1999年第5期 总第211期导 弹 与 航 天 运 载 技 术 M ISSI LES AND SPACE V EH ICLESNo. 5 1999 Sum No. 211 基于Ham ilton原理的 柔性多体系统动力学建模方法α刘才山 陈 滨 阎绍泽(北京大学力学与工程科学系,北京100871) (清华大学精密仪器系,北京1000871)吴德隆(北京宇航系统工程设计部,北京100076)摘要 首先基于Ham ilton原理建立起一般柔性体连续系统的动力学建模方 法,进而以水平面内作大范围回转运动的柔性梁为例,在Eu1er2Bemoulli梁模型的假设前提下,根据轴向不可伸长的柔性梁的几何约束条件,推导出作大范围刚体运 动的柔性梁连续系统的一致线性化振动微分方程 采用假设模态法对其离散化,导 出考虑刚弹耦合作用的柔性梁有限维离散化动力学模型文中最后给出了仿真算 例,验证了该方法的有效性 主题词 柔性体,动力学,+多体系统,数学模型TheM odellingM ethod of FlexibleM ultibody Dynam ics Based on Ham ilton PrincipleL iu Caishan Chen Bin(Department ofM echanics ∆T为系统动能的变分;∆V为系统势能的变分;∆W为作用于弹性体上外力所做的功的变分。
图1 具有大范围运动的 任意柔性体图1表示具有大范围刚体运动的任意柔件体BP为体B上的任意一点;Oa1a2a3为固定在体B上并随 其一起运动的随动坐标系框架;Rτ 0为随动坐标系相对 于固定坐标系的位置矢量;rϕ为柔件体B上的任意一点P相对于随动坐标系的位置矢量 则点P相对于固定坐标系位置矢量Rτ为Rτ=Rτ 0+rϕ(2)位置矢量rϕ依赖于柔性体弹性变形的广义坐标qj, (j= 1, 2,⋯,n为广义坐标的数目)rϕ=rϕ(q 1,q2,⋯,qn)(3)点P在固定坐标系的速度可表达为: dRτdt=Vτ 0+Ξτ×rϕ+∑ni= 15rϕ5qiqα i(4)式中 Vτ 0为系统的随动坐标系的原点O在固定坐标系中的平动速度矢量;Ξτ为随动坐标系33第5期 刘才山等 基于Ham ilton原理的柔性多体系统动力学建模方法 框架在固定坐标中的角速度矢量;qα i为柔件体弹性变形的广义坐标的速率 整个系统的动能T为:T=1 2M Vτ 0ıVτ 0+M Vτ 0ı(Ξτ×rϕ c) +1 2(ΞτıJτ→ ı Ξτ)+∫ B{Vτ 0ı∑nr= 15rϕqrqα r+Ξτ(rϕ×∑nr= 15rϕ5qrqα r) +1 2∑nr= 1∑nt= 15rϕ5qrqα r5rϕ5qtqα t}dm(5)式中 M为柔性体B的质量;rϕ c和Jτ分别为体B的质心和惯性矩并矢量。
将式(5)代入方程(1),并进行分步积分,可得弹性体变形运动的振动微分方程如下: ∫l2l1{∫B∑ns= 1[∑nr= 15rϕ5qrqıı rı5rϕ5qs+∑nr= 1∑nt= 152rϕ5qr5qtqα rqα t5rϕ5qs+Ξθı (rϕ×5rϕ5qs) +(Vθı0+Ξτ×Vτ 0)ı5rϕ5qs-1 2MΞτ 5Jτ→5qsΞτ+ 2Ξτ∑nr= 15rϕ5qrqγ∑ır×5rϕ5qs]∆qsdm-∆V+∆W}dt= 0(6)在方程(6)的推导过程中,没有对柔性体的变形作任何假设,因此,式(6)适合于任意形 状、 任意假设条件下的柔性体3 Euler2Bernoulli梁模型的一致线性化动力学方程图2 在水平面作回转运动的 柔件机械臂系统考虑如图2所示的在水平面内作回转运动的柔 件机械臂系统 杆件的总长度为L;截面积为A;质量 密度为 Θ;弹性模量为E;固定端处的集中惯性矩为Ih;电机轴中心距柔性梁固定端的距离为a;电机的驱动力矩为Σ;Η为刚体大范围运动的转角位移;l为截面 惯性矩;Oij为固定坐标;Oa1a2为随动坐标系 设柔性梁上任意一点Q经变形运动后到达Q′ 点;u为柔性梁轴向位移的广义坐标;v为柔件梁的横向位 移的广义坐标;x为点Q距臂根处的距离。
则Q′ 点在随动坐标系Oa1a2下的位置矢量rϕ为rϕ=[ (a+x+u)cosΗ-vsinΗ]iγ+[ (a+x+u) sinΗ+vcosΗ]jγ(7)其对时间的一阶导数rϕı 为rϕı =[5u 5tcosΗ-(a+x+u) sinΗ ı Ηα-5v 5tsinΗ-vcosΗ ı Ηα]iγ+[ (a+x+u)cosΗ ı Ηα-5u 5tsinΗ+5v 5tcosΗ-vsinΗ ı Ηα]jγ(8)忽略重力的影响,则系统总的势能即为系统的应变能V=1 2EA∫L0(5u5x)2dx+1 2E I∫L0(52v5x2)2dx(9)将式(8), (9)代入式(6)可得 ∫t2t1{ΘA∫L0{[uıı-vΗα-(a+x+u)Ηα2-2Ηαvα]∆u43 导 弹 与 航 天 运 载 技 术 1999年+∫vıı+(a+x+u)Ηıı+ 2Ηαuα-vΗα2]∆v}dx+∫L0[E Iv′ ′ ′ ′ ∆v-EA u′ ′ ∆u]dxdt} = 0 (10)忽略惯性力作用下柔性梁产生的轴向应变,即认为弹性体在中性轴上为一轴向不可伸长的柔性梁,则梁上任意一点Q在变形前后存在如下的几何约束条件。
u= -1 2∫Lx(5v(Ρ,t) 5Ρ)2dΡ(11)式中 Ρ为哑元变量对上式求变分∆u= -∫Lxv′ ′ ∆vdΡ(12)将式(12)代人式(10)ΘA52v5t2-ΘA vΗα2-(Sv′)′ Ηα2+ΘA(a+x)Ηıı= 0(13)式中 S=∫LxΘA(a+x)dx方程(13)是基于几何约束条件,u关于v为二阶精确描述的基础上进行的,从而使得动 力学方程中关于v及其vα的一次项和零次项是精确的,因此,方程(13)称之为一致线性化动 力学方程 基于假设模态法对方程(13)进行离散化,将v(x,t)用模态广义坐标qi(t)表示成如下形 式:v(x,t) =∑ni= 1Υi(x)qi(t)(14)式中 Υi(x)为柔性梁横向振动的第i阶模态振型函数;qi(t)为i阶模态广义坐标;n为模态阶数 可得系统如下的离散化动力学方程:Meeqıı+Keeq+MreΗıı+Ne= 0(15)式中 Mee= diag(m1,m2,⋯,mn)为系统的广义主质量对角阵;mi=∫L0ΘAΥ2 i(x)dx;Kee= diag(k1,k2,⋯,kn)为系统的广义主刚度对角阵;ki=∫L0E IΥ′ ′2 i(x)dx;mre=(Λ1,Λ2,⋯,Λn)T,Λi=∫L0ΘA(a+x)Υi(x)dx;Ne= -Ηα2N q;N=m10m2⋯0mn-Γ11Γ12⋯Γ1nΓ21Γ22⋯Γ2n⋯⋯⋯⋯Γn1Γn2⋯ΓnnΓij=∫L0ΘA(a+x)∫x0Υ′ i(Ρ)Υ′ j(Ρ)dΡdx53第5期 刘才山等 基于Ham ilton原理的柔性多体系统动力学建模方法 4 仿真算例图3 末端弹性变形曲线为验证以上方法的正确性,引用文献[1] 所给出的算例,设一转动基础上的柔性梁,梁长L= 10 m ,截面积A= 4. 60×10- 4m2,弹性模 量E= 6. 895×1010N?m2,截面惯性矩Ib= 2. 031×10- 7m4,质量密度 Θ= 2. 767×103kg?m2,基础运动规律为Ηα=(8 T) [t-T 2Πsin (2Πt T) ]0≤t≤T8 t>T(16)式中 8 为稳定转速;8= 6 rad?s;T为加速 时间,T= 15 s。
动力学仿真结果如图3所示 仿真结果同文献[1]给出的结果非常吻合,验证了本文基于Ham ilton原理建立的一致线性化动力学模型的有效性5 结 语 本文从Ham ilton基本原理出发,推导出适合任意形状,任意假设条件下的一般柔性体 的动力学建模方法,以作大范围刚体运动的Euler2Bernoulli梁模型为例,根据轴向不伸长的 柔性梁的几何约束条件,导出柔性体一致线性化的连续系统的振动微分方程 基于假设模态法对其进行离散化,得到考虑刚弹耦合作用的柔性体有限维动力学模型 仿真算例验证了该 方法的有效性参 考 文 献1 Kane T R, Ryan R R, Banerjee A k. Dynam ics of a cantilever beam attached to a moving base. J. Guid.Contr. and Dyn. 1987, 10: 139～1512 肖世福,陈滨.一类刚2柔耦合系统的建模与稳定性分析.力学学报, 1997, 4: 439～4473 Banerjee A K, D ickensM. Dynam ics of an arbitrary flexible body in large rotation and translation. J.Guid Cont. and Dyn. 1990, 13: 221～2274 Ryu J, Ki m S S. A genera1 approach to stress stiffening effects on flexible multibody dynam ics system sM ech. Struct.&M ach. , 1994, 22(2): 157～1805 Zhang D J,L iu C Q ,Huston R L. On the dynam icsof an arbitrary flexible bodyw ith large overallmotion:A n integrated approach. M ech Struct.&M ach. , 1995, 23(3): 419～4386 Chang B L , Shabana A A. Nonlinear finite element formulation for the large displacement analysis ofplates . J. Appl . M ech. , 1990, 57: 707～71863 导 弹 与 航 天 运 载 技 术 1999年。