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1、第7讲,空间中角与距离的计算,1异面直线所成的角,锐角或直角,过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b.那么直线 a与 b所成的_，叫做异面直线a与b 所,成的角，其范围是_,(0，90,2直线与平面所成的角(1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的,角等于_.,0,(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于_.(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线,与平面所成的角，其范围是_,(0，90),90,斜线与平面所成的_是这条斜线和平面内经过斜足的,直线所成的一切角中最_的角,线面角,小,3二面角从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫
2、做二面角从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角,的二面角叫做_,直二面角,4点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离求点到平面的距离通常运用_，即构造一个三棱锥，将,点到平面的距离转化为三棱锥的_,等积法,高,5直线与平面平行，那么直线任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离,A充分不必要条件C充要条件,B必要不充分条件D既不充分也不必要条件,B,C,3在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AC，BD 的中点，,若 CD2AB4，EFAB，则 EF 与 CD 所成的角为(,),A90,B60,C45
3、,D30,D,4已知两平面的法向量分别为 m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两,平面所成的二面角为_.,45或 135,5如图 1371，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC,2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_.,图 1371,考点1,线面所成角的计算,例1：如图 1372，已知 AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACD 为等边三角形，ADDE2AB，F 为 CD 的中点(1)求证：AF平面 BCE；(2)求证：平面 BCE平面 CDE；(3)求直线 BF 和平面 BCE 所成,角的正弦值,图 1372,图D32,求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法
4、：,传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影,空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角,【互动探究】1(2010 年全国)正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1,所成角的余弦值为(,),答案：D,考点2,面面所成角的计算,例 2：(2011 年全国)如图 1373，四棱锥 PABCD中
5、，底面ABCD为平行四边形,DAB60,AB2AD,PD底面ABCD.图 1373(1)证明：PA BD；(2)若 PDAD，求二面角 APBC 的余弦值,图D33,求二面角，大致有两种基本方法：(1)传统立体几何的综合推理法：定义法；垂面法；三垂线定理法；射影面积法(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小,【互动探究】2(2011年江苏)如图1374，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，AB1，点 N是 BC的中点，点 M 在 CC1上，设二,图 1374,面角 A1DNM 的大小为.(1)当90时，求 A
6、M 的长；,考点3 立体几何中的综合问题例3：如图 1375，S 是ABC 所在平面外一点，ABBC2a，ABC120，且 SA平面 ABC，SA3a，求点 A 到平面SBC 的距离,图 1375,图 1376,解析：方法一：如图1376，作ADBC 交BC延长线于D，连接SD.SA平面 ABC，SABC，又 SAADA，BC平面 SAD.又 BC平面 SBC，平面SBC平面SAD，且平面SBC平面SADSD.过点A 作AHSD于H，由平面与平面垂直的性质定理可知，AH平面SBC.于是AH 即为点A 到平面 SBC 的距离,方法三：如图1377，以 A 为,坐标原点，以AC，AS 所在直线为y
7、 轴，z 轴，以过A点且垂直于yOz平面直线为x 轴建立空间直角坐标系,图1377,求点到平面的距离通常有以下方法：,(1)直接法，即直接确定点到平面的垂线，再求出点到垂足的,距离；,(2)间接法，包括等体积法和转化法；,(3)向量法，即求出已知点与平面上一点连接线段在平面法向,量方向上的射影长，此射影长即为所求点面距,【互动探究】,3在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，过A1，C1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图 1378 所示的几何体 ABCDA1C1D1，且这个几何体的体积为 10.,图 1378,(1)求棱A1A的长；,(2)求点 D 到平面 A1BC1的距
8、离,考点4 求二面角,例4：如图 1379，四边形ABCD 是圆柱 OQ 的轴截面，点 P 在圆柱 OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ的底面圆的半径 OA2，侧面积为 8 ， AOP120.,(1)求证：AGBD；,(2)求二面角 PAGB 的平面角的余弦值,图 1379,图13710,本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及平面几何的圆等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力,1利用向量解立体几何问题，要仔细分析问题特点，把已知条件用向量表示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，将几何的位置关系
9、的证明问题或数量关系的运算问题转化为典型的向量运算，以算代证，以值定形这种方法可减少复杂的空间结构分析，使得思路简捷、方法清晰、运算直接，能迅速准确地解决问题,立体几何中，处理空间的角和距离的问题主要掌握两种方法：传统方法和向量方法传统方法需要较高的空间想象能力，需要深刻理解角和距离的定义，灵活运用空间的平行和垂直的定理和性质；向量方法必须熟练掌握向量的基本知识和技能，尤其提出如下几点：怎样建立直角坐标系及坐标系建立技巧；法向量的应用对处理角和距离的重要性；怎样用向量解决立体几何中的几大常见题型；准确判断是否选用向量处理问题，明确向量解题的缺点总而言之，两种方法各有千秋，同学们在解题过程中需灵活选用,
