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1、3 年高考 2 年模拟 1 年原创极限1 学科网备战高考数学极限【考点定位】 2010 考纲解读和近几年考点分布极限作为初等数学与高等数学的衔接点，每年必考，主要考查极限的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈“小题”，在选择、填空题中出现，都属容易题；极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；考查“数形结合”、 “分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变： （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题（ 2）了解数列极限和函数极限的概念（3）掌握极
2、限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质【考点 pk】名师考点透析考点一、 数学归纳法【名师点睛】1数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：（1）先证明当 n=n0（n0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（ 2）假设当n=k（kN*， kn0）时命题成立，再证明当 n=k+1 时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法.特别提示（ 1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;（ 2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标2数学归纳法的应用：证恒等式；整除性的证明；探求平
3、面几何中的问题；探求数列的通项；不等式的证明.【试题演练】设数列 an 满足 a1=2，an+1=an+na1（n=1，2， , ） .（1）证明 an12n对一切正整数n 都成立；（2）令 bn= nan（n=1，2， , ），判定 bn与 bn+1的大小，并说明理由.（1）证法一：当n=1 时， a1=2112，不等式成立 .假设 n=k 时， ak12k成立，当 n=k+1 时， ak+12=ak2+21ka+22k+3+21ka2（k+1）+1，当 n=k+1 时， ak+11) 1(2 k成立 .综上，由数学归纳法可知，an12n对一切正整数成立.证法二：当n=1 时， a1=23=
4、112结论成立 .假设 n=k 时结论成立，即ak12k，当 n=k+1 时，由函数f（x）=x+ x1（x1）的单调递增性和归纳假设有3 年高考 2 年模拟 1 年原创极限2 ak+1=ak+ka112k+ 121k= 12112kk= 1222kk= 124842kkk 12) 12)(32(kkk=32k.当 n=k+1 时，结论成立.因此， an12n对一切正整数n 均成立 .（ 2）解：nn bb1=nanann11=（1+21na） 1nn（ 1+ 121n） 1nn= 1) 12() 1(2nnnn=12)1(2nnn=2141)21(2nn 1.故 bn+1bn.误点警示 ：由
5、 n=k 正确n=k+1 时也正确是证明的关键.二、 数列的极限【名师点睛】1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列an 的项an无限地趋近于某个常数【试题演练】1 求下列数列的极限：（1） nlim757222nnn ;（2） nlim（nn2n）;（3） nlim（22n+24n+, +22nn） .分析 :（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限； （2）因nn2与 n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1） nlim 757222nnn=
6、 nlim2275712nnn= 52.3 年高考 2 年模拟 1 年原创极限3 （2） nlim（nn2n）= nlim nnnn2= nlim1111n= 21.（3）原式 = nlim22642nn= nlim2) 1(nnn= nlim（1+n1）=1.误点警示： :对于（1） 要避免下面两种错误：原式 = )75(lim)72(lim22nnnnn=1, nlim（2n2+n+7） , nlim（5n2+7） 不存在，原式无极限.对于（2） 要避免出现下面两种错误： nlim（nn2n） = nlimnn2 nlimn= =0; 原 式 = nlimnn2 nlimn= 不 存 在
7、. 对 于 （ 3 ） 要 避 免 出 现 原 式= nlim22n+ nlim24n+,+ nlim22nn=0+0+,+0=0 这样的错误 .2.已知数列na是由正数构成的数列，1a3，且满足lgnalg1nalgc，其中 n 是大于 1 的整数， c是正数（1）求数列na的通项公式及前n 和ns； （2）求 nlim1122nnnnaa的值解:（1）由已知得an1na, an是以 a13，公比为c 的等比数列，则na3n1. ns3(1)3(1)(01).1nnccccc且（2） nlim1122nnnnaa nlimnnnncc323211 .当 c=2 时，原式 41;当2 时，原式
8、 nlim cccnn3)2(23)2(11 c1;当 02 时，原式 = nlim 11)2(32)2(31nnccc 21.误点警示 ：几个常用的极限： nlimC=C（C 为常数） ; nlim n1=0; nlimqn=0（|q|1） 。求数列极限时要注意分类讨论三、 函数的极限根限的四则运算法则【名师点睛】 1.函数极限的概念：（1） 如果 xlim( )f x=a 且 xlim( )f x=a,那么就说当x 趋向于无穷大时，3 年高考 2 年模拟 1 年原创极限4 1.求下列函数的极限：（1） 2lim x（) 21442xx（2） xlim（)(bxax x） （3） 0lim
9、x| xx； （4）2lim x.2sin2coscos xxx解:（1）原式 2lim x4)2(42xx 2lim x21x= 41.（2）原式 = xlim xabxbaxabxba)()(2=a+b.（3）因为 0lim x| xx=1,而 = 0lim x| xx= 1， 0lim x|xx 0lim x| xx,所以 0lim x|xx不存在（4）原式 =2limx 2sin2cos2sin2cos22xxxx2limx（cos 2x+sin2x）2误点警示 ：1。函数极限有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需注意.2在求函数极限时需观察，对不能直接求的可以化简后求，但
10、要注意 xlimxx12 与 xlimxx12 的区别 .四、 函数的连续性【名师点睛】1.函数的连续性 .一般地，函数( )f x在点 x=x0处连续必须满足下面三个条件：（1）函数( )f x在点 x=x0处有定义；（2）0lim xx( )f x存在； （3）0lim xx( )f x=0()f x.如果函数y=( )f x在3 年高考 2 年模拟 1 年原创极限5 点 x=x0处及其附近有定义，而且0lim xx( )fx=0()f x,就说函数( )fx在点 x0处连续 .2.如果( )f x是闭区间 a,b上的连续函数，那么( )fx在闭区间 a,b上有最大值和最小值.3.若( )
11、f x、( )g x都在点x0处连续 ,则( )fx( )g x, ( )f xg（ x）, )()(xgxf（( )g x 0）也在点x0处连续.若( )u x在点 x0处连续 ,且( )u x在 u0=0()u x处连续 ,则复合函数( ( )f u x在点 x0处也连续 .特别提示（ 1）连续必有极限,有极限未必连续（2）从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f”是可以交换顺序的.【试题演练】1 讨论函数( )f x=)0(1;0),0(0),0(1xxxx处的连续性在点分析：需判断 0lim x( )f x= 0lim x( )f x=f（0）.解: 0lim x
12、( )f x=1, 0lim x( )f x=1, 0lim x( )fx 0lim x( )f x, 0lim x( )f x不存在 .( )f x在 x=0 处不连续 .2.设( )f x= ),0(),0(exxaxx 当 a 为何值时 ,函数( )fx是连续的 .分析：函数( )fx在 x=0 处连续 ,而在 x0 时, ( )f x显然连续 ,于是我们可判断当a=1 时,( )f x在（ ,+）内是连续的.解: 0lim x( )f x= 0lim x（ a+x）=a, 0lim x( )fx= 0lim xex=1,而 f（0）=a,故当 a=1 时, 0lim x( )f x=f
13、（ 0）,误点警示 ：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.【三年高考】 07 、08、09 高考试题及其解析2009 高考试题及解析1 北京（理） 9 1lim1xxxxx_.【答案】12【解析】 (1)1(1)(1)1x xxxxxxxxx， 111limlim 121xxxxxxxx，故填12.2 重庆理（ 8）已知22lim()21xxaxbx，其中,a bR，则ab的值为（A）6（B）2（C）2（D）63 年高考 2 年模拟 1 年原创极限6 【答案】 D 【解析】222(2)(6)6611xa xaxaxxx所以20224aaabb则6ab3 湖北
14、理 6. 设 222212 012122).2nnn nnxaa xa xaxax（，则22 024213521lim(.)(.) nnnaaaaaaaa.1A.0B.1C2.2D【答案】 选B。 【解析】 22 024213521()()nnaaaaaaaa012320123212()()nnnaaaaaaaaaaa令nxxf2)22()(*Nn),则01232naaaaa)1 (f，0123212nnaaaaaa) 1(f，22 024213521()()nnaaaaaaaa)1() 1 (ffnn22) 122()122(n221)22(n2)21(n)41(，22 024213521l
15、im(.)(.) nnnaaaaaaaa0.4 湖南（理科） 15、将正 ABC 分割成n2（n2，nN）个全等的小正三角形（图2，图 3 分别给出了n=2,3 的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC 的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3 时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有 f(2)=2 ，f(3)= 103，f(n)= 16(n+1)(n+2)【答案】10 (1)(2)36nn；【解析】（1）由于任意一条线上的数成等差数列，记,A B C三点的数分别为,ABCxxx，则在,AB B
16、C CA上的两点所对应的数的和等于2ABCxxx，又由重心性质可得：三角形中心点对应的为3ABCxxx，3 年高考 2 年模拟 1 年原创极限7 所以1103333f.（2）因为1011,22,33fff，所以2334451,2,3666fff归纳得：126nnfn.5 陕西理 13设等差数列na的前n项和为nS，若6312aS，则2limnnSn【答案】 1【解析】由61315123312aadSad122ad2 nSnn2221limlimlim(1)1nnnnSnnnnn2008 高考试题及解析一选择题1 （湖北卷理8）已知*mN,a bR，若 0(1)limmxxabx,则a b（）AmB
