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1、数轴数轴原点、正方向和单位长度原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要认为规定的。直线也不一定是水平的。第一步：画一条直线（通常是水平的直线） ，在这条直线上任取一点 O，叫做原点，用这点表示数 0；（相当于温度计上的 0。 ）第二步：规定这条直线的一个方向为正方向（一般取从左到右的方向，用箭头表示出来） 。相反的方向就是负方向；（相当于温度计 0以上为正，0以下为负。 ）第三步：适当地选取一条线段的长度作为单位长度，也就是在 0 的右面取一点表示1，0 与 1 之间的长就是单位长度。 （相当于温度计上 1占 1 小格的长度。 ）在数
2、轴上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，这些点依次表示 1，2，3，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，它们依次表示1，2，3，。例 1：判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？分析：原点、正方向、单位长度这数轴的三要素缺一不可。解答：都不正确， （1）缺少单位长度；（2）缺少正方向；（3）缺少原点；（4）单位长度不一致。例 2：把下面各小题的数分别表示在三条数轴上：（1）2，-1，0，+3.5323(2)5，0，+5，15，20；(3)1500，500，0，500，1000。例 3：借助数轴回答下列问题(1)有没有最小的正整数？有没有最大的正整数？如果有，把它指出来；(2)有没
3、有最小的负整数？有没有最大的负整数？如果有，把它标出来。通过数轴，我们可以得到：正数都大于正数都大于 0；负数都小于；负数都小于 0；正数大于一切负数。；正数大于一切负数。例 4：比较3，0，2 的大小。分析一：先在数轴上分别找到表示3、0、2 的点，由“右边的数总比左边的数大”得到302；分析二：直接由“正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数”的规律得出302。例 5：把下列各组数用“”号连接起来(1)10， 2，14； (2) 100，0，0.01； (3)，4.75，3.75。543说明：按题意用“”号连接，解题中不能用“”号连接，否则与题意不符，更不能把“”与“”混用，如第（
4、1）小题不能写成“10214”或者写成“21410”的形式。例 6： 将有理数 3，0，4 按从小到大顺序排列，用“”号连接起来。651解：正数3，由正、负数大小比较法则，得403。651651例 7：比较下列各数的大小： 1.3，0.3，3，5 解：将这些数分别在数轴上表示出来：所以 531.30.3比较有理数大小法则是：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数比较有理数大小法则是：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。根据法则先在同一个数轴上表示出同一组数的位置，然后用大。根据法则先在同一个数轴上表示出同一组数的位置，然后用“”号连接，号连接，这种方法比较直观，但画图表示数较麻烦
5、。另一种方法是利用数轴上数的位置这种方法比较直观，但画图表示数较麻烦。另一种方法是利用数轴上数的位置得出比较大小规律，即正数都大于得出比较大小规律，即正数都大于 0，负数都小于，负数都小于 0，正数大于一切负数，则比，正数大于一切负数，则比较更方便些。较更方便些。相反数相反数1发现、总结相反数的定义：象这样只有符号不同的两个数称互为相反数相反数 (opposite number)。理解：代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。0 的相反数是 0。几何定义：在数轴上原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。0 的相反数是 0。说明：“互为相反数互为相反数”的含义是相反数，是成
6、对出现的，因而不能说的含义是相反数，是成对出现的，因而不能说“6是相反数是相反数” 。 “0 的相反数是的相反数是 0”是相反数定义的一部分。这是因为是相反数定义的一部分。这是因为 0 既不是正既不是正数，也不是负数，它到原点的距离就是数，也不是负数，它到原点的距离就是 0，这是相反数等于它本身的唯一的数。，这是相反数等于它本身的唯一的数。2例题；例 1：判断下列说法是否正确：5 是 5 的相反数； ( ) 5 是5 的相反数； ( )5 与5 互为相反数； ( ) 5 是相反数； ( )正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 ( )例 2：（1）分别写出 5、7、3、+11.2 的相反数；
7、21（2）指出2.4 是什么数的相反数。我们通常把在一个数前面添上“”号，表示这个数的相反数。例如(4)=4, (+5.5)=5.5，同样，在一个数前面添上“+”号，表示这个数本身。例如 +(4)=4，+(+12)=12。例 3：化简下列各数：(1)(+10)； (2)+(0.15)； (3)+(+3)； (4)(20)。小结：1只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0 的的相反数是相反数是 0，从数轴上看，求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点；，从数轴上看，求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点；2相
8、反数是表示具有特定关系（只有符号不同）的两个数，单独一个数不相反数是表示具有特定关系（只有符号不同）的两个数，单独一个数不能被称为相反数，相反数是成对出现的；能被称为相反数，相反数是成对出现的；3正号正号“+”的功能是对一个数的符号予以确认；而负号的功能是对一个数的符号予以确认；而负号“”的功能是的功能是对一个数的符号予以改变。对一个数的符号予以改变。绝对值绝对值1发现、总结绝对值的定义：我们把在数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值绝对值( absolute value )。记作|a|。例如，在数轴上表示数6 与表示数 6 的点与原点的距离都是 6，所以6 和 6 的绝对值都
9、是 6，记作|6|=|6|=6。同样可知|4|=4，|+1.7|=1.7。2试一试：你能从中发现什么规律? 由绝对值的意义，我们可以知道：(1)|+2|= ，= ，|+8.2|= ； (2)|0|= ；(3)|3|= ，|0.2|= ，|8.2|= 51。概括：通过对具体数的绝对值的讨论，并注意观察在原点右边的点表示的数（正数）的绝对值有什么特点？在原点左边的点表示的数（负数）的绝对值又有什么特点？由学生分类讨论，归纳出数 a 的绝对值的一般规律： 1. 一个正数的绝对值是它本身；一个正数的绝对值是它本身；2. 0 的绝对值是的绝对值是 0；3. 一个负数的绝对值是它的相反数。一个负数的绝对值
10、是它的相反数。即：若 a0，则|a|=a； 若 a0，则|a|=a；若 a=0，则|a|=0； 或写成：。)0()0()0(0 aaaaaa3绝对值的非负性：由绝对值的定义可知：不论有理数 a 取何值，它的绝对值总是正数或 0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a|0。4例题；例 1：求下列各数的绝对值：，4.75，10.5。217 101解：=；=；|4.75|=4.75；|10.5|=10.5。217 217101 101例 2： 化简：(1)； (2)。解：(1) ； (2) 21 311 21 21 211 。311311 例 3：计算：（1）|0.32|+|0.3|；（2）|4
11、.2|4.2|；（3）|（32） 。32分析：求一个数的绝对值必须先判断这个数是正数还是负数，然后由绝对值的性质得到。在（3）中要注意区分绝对值符号与括号的不同含义。解答：（1）0.62； （2）0； （3）。34小结：1对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑，从几何对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑，从几何方面看，一个数方面看，一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离，它具有非的点与原点的距离，它具有非负性；从代数方面看，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的负性；从代数方面看，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，相反数，0 的绝对值是的绝对值是 0。2求一个数的绝对值注意先判断这个数是正数还是负数。求一个数的绝对值注意先判断这个数是正数还是负数。
