正态分布分析

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1、正态分布正态分布以平均值为中心呈对称分布的钟形曲线。正态分布是最常见的统计分布，因为许多物理、生 物和社会方面的测量值都自然近似于正态。许多统计分析均要求数据来自正态分布总体。 例如，居住在宾夕法尼亚州的所有成年男性的身高近似于正态分布。因此，大多数男性的身 高都将接近于 69 英寸的平均身高。高于和矮于 69 英寸的男性的数量相近。只有一小部分 身材特别高或特别矮。 平均值 () 和标准差 () 是定义正态分布的两种参数。平均值是钟形曲线的波峰或中心。 标准差决定数据的散布情况。大约有 68% 的观测值与平均值相差不到 +/- 1 个标准差；95% 与平均值相差不到 +/- 2 个标准差；而

2、 99% 的观测值与平均值相差不到 +/- 3 个标准差。就宾夕法尼亚州男性的身高而言，平均身高为 69 英寸，标准差为 2.5 英寸。大约 68% 的宾夕法尼亚男性身高介于 66.5 ( 1) 和 71.5 ( 1) 英寸之间。大约 95% 的宾夕法尼亚男性身高介于 64 ( 2) 和 74 ( 2) 英寸之间。大约 99% 的宾夕法尼亚男性身高介于 61.5 ( 3) 和 76.5 ( 3) 英寸之间。 过程能力过程能力生产或提供满足根据客户需要定义的规格的产品或服务的能力。例如，影印机制造商要求橡 胶辊筒的宽度必须介于 32.523 cm 与 32.527 cm 之间，才能避免卡纸。能力

3、分析揭示了制 造过程满足这些规格的程度，并提供有关如何改进该过程和维持改进的见解。在评估过程能力之前，必须确保过程是稳定的。不稳定的过程是无法预测的。如果过程稳定， 则可以预测将来的性能并改进其能力。应定期测量并分析过程的能力。能力分析有助于回答以下问题： 过程是否满足客户规格？ 过程将来的性能如何？ 过程是否需要改进？ 过程是保持了这些改进还是回复到了原来的未改进状态？可使用过程指标（如 Cp、Pp、Cpk 和 Ppk）来分析过程能力。潜在（组内）能力和整体能力潜在（组内）能力和整体能力大多数能力评估都可以分组为两种类别中的一种：潜在（组内）能力和整体能力。每种能力 都表示对过程能力的唯一度

4、量。潜在能力通常称为过程的“权利”：它忽略子组之间的差异 并表示当消除了子组之间的偏移和漂移时执行过程的方法。另一方面，整体能力是客户所体 验到的；它考虑了子组之间的差异。评估潜在能力的能力指标包括 Cp、CPU、CPL 和 Cpk。 评估整体能力的能力指标包括 Pp、PPU、PPL、Ppk 和 Cpm。例如，您检查某一糖果厂的设备，其中包括将特定重量的糖果装入容器的机器。糖果每周从 工厂出货一次。为评估此过程的能力，在一周内的每天，对袋子样本进行称重；每个样本在 分析中表示一个子组。观察发现，每个子组内的变异性很小，但由于子组平均值每天都有偏 移，因此袋子重量的总体变异性很大。因此，整个一周

5、的出货在袋子重量上与给定日期内生 产的袋子重量之间存在较大的变异性。在下图中，较小的分布表示连续七天内每天的袋子重 量的分布。最上面的分布表示整周的出货，它是子组的合计。整体能力考虑最上面的曲线：客户的感受。也称为实际能 力或长期能力。潜在能力考虑子组内变异：如果排除子组间变异，过程的 执行情况如何。也称为短期能力。只针对正态数据计算潜在能力。实测性能实测性能过程输出中超出规格限的单元数。该统计量基于所有子组的组合数据，因此它代表着客户的 体验。实测性能可以使用每百万中的不符合数 (PPM) 或每百个中的不符合数（百分数）来 表示。例如，一家奶牛场灌装 1 加仑的盒装牛奶，您要分析灌装机的灌装

6、能力。管理者要求 PPM 不合格数最多为 1900。您生成了以下实测性能表：实测性能PPM USL10000 PPM 合计20000此过程超出规格上限和下限的输出数量相同，且每百万中不符合要求的盒装牛奶数量高于目 标值 10 倍。该过程需要进行重大改进。注注 Minitab 完全相同地为正态能力分析、组间/组内能力分析以及非正态能力分析计算实测性能。 如果您没有指定规格限，Minitab 将为超出规格限的 PPM 报告一个缺失值 (*)。预期性能预期性能过程输出中预期会违反规格限制的单位数。此预期基于为执行数据建模所选分布的累积分布 函数 (CDF)。预期性能可以用每百万 (PPM) 或每一百

7、（百分比）个部件中的不一致部件来 表示。例如，您公司制造的钻头长度为 50mm。客户要求预期性能为 2000 PPM 缺陷（最大值）。 您使用正态能力分析分析了此过程的能力，计算出以下预期性能统计量：预期的组内性能预期的整体性能PPM USL306.55 PPM USL509.58合计 PPM1473.68 合计 PPM2264.64预期的整体性能是客户将体验到的特征，因为这导致了整个过程输出的变异。其合计 PPM 超出了客户规格 2000 PPM，因此过程不合格。但是，预期组内性能（基于子组内标准差） 不违反客户的规格。您决定采取措施降低子组之间的变异，从而使不可接受的整体性能更接 近于可接

8、受的子组内性能，也称为权利。注注 对于正态能力分析，Minitab 将使用过程的整体标准差来计算预期整体性能，并使用潜在（组内）标准差来计算预期子组内性能。 对于组间/组内能力分析，Minitab 将使用过程的整体标准差来计算预期整体性能，并使用组间/组内标准差来计算预期组间/组内性能。 对于非正态能力分析，Minitab 仅使用指定分布的估计参数或历史参数来计算预期整体性能。 如果未指定规格限制，Minitab 将报告超过规格限制的 PPM 的缺失值 (*)。PpkPpk、PPUPPU 与与 PPLPPL整体过程能力的度量，用整体过程标准差计算。它们度量的是过程平均值与规格限之间的距 离，与

9、过程展开相比较： PPL 衡量过程平均值接近规格下限的程度 PPU 衡量过程平均值接近规格上限的程度 Ppk 等于 PPU 和 PPL 中的较小者。如果 Ppk、PPU 和 PPL 相等，则该过程刚好集中在规格限的中点。将值与基准进行比较， 以确定是否改进过程；许多行业都使用 1.33 的基准值。以下图形说明了各种各样的情况：Ppk = PPL = PPU = 2.65 此图显示了一种理想情况。所有三个指标的值均 为 2.65，这表示过程平均值与两个规格限制之间 的距离都是 2.65 乘以单侧过程展开。Ppk = min PPL = 0.92, PPU = 4.37 = 0.92当 PPL P

10、PU 时，过程不居中。更可能产生违反 规格上限的缺陷单元。Ppk 指标的一个缺点在于它只表示过程曲线的一侧，而无法提供有关另一个极值的任何信息。 例如，下面的两个图形显示了 Ppk 值相同的过程。但是，一个图形同时违反了两个规格限， 另一个图形只违反了规格下限。为避免错误，请将所有指标与图形化汇总结合起来考虑，以 得出有意义的结论。Ppk = PPL = PPU = 0.92 Ppk = min PPL = 0.92, PPU = 4.37 = 0.92注：注： 这些能力指标与 Cpk、CPL 和 CPU 类似，它们都使用来自子组的信息评估相同的属 性。CpCp 和和 PpPp能力指数，通过计

11、算规格展开和过程展开之间的比率来度量过程是否能够满足规格要求。总 体上讲，Cp 和 Pp 值越高，过程的能力越大。要计算 Cp 和 Pp，必须知道规格上限和下限。Cp 指数认可这样的事实，即您的样本代表的是合理的子组，它表明如果能够消除子组间的 偏移和漂移，过程的执行效果会如何。因此，它使用子组内变异来计算过程展开。另一方面，Pp 会忽略子组并考虑整个过程的整体变异。此整体变异囊括了子组间可能发生 的偏移和漂移；因此，可用于度量能力随时间的变化。如果如果 PpPp 值与值与 CpCp 值相差很大，则可值相差很大，则可 以得出结论：子组间存在显著变异。以得出结论：子组间存在显著变异。将 Cp 和

12、 Pp 值与基准值相比较以确定是否要改进过程；许多行业都使用基准值 1.33。如 果您的指数值小于基准值，则必须采取措施改进过程。 例如，一家黄油制造商使用一台自动填充机来生产 500 克装的黄油。经理想要确保填充过 程符合规格，即每罐中装入 498 克至 502 克的黄油。为评估此过程的能力，经理在 20 天 内每天随机收集并称重 5 罐黄油：每天的收集是此分析的一个子组。进一步的检查发现机 器中存在泄漏，因此经理修复了此问题，并在这一改进生效后又收集了另外 20 个子组（每 组 5 罐）。下面的图形揭示了此填充过程改进前和改进后的 Cp 和 Pp 值。Cp = 0.70，Pp = 0.48

13、在过程改进之前，过程展开大于规格展开。也就是说，有 过多罐装的重量大于 502 克或小于 498 克。此过程的 Cp 和 Pp 值较低，需要改进。Cp = 3.14，Pp = 2.18过程改进之后，经理收集了新数据并观测到规格展开大于 过程展开。较高的 Cp 和 Pp 值表明过程现在已满足规格 要求。Cp 和 Pp 指数的缺点是它们只能比较过程展开与规格展开，而不能比较它们的位置。也就 是说，它们不能描述过程距目标区域有多远。例如，下面两个过程具有相同的 Cp 和 Pp 值， 但显然其中一个过程能力不足。为避免错误，请结合其他能力指数（如 Cpk、Ppk 等）使用 这些图形，以便根据数据得出有

14、意义的结论。Cp = 3.14，Pp = 2.18Cp = 3.14，Pp = 2.18百万分数百万分数 (PPM)(PPM)每百万个部件中的不合格部件数。例如，快餐店经理注意到，每 1000 位顾客中有 20 位顾 客等待服务的时间超过 3 分钟。 20 * 1000000PPM = 1000= 20000这意味着，每百万顾客中有 20,000 位顾客等待服务的时间超过 3 分钟。用 PPM 而非能力指数来表示时，更容易理解能力的改进量。设一个过程得到了改进，它的 Cpk 从 1 增加到 1.33。此变化可能并不能清楚表示改进程 度。但是，也可以将此改进表示为 PPM 的显著减少，从 66807 PPM 下降到 6210 PPM。百分比百分比合格部件合格部件PPMPPMCpkCpk93668071.00 996210 1.33 99.9772331.67 99.99973.42.00Minitab 以 PPM 形式表示过程的预期和实测性能。预期性能是指一百万个部件中不符合规 格上限、规格下限以及同时不符合两个规格限的预期部件数。实测性能是指该过程的一百万 个部件中不符合规格上限、规格下限以及同时不符合两个规格限的实际部件数。