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1、1 一道高考数学试题的高数背景廖运章朱亚丽(广州大学数学与信息科学学院510006) 2009 年湖南高考数学理科第21 题是这样的：对 于 数 列nu， 若 存 在 常 数M 0,对 任 意 的Nn， 恒 有1121.nnnnuuuuuuM ，则称数列nu为 B-数列 . （I ）首项为1，公比为(1)q q的等比数列是否为B-数列？请说明理由; （II ）设nS是数列nx的前 n 项和，给出下列两组论断：A组：数列nx是 B-数列，数列nx不是 B-数列；B组：数列nS是 B-数列；数列nS不是 B-数列 . 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给
2、命题的真假，并证明你的结论；（III）若数列,nnab都是B数列，证明：数列nna b也是B数列 . 注 令（ I ）的 21q、 （III）中的nnab，其他不变，即为2009 年湖南高考数学文科第 21 题，以下只讨论理科题，并简称为本试题. 不难发现， 这道文理压轴题以开放题的形式，用数列、 不等式知识作载体，考查归纳猜想、逻辑推理等重要数学思想方法，具有深刻的高等数学背景，来源于数学分析中的有界变差数列，与实变函数中的有界变差函数一脉相承. 1命题渊源11 命题背景事实上，本试题直接来源于吉米多维奇的数学分析习题集的第86 题，原题及解答如下：NO.86 若存在数C,使得21321,(
3、2, 3,)nnxxxxxxCn，则称叙列(1, 2, 3,)nxn有有界变差 .证明凡有有界变差的叙列是收敛的. 举出一个收敛叙列而无有界变差的例子. 2 证令21324311, (2, 3,)nnnnnyxxxxxxxxxxn，则叙列ny是单调增加且有界，所以它是收敛的. 根据哥西收敛准则，对于任给0，存在数N，使当mnN时，mnyy，即1121mmmmnnxxxxxx，而对于叙列 nx有，1121mnmmmmnnxxxxxxxx1121|mmmmnnxxxxxx，所以，叙列nx是收敛的 . 叙列：1111111,1, (1) 2233nn，它是以0 为极限的收敛叙列. 但它不是有界变差的
4、 . 事实上，21324322121432211112 1, 23nnnnxxxxxxxxxxxxxx n而序 列1111 23nn是 发 散 的 ， 又 是 递 增 的 ， 故n. 于 是2132221nnxxxxxx不是有界的.因而收敛叙列nx：1111111,1, (1) 2233nn无有界变差1. 另例：若令1111111111 23n nknkx nk，则因pnnnnxxpnnpn1)1( 312111)1(1312111nnn114131nnn. 故由柯西判别法知limnxx存在，然而1111 23nS n，即nx并非有界变差叙列2.随后， 我国许多数学分析教科书、参考书先后将之稍
5、作修改变形收入其中，如武汉大学数学系主编的数学分析（人民教育出版社，1978 年） P 237 的 NO.3，裴礼文的数学分析中的典型问题与方法 （高教出版社，2006 年） ，刘玉琏的数学分析辅导讲义（高教出版社， 2001 年）P57第 20 题，孙涛的 数学分析经典习题解析 （高教出版社， 2003 年） ，刘名生、冯伟贞、韩彦昌的数学分析（一） （科学出版社，2009 年） P34 的 NO.13等等，有的还冠以“有界变差数列收敛定理”的名称. 比较典型的问题形式有华东师范大学数学系的数学分析3，其 P40 的第 6 题为：3 若数列na满足： 存在正数 M， 对一切 n 有21321
6、nnnAaaaaaaM. 证明：数列na与nA都收敛 .12 命题技术从高考数学命题技术看，一是通过语言转换，将高中生不熟悉的高等数学术语“有界变差数列”用其英文简写“B数列” （ bounded variation sequence）这一新定义替代，高数语言初等化，保持原题条件不变，改变其结论 （原题第2 问的否定即是本试题的（I ） ） ，以考查有界变差数列性质的目的，避开考生不能为之的收敛数列证明，试题的信息形态有一定新意；二是在解题思想方法上，本试题的解法与原题一样，都要求正确把握新定义“B数列”的内涵并灵活运用绝对值不等式的插值法（添减项），更是高等数学中的常用估值技巧，涉及压缩映射
7、原理的2006 年广东高考数学理20 题()的证明就曾用到该估值技巧. 近年来， 依托高等数学背景，通过高等数学语言初等化等形式，将高等数学问题的提法转化为中学生可接受的语言来编拟高考数学试题是一种常见的命题方法，而中学数学和大学数学的衔接点则往往成为命题的焦点.如单调有界定理是数学分析中判定数列收敛的一个奠基性定理，与中学的数列、不等式等知识联系紧密，以此背景编拟本试题就不出意料.2解法探究21（I ）的解法本试题（ I ）比较简单，只要现场认真阅读有关条件并仿照新定义进行验证即可. 设满足题设的等比数列为na,则1nnaq；于是21211 ,2nnnnnaaqqqqn，因此1na- na
8、+na-1na +, +2a-1a=21 1 (1.).n qqqq1,q2111 1., 11nnq qqq qq即 11211 . 1nnnnq aaaaaa q，故首项为1，公比为q(1)q的等比数列是B-数列 . 22（ II ）的解法（II ）是一个开放性问题，给考生思考的空间大，A、B 两组可以组成八个命题：，.由原命题与逆否命题的等价性可知：与、和、与、与是互为逆否命题，所以本试题的八个命题可以归结为、这四个命题，但命题 （2）真则命题（ 4）假，反之亦可，故问题（II）实质上是要判断下列命题的真假：命题 1：若数列nx是 B-数列，则数列nS是 B-数列 .命题 2：若数列nS
9、是 B-数列，则数列nx是 B-数列 .4 命题 3：若数列nx不是 B-数列，则数列nS是 B-数列 . 命题 1 为假命题 . 事实上，设1,nxnN，易知数列nx是 B-数列，但nSn，且1121nnnnSSSSSS=12nnxxxn , 由 n 的任意性知， 数列nS不是 B-数列 .对于命题2，因为数列nS是 B- 数列，所以存在正数M ，对任意的Nn，有1121.nnnnSSSSSSM ，即12.nnxxxM ；于是1121.nnnnxxxxxx1121122.222nnnxxxxxMx，所以数列nx是 B-数列，命题为真.命题 3 为假命题 . 考虑其逆否命题： 若数列nS不是
10、B-数列，则数列nx是B-数列 . 其实，举一反例如令2nSn，即知为假命题.23 ( ) 的证法若数列na， nb 都是B数列，则存在正数1M，2M，对任意的,nN有11211.nnnnaaaaaaM，11212.nnnnbbbabbM.注意到112211.nnnnnaaaaaaaa11221111.nnnnaaaaaaaMa，同理21nbMb. 记111KMb，则有222KMb111111nnnnnnnnnnnnaba baba ba ba b1111111nnnnnnnnnnbaaabbKaak bb，故111212112(.)nnnnKbbbbaak Mk M， 数列nna b是B数列
11、。.。3试题拓展综上讨论，本试题主要探究有界变差数列的定义与个别性质，属于初等数学研究范畴，高中生是完全可以接受的；而吉米多维奇的原题侧重于研究有界变差数列的敛散性，是大学数学的教学内容.其实，有界变差数列与有界变差函数密切相关，有界变差函数是通过有界变差数列定义的，它们有许多相似性质.以下从纵向深入探究有界变差数列的若干性质，并从横向拓展、举例说明有界变差函数，所有讨论均限制在初等数学范围内.31 有界变差数列的性质5 一 般 地 ， 设 有 数 列na， 若 存 在 正 数M， 对 任 意 的Nn， 有nnaa11nnaa+Maa12，则称数列na为有界变差数列. 有界变差数列又称囿变数列
12、，在分析学中有广泛应用，以下是一些高中生能理解的有界变差数列的性质4.性质 1 若数列na为有界变差数列，则na必是有界数列. 证明：设数列na为有界变差数列，则存在一个正常数M，对于任意的nN都有Maaniii11.而11211aaaaaaannnn1nnaa12aa11aMa.取1aMC，存在一个常数C，对于任何一个nN，都有Can.所以，na是有界数列 . 性质 2 若数列na为单调递增（递减）有界数列，则na必为有界变差数列. 证明：不妨设na单调递增有界Man，因为11111aMaaaanniii，取1aMC，即Caaniii11，na为有界变差数列. 注意 ：性质 2 的逆命题不成
13、立，如数列, 21, 21,0,12，易验证它是有界变差数列，显然不是单调数列 . 性质 3 设数列na，若存在M,对任何nN，有Manii1，则数列na必为有界变差数列 . 证明：对任何nN，Maaaaniiniiniii211111. 性质 4 设数列na，nb 都是有界变差数列，为常数，则na；nnba；nnba；nnba，0nb；na；nnba ,max，nnba ,min均是有界变差数列 .证明：仅证，其余请读者一试.此时，只需证nb1为有界变差数列，再据即可. 6 211111111iiiiiiiiiiiibbbbbbbbbbbb，2 112 11111Mbb bbniiiniii
14、，从而nb1为有界变差数列. 性质 5 数列na为有界变差数列na可以表示为两个单调有界数列之差. 证明： （）显然 . （）设na是有界变差数列，令111121nniiinaaax，111121nniiinaaay，显然nx，ny均为有界变差 . 又0)( 21)( 21111111111nnnnnnniiiniiinnaaaaaaaaaaxx，同理可得01nnyy. 故nx，ny都是单调有界数列. 性质6 若数列na满足条件)10;,3,2(11rnaaraannnn，称数列na为压缩变差数列，则压缩变差数列必为有界变差数列. 证明：11nnnnaaraa，21211nnnnnnaaraa
15、raa121aarn. 从而，11nnnnaaaa122112rrrraannMaa rraan121211，其中 raaM 112. 故数列na为有界变差数列. 32 有界变差函数举例有界变差函数是分析中较重要的函数类，它起源于求曲线的长度，在微分与积分的研究中起重要作用 . 下面通过数学问题解决的方式，举例说明. 问题 1设)(xf是定义在,ba上的函数，用分点bxxxxxaTnii110:将 区 间,ba任 意 划 分 成 n 个 小 区 间 ， 如 果 存 在 一 个 常 数0M， 使 得 和 式Mxfxfniii11)()(（ni,2,1）恒成立，则称)( xf为,ba上的有界变差函数，记作,baBVf，这里,baBV表示在,ba上的全体有界变差函数的集合（若无特别约7 定，以下讨论都基于此记号）.（I ）函数2)(xxf在1,0上是否为有界变差函数？请说明理由；（II ）设函数)( xf是,ba上的单调函数，证明：,baBVf；（III） 若定义在,ba上的函数)( xf满足：存在常数k， 使得对于任意的1x 、,2bax时，2121)()(xxkxfxf. 证明：,baBVf. 解： （ I ）函数2)(xxf在 1,0上是增函数，对任意划分T，1)0()1()()()()()()(10111ffxfxfxfxfxfxfnnniii，取常数1M，则和式Mx
