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1、1 固体物理学部分习题参考解答第一章1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以 Rf和 Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf=22a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb=32a 那么，RfRb=23aa=631.2 晶面指数为（ 123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA、 OB 和 OC 分别与基失a1，a2和 a3
2、重合，除 O 点外， OA，OB 和 OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（ 234） ，情况又如何？答：根据题意，由于OA 、OB 和 OC 分别与基失a1，a2和 a3重合，那么1.3 二维布拉维点阵只有5 种，试列举并画图表示之。答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：1.4 在六方晶系中，晶面常用4 个指数（ hkil ）来表示，如图所示，前3 个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k） 并将下列用 （ h
3、kl）表示的晶面改用 （hkil ）表示：（001）(133)(110) (323)（100） （010）(213)答：证明设晶面族（ hkil ）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在 a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此123oooanhdankdanid(1) 正方a=b ab=90六方a=b ab=120矩形ab ab=90带心矩形a=b ab=90平行四边形ab ab902 由于 a3=（ a1+ a2）313()ooanaan把（ 1）式的关系代入，即得()idhdkd()ihk根据上面的证明，
4、可以转换晶面族为（ 001） （0001） ，( 1 3 )(1323)，(110)(1100)，(323)(3213)， （100）(1010)，（010）(0110)，(213)(2133)1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方： 6（ 2）体心立方：38（3）面心立方：26（4）六方密堆积：26（5）金刚石：316。答：令 Z 表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni 是位于晶胞内的球数，Nf 是在晶胞面上的球数，Ne 是在晶胞棱上的球数，Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有：111248ifecZNNNN边长为 a 的立方晶胞中堆积比率为334
5、* 3r FZ a假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为，依据题意（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：=334 / 3(2)rr= 6（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为43r，那么：=332(4 / 3)(4 /3 )rr= 38（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为22r，那么：=334(4 / 3)(22)rr= 263 （4）对于六方密堆积一个晶胞有两个原子，其坐标为（000） （1/3，2/3，1/2） ，在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因
6、此=3242() 332ra c=26（5）对于金刚石结构Z=8 38ar那么3 33443*8() 338rFZ a=316. 1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm 为单位） a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k ） ，此处 i，j，k 为笛卡儿坐标系中x，y，z 方向的单位失量.问：（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？答： （ 1）因为 a=3i，b=3j，而 c=1.5（i+j+k ）=1/2（3i+3j+3k ）=1/2（a+b+c）式中c=3c。显然， a、b、c构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c 正处于此晶胞
7、的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。（2）晶胞的体积=c(ab)= 3k(3i3j)=27* 10-30(m3) 原胞的体积 =c (ab)=1(333) (33) 2ijkij=13.5* 10-30(m3)1.7 六方晶胞的基失为：322aaaij，322abaij， cck求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区. 答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：正格子的体积 =a （b*c）= 232a c那么，倒格子的基矢为12()bc b223ij aa，22()ca b223ij aa，32()ab b2 k c 其第一布里渊区如图所示：1.8 若基失 a，b，c 构成正交
8、晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为2221()()()hkld hklabc答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距4 分别为1ah，2ak，3al。该平面（ ABC ）法线方向的单位矢量是123dhdkdl nxyz aaa这里 d 是原点到平面ABC 的垂直距离，即面间距。由|n|=1 得到222123()()()1dhdkdlaaa故12222123()()() hkl d aaa1.9 用波长为0.15405nm 的 X 射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角 如下序号1 2 3 4 5 / （）19.611 28.1
9、36 35.156 41.156 47.769 已知钽为体心立方结构，试求：（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数；（2）上述各晶面族的面间距；（3）利用上两项结果计算晶格常数. 答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：2222|1cos()sin()hklIFfn hklfn hkl考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l ）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时， 才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110） 、（200） 、（211） 、 （220）和（ 310）的散射。由布喇格公式2sin(1)hkldn得1011011.5405
10、 2.29510() 2 sin2 sin 19.611odm同法得1020021.633410() 2 sindm1021131.337710() 2 sindm1022031.160910() 2 sindm1031041.040310() 2 sindm5 应用立方晶系面间距公式222hklad hkl可得晶格常数222hkladhkl把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值 *10-10m 为3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897 取其平均值则得103.272510()am1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格
11、矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区 . 答：参看下图，晶体点阵初基矢量为1aai21322aaiaj用正交关系式022,ijijijijba求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设111xybbibj222xybbibj由112ba120ba210ba222ba得到下面四个方程式11()2xyaibibj（1）1113 () ()0 22xyaiajbibj（2）22()0xyaibibj（3）2213 () ()2 22xyaiajbibj（4）由（ 1）式可得：12xb a由（ 2）式可得：123yb a6 由（ 3）式可得：20xb由（ 4）式可得：243yb a于是得出倒易点阵基矢1223b
12、ij aa243bj a7 第三章习题答案3.1 试求由5 个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m8.351027kg，恢复力常数 15Nm 1解：一维单原子链的解为)(qnati nAeX据周期边界条件11NXX，此处 N=5,代入上式即得1)5(qaie所以aq52（为整数）由于格波波矢取值范围： aq a。 则 2525故可取 2， 1，0，1， 2这五个值相应波矢： a54, a52,0, a52, a54由于 2sin4qam，代入，m及 q 值则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位）8.061013，4.99 1013，0，4.99 1013，8.06 10133
13、.2求证由 N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为2122)(2 mN式中mm4是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N 解：对一维单原子链，dqqqdqddN2?)(所以dqdq2（1）由色散关系 2sin4qam求得2/12) 2sin1( 2422cos4qaamaqamdqd2/12)4( 2ma（2）而 22NaLq， 则由（ 1）式可得2/1222/12)(24 222mNmaNa由于m m4，则总的振动模数为dN dNmwwmm2/1 2200)(28 令sinm，则积分限为0到2/， 故NN dN201202 coscos23.3设晶体由N个原子组成，
14、试用德拜模型证明格波的频率分布函数为239mN解：由书上（369）式可得32223vvg（1）由（ 3 71）可得vnmD3/126由此可得nvm32332，代入（ 1）式得239mN3.4对一堆双原子链，已知原子的质量m8.351027kg，另一种原子的质量M 4m ，力常数 15N m1，试求（1）光学波的最高频率和最低频率max和min；（2）声学波的最高频率Am ax；（3）相应的声子能量（以eV 为单位）；（4）在 300K可以激发频率为max，m in和Amax的声子的数目；（5）如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。解： （1）m mMMm54Hzrad1313max
15、1007.1sec/1070.62Hzrad m1313min1095.0sec/1099.52Hzrad MA1313max1048.0sec/1000.32（2）eV2 max1041.4eV2 min1095.3eVA2 max1097.1（3） 11/ kTwen9 221.0maxn，276.0m inn，873.0maxAn（4）光速vc，mmcvc 28108.225max3.5 设有一维晶体， 其原子的质量均为m ， 而最近邻原子间的力常数交替地等于和 10， 且最近邻的距离为2/a，试画出色散关系曲线，并给出0q和aq/处的q 。解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环
16、境不同，参看图，原子的运动方程应是nnnnnnnnnnxxxxxmxxxxxm212122212122212210即nnnnxxxxm212122111012222121110nnnnxxxxm求格波解，令tqaninAex222，tqaninBex21212代入运动方程，可导出线性方程组为：011100101122/2/2/2/2B mAee mBee mA miqaiqaiqaiqa令20m，从 A，B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得0)10)(10(112/2/2/2/402220iqaiqaiqaiqaeeee可解出101cos20112 02qa色散关系见下图0q时，1cos qa，022，01010m 2ax2n-1 x2nx2n+1x2n+210 aq时，1cos qa，020，023.6 在一维双原子链中，如1mM，求证qa Msin21)cos 21(22 2qa Mmm证 由书中（ 3.22
