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1、第 8 章 粘性流体动力学基础 第 8 章 粘性流体动力学基础 本章内容： 本章内容： 1.边界层基本概念 2.边界层基本微分方程 3.边界层动量方程 4.边界层排挤厚度和动量损失厚度 5.平板层流边界层 6.平板湍流边界层 7.平板混合边界层 8. 船体摩擦阻力计算 9.曲面边界层分离现象 10. 绕流物体的阻力 11.减少粘性阻力的方法 8-1 边界层的概念 8-1 边界层的概念 N-S 方程理论上完备但求解困难。解决(求解)工程实际问题大多局限于小雷诺数流动问题。 高Re时(量级在的范围),粘性力与惯性力相比是很小的。1904 年，L.Prandtl 指出，对于粘性很小的流体(如空气、水
2、） ，粘性对流动的影响仅限于贴近固体表面的一个薄层内，这一薄层以外，粘性完全可以忽略。 610 109边界层：边界层：在固体壁面附近，显著地受到粘性影响的这一薄层。从边界层厚度很小这个前提出发，Prandtl 率先建立了边界层内粘性流体运动的简化方程，开创了近代流体力学的一个分支边界层理论。边界层理论。 均匀来流绕一薄平板流动，微型批托管测得沿平板垂直方向的速度分布如下图： 均匀来流速度均匀来流速度平板上u=0平板上u=0u=0 u=0 边 界 层 内 粘性 力 不 可 忽边 界 层 内 粘性 力 不 可 忽一薄层内速度一薄层内速度这这 梯度梯度很大很大yvx 与来流速度相同的量级与来流速度相
3、同的量级,U99 99 边界层外边界边界层外边界 U99 U99 边界层名义厚度边界层名义厚度 :外边界上流速达到 U99的点到物面的法向距离 边界层厚度： 边界层厚度： 根据速度分布的特点，可将流场分为两个区域： 根据速度分布的特点，可将流场分为两个区域： 一、边界层： 1.这一薄层内速度梯度xv y 很大。 2.边界层内的流动是有旋流动1()2yxx zvvv xyy= 。 二、边界层外部区域 边界层外部粘性影响很小，可以忽略不计，可认为边界层外部的流动是 理想流体无旋势流。 重要推论： 重要推论： （1）边界层内各截面上压力等于同一截面上边界层外边界上的压力 即： P2PP1x 12PP
4、=3P（2）势流的近似计算中，可略去边界层的厚度，解出沿物体表面的流速和压力3）根据边界层厚度极薄的基本假设，可将 N-S 方程化简，获得边界层的基本界层内的流动状态： 界层内的流动状态： 关。 界层转变为湍流边界层的判别准则：界层转变为湍流边界层的判别准则： 雷诺数： 分布，并认为就是边界层边界上的速度和压力分布，据此来计算边界层。 （微分方程。 边边层流边界层，湍流边界层均存在粘性底层（层流底层） ，其厚度与 Re 有层流边层流边ReUx =（为离平板前缘点的距离） 对于平板，层流转变为湍流的临界雷诺数为： 5Re()5 10kp kpkpUxUx = 层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置
5、坐标 55 10kpxU= （11-1） 8-2 边界层基本微分方程 8-2 边界层基本微分方程 粘性不可压缩流体,不计质量力，定常流过小曲率物体，物体表面可近似当作平面。 取物面法线为轴。在大 Re 数情况下的边界层流动有下面两个主要性质： 1) 边界层厚度较物体特征长度小得多，即： 1L =2)边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级以此作为基本假定， 将N-S 方程（二维）化简： 222222221()1()xxx xyxyyy xyvvvvpvvyxyxxvvvpvvyvxyyx+=+=+ y0yxvv xy+=连续性方程 引进特征长度、特征速度，将方程中的各物理量无量纲化： 2,yx
6、xyvvxypxyvvpLLUU=U将其代入 N-S 方程，整理后得： 222222 21()Re 111 1()1xxxx xyvvvvpvvxyxxy+= +( )a222221()Re 111()yyyy xyvvvvpvvxyyxy+= +( )b0(11yxvvcxy+=)因为1ReL，所以2Re 因为0xL，所以1xxL =因为1yyL =，0y所以yL= 因为0，所以xVU1x xVVU =所以 ,1,xxxvvv yxx=所以 1,y yvvy222222111,yxxyyvvv xyyyvvxx21xv ， 化简后为： 22100xxx xyyxvvpvvv xyx p y
7、vv xy+=+ = +=x=x=（11-4） 边界条件： ，VV ； 0xy，VU 。 ( )x上式为边界层基本微分方程（Prandtl 方程） 。 讨论： 0p y=Prandtl 边界层方程中第二个方程：。说明了什么？ 说明了：1230PPP=p1p2p0Prandtl 边界层方程的求解: Blasius 解-顺流放置无限长平板上的层流边界层流动。 均匀来流平行于平板，轴平行于板面，原点在平板前缘，平板极薄且无曲度，边界层外缘处速度为来流速度。沿边界层外缘上各点上压力相同，即0dp dx=。 上述边界层方程简化为： 220xxx xyyxvvvvv xyx vv xy+= +=(11-5
8、) 边界条件： ， ； 0,0xyVV=， 。 xVU=严格上，速度从零增至须经过无限远距离，近似认为，。 xVU=引入流函数，与速度的关系为： xxuuyx= (11-6) 将其代入简化后的边界层方程第一式有： 222yx yxyy33= (11-7) 边界条件：000yxyx0=yUy =若求出了流函数，便可求出速度，应是，的函数，且中包含和（起参数作用） ，和不同时，同一空间点上的值不同。 现设法将方程和边界条件中各个物理量无量纲化，不再出现和。 选特征量： ：的比例尺 L U：y 的比例尺， : 的比例尺，为常数 若用, , x y表示，及的无量纲值，则有 L UxyxyL=(11-8
9、) L UxLxyy=（11-9） 将（11-9）代入（11-7）式，得 22223/2()()()L UULyx yxy33Ly= （11-10） 222(yx yxyyUL33) = （11-11） 边界条件化为： 0,0,0,L UL ULyUyLLyUUy=x=（11-12） 若令UL=,则方程和边界条件都将变成无量纲的形式,并且其中不再显含和。 223230 ,0 ,0,1yxyxyyyxyyy= = =（11-13） 这就是无量纲运动方程及边界条件,可见不再显含及， 其解也应该不包含及。 即 ：( , )x y=（11-14） 求出 ，则为：(,) L UxyULL=（11-15）
10、 注意： 平板为半无限长即没有任何特征长度， 故其解不应包含(只是任选的长度比例尺)，而只应该包含和。 （11-14）式应采取如下形式： ( , )()yx yxx=（11-16） 返回为有量纲解时，不出现，即 ： ()1 2U xUyx= （11-18） 通过以上分析，来求解下列形式的。 L UyxUULUxyLxx L =（11-17） 将代入（11-17）式求解 22323211( )221( )41( )81 ( )( )2 1( )4ddUUxUxUyddyxUUyxU yxU xx U x yx = = （11-19） 将上式代入方程（11-7） ，有 0+=（11-20） 满足的
11、是三阶非线性常微分方程 边界条件为： ， ， ， 非线性的微分方程，得不到解析解。采用级数展开办法，或者直接进行数值积分。由于和均为无量纲量，且在方程及边界条件中只有纯数而不显含及，故所得结果可以一劳永逸地应用。 表 11-1 给出问题的数值解，其中 1( )2xv U =就是边界层内无量纲的速度分布。 例 11.1 本例说明上表 11-1 的用法。 (1) 欲求边界层内点 （x,y） 的速度 Vx （x,y） 可将及的值代入1 2Uyx=，中得出值，由此值从上表中找出相应的1()2则：1( , )( )2xvx yU =设 U=25 km/h，=0.15cm2/s, x=3m,=5mm， 求
12、：Vx？ 解：U=251000/3600=6.95m/s, =0.0015m2/s, x=3m, y=0.005m, 代入中得： 3 416.955 100.9820.15 103 = =从表 11-1 中，用内插法，查得 1( )0.6192xv U =所以 Vx 0.619403/ (2）按上例条件，求处的边界层厚度 解: 按定义边界层外边界上速度 Vx=99查表 111，找出99%xv U=时， 2.5, 由1 2Uyx=可得： 40.15 1032.5 250.1281.286.95xmcU=m （3)求板面上的切应力0 解： 由牛顿内摩擦定律 200021(0)4x yyvUUyyx
13、=按照表 111，（0）可近似表达为： 20(0.1)(0)(0)1.3280.100.332U x=于是上式可看出平板层流边界层局部摩擦切应力与坐标的平方根成反比的规律随着的增加而减小。 现计算整个平板上总摩擦阻力。设板长为，板宽为，则平板单面总摩擦阻力是： 3 3 0000.3320.664LLfURbdxbdxLUx=总摩擦阻力系数fC由下式确定： 21 21.328 Ref fRCU bL=（11-21） 式中为按平板板长计算的雷诺数。算出摩擦阻力系数后，可确定平板层流边界层情况下的摩擦阻力为： 21 2ffRCU=bL（11-22） 虽然边界层基本微分方程比 N-S 方程要简单得多， 但求解问题仍有很大困难尚且如此之大，因此,发展求解边界层问题的近似方法便具有很大的理论与实际意义。 Karman 动量积分方程方程，就是一种近似求解边界层问题的方法。 8-3 边界层动量积分方程 8-3 边界层动量积分方程 应用动量定理来研究边界层内单位时间内沿方向的动量变化和外力之间的关系。 设设 流流 动 定动 定控制体边界ABCD 控制体边界ABCD 单位时间内经过面流入的质量和带入的动量分别为： 200ABxABxmu dyKu dy=单位时间内流出面的质量和动量分别为： 02200()x CDxCDxxvmvdx dy
