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1、第五章第五章 晶体中电子能带理论思考题思考题3. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的?解答解答波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321bbb、, 而波矢空间的基矢分别为32NN/ / /321bbb、1N, N1、N2、N3分别是沿正格子基矢321aaa、方向晶体的 原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为* 321) (bbb, 波矢空间中一个波矢点对应的体积为NNb Nb Nb*332211)( , 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的 1/N. 由于 N 是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢
2、点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是 极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处 理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的. 7. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点?解答解答 电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢nK正交, 则禁带的宽度)(2nKVEg, )(nKV是周期势场的付里叶级数的系数. 不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为 零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交.8. 当电子的波矢落在布里渊区边界上
3、时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别?解答解答 晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为 F, 晶格对电子的 作用力为 Fl, 电子的加速度为)(1 lmFFa . 但 Fl的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含 Fl, 又要保持上式左右恒等, 则只有Fa*1 m . 显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量 m*与真实质量 m 的差别就越小. 相反, 晶格对电 子的作用越强, 有效质量 m*与真实质量 m 的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界 上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各 格点的散射波相位相同,
4、 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的 作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别.10. 电子的有效质量*m变为的物理意义是什么?解答解答仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化mEmEmE晶格对电子作的功外场力对电子作的功外场力对电子作的功)d()(d)(d*电子对晶格作的功外场力对电子作的功)d()(d1EEm .从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量*m变 为. 此时电子的加速度01*Fam, 即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 14. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交
5、的物理意义是什么？解答解答将电子的波矢 k 分成平行于布里渊区边界的分量/k和垂直于布里渊区边界的分量 k. 则由电子的平均速度)(1kEkh 得到/1 kE h ,kE h1 .等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交, 则在布里渊区边界上恒有kE /=0, 即垂直于界面的速度分量为零. 垂直于界面的速度分量为零, 是晶格对电子产生布拉格反射的结 果. 在垂直于界面的方向上, 电子的入射分波与晶格的反射分波干涉形成了驻波.第五章 晶体中电子能带理论习题晶体常数为的一维晶体中，电子的波函数为a（1）, xaixk3cos（2）是某一函数， flaxfxk, )(-l求电子在以上状态中的波矢解 答
6、由固体物理教程 （5.14）式 reRrkRr i nknvrvvv可知，在一维周期势场中运动的电子的波函数满足 xeaxkika k由此得(1) xexxaixaiaxaiaxkika kk 3cos3cos3cos于是1ikae因此得L,5,3,aaak若只取布里渊区内的值： ，则有akaak(2) .) 1()(alxflaaxfaxllk令1ll 得. xexalxfaxkika kk由上式知=1ikae所以有L,6,4,2, 0aaak因此得在布里渊区内的值为0k 3.用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度 解 答 根据教科书（5.35）式知禁带宽度的表示式为， n
7、gVE2其中是周期势场傅里叶级数的系数，该系数可由固体物理教程nV xV（5.22）式= nVa1 dxexVnxaiaa222求得，第一禁带宽度为=2112VEg dxexVaaxai222a1=2bbxaidxexbmW b2 222 241=2bbdxxbxbmW b2cos241222=.3228 bmW第二禁带宽度为=2222VEg dxexVaaxai224a1=2bbxbidxexbmW b 241222=2bbdxxbxbmW bcos241222=222bmW4.已知一维晶格中电子的能带可写成， kakamakE2cos81cos8722h式中是晶格常数是电子的质量，求m （
8、1）能带宽度， （2）电子的平均速度， （3）在带顶和带底的电子的有效质量 解 答 （1）能带宽度为.minmaxEEE由极值条件 0dkkdE得 上式的唯一解是的解，此式在第一布里渊区内的解为0sinka.ak, 0当取极小值，且有 kEk,0时minE=minE 00 E当，E(k)取极大值,且有 kEak,时maxE.222maxmaaEEh由以上可得能带宽度为.222minmaxmaEEEh（2）由固体物理教程 （5.81）式，得电子的平均速度为 .2sin41sin1kakamadkkdEvh h（3）由固体物理教程 （5.87）式得，带顶和带底电子的有效质量分别为.322cos21
9、cos1222 mkakamkEmakakak h.22cos21cos0102220mkakamkEmkkkh对简立方结构晶体，其晶格常数为a （1）用紧束缚方法求出对应非简并态电子的能带； （2）分别画出第一布里渊区110方向的能带电子的平均速度、有效质 量以及沿110方向有恒定电场时的加速度曲线 解 答 （1）非简并态电子的能带 .enRknssat ssJCEkEvvv式中是晶体参考格点最近邻格矢对于简单立方晶体，任一格点有 6 个最近nRv邻取参考格点的坐标为（0,0,0）,则 6 个最近邻点的坐标为., 0 , 0,0 , 0,0 , 0 ,aaa简单立方体非简并s态电子的能带则为
10、 .coscoscos2akakakJCEkEzyxssat ssv（2）在110方向上,22, 0kkkkyxz能带变为 ,22cos40 kaJEkEssv其中,20ssat sJCEE在110方向上,在第一布里渊区内,电子的能带如图 5.2 所示.图 5.2110方向电子的能带 电子的平均速度.22sin221 kaaJ kEvs hh平均速度曲线如图 5.3 所示.图 5.3 平均速度曲线 电子的有效质量,22cos222222 kaaJkEmshh有效质量曲线如图 5.4 所示.图 5.4 有效质量曲线 在110方向有恒定电场情况下,电子的受力eF 电子的加速度.22 22cos2h
11、 kaaJemFas设电场方向与110方向相反,加速度曲线则如图 5.5 所示.图 5.5 加速度曲线 6.用紧束缚方法处理面心立方体晶格的s态电子,试导出其能带, 2cos2cos2cos2cos2cos2cos4akakakakakakJCEExzzyyx ssat ss并求出能带底的有效质量.解 答用紧束缚方法处理晶格的s态电子,当只计及最近邻格点的相互作用时,根 据固体物理教程 （5.60）式,其能带表示式为,是最近邻格矢. nssat ssJCEkEnRkevvvnRv对面心立方晶格,取参考点的坐标为(0,0,0),则 12 个最近邻格点的坐标为(,0),( ,0, ),(0, ,)
12、.2a2a2a2a2a2a将上述 12 组坐标带入能带的表示式,得 nssat ssJCEkEnRkevvvssat sJCE zyzyzyzkykaizkxkaizkxkaizkxkaizxyxyxyxyxkkaikkaikkaikkaikkaikkaikkaikkaieeeeeeeeeeee222222222222 zyzyzxzxyxyxssat s kkakkakkakkakkakkaJCE2cos2cos2cos2cos2cos2cos. 2cos2cos2cos2cos2cos2cos4akakakakakakJCExzzyyx ssat s能带底即的最小值对应的为(0,0,0),
13、有固体物理教程(5.87)可得在 kEvkv能带底处电子的有效质量为.2202222aJ kEmskxxxxihh同理可得,222aJmsyyh 222aJmszzh其它交叉项的倒数全为零.7.用紧束缚方法处理体心立方晶体,求出 （1） s态电子的能带为; 2cos2cos2cos8akakakJCEkEzyx ssat ssv（2） 画出第一布里渊区111方向的能带曲线; （3） 求出带顶和带底电子的有效质量. 【解 答】 （1）用紧束缚方法处理晶格的s态电子,当只计及最近邻格点的相互作用 时,其能带的表示式为是最近邻格矢. .enRknssat ssJCEkEvvvnRv对体心立方晶格,取参考格点的坐标为（0,0,0）,则 8 个最近邻格点的坐 标为（）.2,2,2aaa将上述 8 组坐标代入能带的表示式,的 .enRknssat ssJCEkEvvv zkykxkaizkykxkaizkykxkaizkykxkaizkykxkaizkykxkaizkykxkaizyxeeeeeeeeJCEkkkaissat s22222222 2cos2cos2cos2c
