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1、南通市天星湖中学- 1 -高一数学期末复习（4）-函数周期性及性质综合一、知识梳理：1、函数的周期性定义；性质；方法2、常见结论： 3、常见函数：分段函数；绝对值函数；抽象函数4、函数的对称性5、函数性质综合二、自我检测1.若函数y=f(x)是周期为 2 的奇函数，且当x(0,1)时f(x)=x+1，则f()= 2.是偶函数，且为奇函数，则 f(1992)= ( )f x(0)993,( )(1)fg xf x又3.f（x）是定义在 R 上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（）= 2T4.定义在 R 上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是，且当x0，时，f（x）=si
2、nx，则f（）= 2 355.设f(x)定义在 R 上的偶函数，且，又当x(0，3时，f(x)(1)3(xfxf=2x，则 f(2007)= 三、典型例题：例题1、已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上 的解析式。南通市天星湖中学- 2 -例题2、设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意)(xfR1x，都有.求：(I)设，求21, 0,21xx)()()(2121xfxfxxf2) 1 (f； (II)证明是周期函数.)41(),21(ff)(xf例题 3、设函数在上满足，( )f x(,) (2)(2)fxfx，且在闭区间0，
3、7上，只有(7)(7)fxfx(1)(3)0ff（）试判断函数的奇偶性；( )yf x（）试求方程=0 在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结( )f x论南通市天星湖中学- 3 -例题 4、已知函数f（x）=m（x+）的图象与函数h（x）=（x+）+2 的图象关x1 41 x1于点A（0，1）对称. （1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在区间（0，2上为减函数，求实数a的取值范围.xa 4四、课堂练习1.定义在 R 上的奇函数满足，则= ( )f x(2)( )f xf x (6)f2. 已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是 3.函数对
4、于任意实数满足条件,若f(1)=5,则f(f(5)( )f xx1(2)( )f xf x=_. 4设f(x)是R的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0x1,时,f(x)=x,则 f(7.5)= 5.已知函数满足：，则( )f x()( )( )f abf af b(1)2f2(1)(2) (1)ff f。222(2)(4)(3)(6)(4)(8) (3)(5)(7)ffffff fff五、课后作业1.设函数f（x）=则使得f（x）1 的x的取值范围为 , 114, 1) 1(2xxxx2已知函数f（x）=则f（lg30lg3）=_； ),2(2),2(2 xxx南通市天星湖中学- 4 -
5、不等式xf（x1）10 的解集是_ 3.已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)f(4-x)，对一切实数x成立，写出f(x)的 一个最小正周期 4.对任意xR，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)= 5、f(x)的定义域是 R，且 f(x+2)1-f(x)=1+f(x),若 f(0)=2008,求 f(2008)= 6、设函数,方程 f(x)x+a 有且只有两相不等实数根，则实12,0( )(1),0xxf xf xx数 a 的取值范围为 7、已知，设函数的最大值为，最0a120092007( )sin (, )20091xxf xx xa a M
6、小值为，那么 N NM8.已知函数 f(x)=|x22x3|的图象与直线 y=a 有且仅有 3 个交点，则 a= 。 9若 x、yR，且 x2+y2=1，则（1xy）(1+xy)的最小值是_，最大值是_ .10.已知函数对一切，都有，求证:( )f x, x yR()( )( )f xyf xf y（1）是奇函数；（2）若f(x)的图象关于直线x=1 对称,则 f(x)恒等于 0.( )f x11.已知 9x103x+90，求函数y=（）x14（）x+2 的最大值和最小值.41 21南通市天星湖中学- 5 -六、小结与反思高一数学期末复习（4）-函数周期性及性质综合一、知识梳理：1.函数的周期
7、性定义与性质：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使恒成立，则 f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。)()(xfTxf周期函数定义域必是无界的；若T是周期，则kT（k0,kZ）也是周期；周 期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C； 方法：判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒1.x有;()( )f xTf x二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.T解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的2.运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。2、常见结论：几种特殊的抽象函数：具
8、有周期性的抽象函数：2.函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, yf xxa，则是以为周期的周期函数； f xf xa yf xTa，则是以为周期的周期函数； f xaf x xf2Ta，则是以为周期的周期函数； 1f xaf x xf2Ta，则是以为周期的周期函数；f xaf xa xf2Ta，则是以为周期的周期函数.1( )()1( )f xf xaf x xf2Ta，则是以为周期的周期函数.1( )()1( )f xf xaf x xf4Ta，则是以为周期的周期函数.1( )()1( )f xf xaf x xf4Ta函数满足（），若为奇函数，则其周期为( )yf x()()f ax
9、f ax0a ( )f x，若为偶函数，则其周期为.4Ta( )f x2Ta函数的图象关于直线和都对称，则函数( )yf xxRxaxbab是以为周期的周期函数；( )f x2 ba南通市天星湖中学- 6 -函数的图象关于两点、都对称，则函( )yf xxR0,A a y0,B b yab数是以为周期的周期函数；( )f x2 ba函数的图象关于和直线都对称，则函数( )yf xxR0,A a yxbab是以为周期的周期函数；( )f x4 ba 3、常见函数：分段函数；绝对值函数；抽象函数没有给出函数解析式，只是给 出函数所满足的一些性质 4、函数的对称性 5、函数性质综合二、自我检测1.若
10、函数y=f(x)是周期为 2 的奇函数，且当x(0,1)时f(x)=x+1， 则f()的值为 -5 2.是偶函数，且为奇函数，( )f x(0)993,( )(1)fg xf x又则 f(1992)= 993； 因（-1，0）是中心，x=0 是对称轴，则周期是 43.f（x）是定义在 R 上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（）= 2T0由f（）=f（+T）=f（）=f（） ，知f（）=0.2T 2T 2T 2T 2T4.定义在 R 上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是，且当x0，时，f（x）=sinx，则f（）的值为 2 35f（）=f（2）=f（）=f（）=si
11、n=.35 35 3 3 3 235.设f(x)定义在R上的偶函数，且，又当x(0，3时，f(x)(1)3(xfxf=2x，则f(2007)= 。，周期T=6， F(2007)=f(3)=6)()3(1)6(xfxfxf三、典型例题：例题1、已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在 (1,2)上的解析式。 解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性， 将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。 ） x(1,2), 则-x(-2,-1), 南通市天星湖中学- 7 - 2-x(0,1), T=2,是偶函数 f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=
12、3-x.x(1,2). 解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2) 如图：x(0,1), f(x)=x+1.是偶函数 x(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1.又周期为2， x(1,2)时x-2（-1，0） f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;2.用好数形结合,对解题很有帮助.例题2、设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意)(xfR1x，都有. 21, 0,21xx)()()(2121xfxfxxf(I)设，求； (II)证明是周期函数.2) 1 (f)41(
13、),21(ff)(xf解(1):当 x0,1/2时,2( )()( )022xxf xffx; 同理21111(1)()( )2,( )22222ffff41( )24f(2)是偶函数则(-x)=f(x),关于 x=1 对称则有 f(x)=f(2-x) f(x)=f(2-x)=f(x-2), f(x)周期为 2.例题 3、设函数在上满足，( )f x(,) (2)(2)fxfx，且在闭区间0，7上，只有(7)(7)fxfx(1)(3)0ff（）试判断函数的奇偶性；( )yf x（）试求方程=0 在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结( )f x论解:由 f(2-x)=f(2+x
14、),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,)(xfy 72xx和从而知函数不是奇函数,)(xfy 由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf 南通市天星湖中学- 8 -,从而知函数的周期为)10()(xfxf)(xfy 10T又,故函数是非奇非偶函数;0)7(, 0)0()3(fff而)(xfy (II)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf )10()(xfxf(II) 又0)9()7()13()11(, 0)0()3(ffffff故 f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有 402)(xfy 个解,在-2005.0上有 400 个解,所以函数在-2005,2005上有 802 个解.)(xfy 例题 4、已知函数f（x）=m（x+）的图象与函数h（x）=（x+）+2 的图象关x1 4
