N 两点，点两点，点 是弦是弦 MN 的中点，弦的中点，弦 MN 所在的直线所在的直线 的斜率为的斜率为，则，则),(00yxPlMNk.2200 ab xykMN同理可
4、证，在双曲线同理可证，在双曲线（0，0）中，若直线）中，若直线 与双曲与双曲12222 bx ayabl线相交于线相交于 M、N 两点，点两点，点是弦是弦 MN 的中点，弦的中点，弦 MN 所在的直线所在的直线),(00yxP的斜率为的斜率为，则，则.lMNk2200 ba xykMN3 3、定理、定理 在抛物线在抛物线中，若直线中，若直线 与抛物线相交于与抛物线相交于)0(22mmxylM、N 两点，点两点，点是弦是弦 MN 的中点，弦的中点，弦 MN 所在的直线所在的直线 的斜率为的斜率为),(00yxPl，则，则.MNkmykMN0同理可证，在抛物线同理可证，在抛物线中，若直线中，若直线
5、 与抛物线相交与抛物线相交)0(22mmyxl于于 M、N 两点，点两点，点是弦是弦 MN 的中点，弦的中点，弦 MN 所在的直线所在的直线 的斜率的斜率),(00yxPl为为，则，则.MNkmxkMN01二、探究、合作、展示二、探究、合作、展示 【基础题】例例 1 设椭圆方程为设椭圆方程为，过点，过点的直线的直线 交椭圆于点交椭圆于点142 2yx) 1 , 0(MlA、B，O 为坐标原点，点为坐标原点，点 P 满足满足，点，点 N 的坐标为的坐标为)(21OBOAOP.当当 绕点绕点 M 旋转时，求：旋转时，求： 21,21l（1）动点）动点 P 的轨迹方程；的轨迹方程；（2）的最大值和最
6、小值的最大值和最小值.| NP注意：能用这注意：能用这 个公式的条件：个公式的条件： （1）直线与抛物）直线与抛物 线有两个不同的交线有两个不同的交 点；（点；（2）直线的）直线的 斜率存在，且不等斜率存在，且不等 于零于零.高三数学导学案 编号 ：005 撰稿人：王琪 制版、校对人 : 王琪例例 2 已知双曲线已知双曲线，过点，过点作直线作直线 交双曲线交双曲线 C 于于13:2 2xyC) 1 , 2(PlA、B 两点两点. （1）求弦）求弦 AB 的中点的中点 M 的轨迹；的轨迹； （2）若）若 P 恰为弦恰为弦 AB 的中点，求直线的中点，求直线 的方程的方程.l例例 3 抛物线抛物线
7、的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ）xy42A. B. C. D. 12 xy) 1(22xy212 xy122xy【规律总结】【练习题】1. 已知椭圆已知椭圆，则以，则以为中点的弦的长度为（为中点的弦的长度为（ ）4222yx) 1 , 1 (A. B. C. D. 2332330 2632. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线，直线与其相与其相)0 ,7(F1 xy交于交于 M、N 两点，两点，MN 的中点的横坐标为的中点的横坐标为，则此双曲线的方程为（，则此双曲线的方程为（ 32）A. B. C. D. 14322 yx13422 yx12522 yx15222 yx3.3. 已知直线已知直线与抛物线与抛物线交于交于 A A、B B 两点，那么线段两点，那么线段 ABAB02 yxxy42 的中点坐标是的中点坐标是_._.四、课后作业四、课后作业作业：课下训练作业：课下训练直线与圆锥曲线相关习题直线与圆锥曲线相关习题师傅领进门，修行师傅领进门，修行 靠个人！靠个人！ 同学们回家一定要同学们回家一定要 大量重复性训练，大量重复性训练， 解题速度是高分的解题速度是高分的 保证！保证！高三数学导学案 编号 ：005 撰稿人：王琪 制版、校对人 : 王琪
