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1、 1 第七章 正弦稳态分析 简介 1正弦波的应用在电力通讯与控制三大系统中正弦波应 用极为广泛如电力系统中的ui无线电中的高频载波均为正 弦波 2周期性的非正弦交流信号可分解为一系列的正弦函数级数(傅 立叶级数) 3线性电路中在同一频率的正弦信号激励下各电压电流 响应也将是该频率的正弦量 4如果 LC 在 AC 电路中则 LC 的 VAR 均具有微(积)分形 式那么 AC 稳态分析时是否也要建立微分方程呢回答是否定的 5由于正弦量经加减微分积分运算后仍为同频率正弦量 故利用相量来表征正弦量三个要素中的两个振幅相位从 而使电路方程变为相量(复数)代数方程 并且可以借用的 DC 分析方 法 7 1
2、 正弦电压和电流 一时变的电压和电流 周期性正弦交流量简称正弦信号 随时间变动的电压和电流称为时变的电压和电流 二正弦量的三个要素 设正弦电压 ) cos()(umtUtu+= 正弦电流 ) cos()(imtIti+= 说明正弦量可用余弦函数表示也可用正弦函数表示本书用 cos形式表示 则 ImUm (幅值)或振幅 角频率 统称为正弦量的三个要素 iu 初相位 瞬时电压ui 周期性方波 周期性斜波 周期性交流电 2 1角频率频率 f周期 T T 正弦量变化一个周期所需的时间 f 每秒变化的周期数 故有 Tf1= 正弦量变化一周cos函数变化一周即2角 于是 2=T 2=T 2=f 或 Tf2
3、2=单位时间内增加的相位角 单位 T sec 秒 mssns f HzKHzMHzGHz sec1=Hz rad/s 弧度/ 秒 f 低频(音频) 20KHz 中频 几百 KHz 高频 几 MHz 例工频大多数国家为 50Hz美日等为 60Hz我国工频 Hzf50= 则SfT02. 01=由2=T得sradf/314 2= 2幅值(最大值)与有效值 1) 有效值的定义P.145 若一个周期电流i(不限于正弦)在一个周期 T 内流过某电阻 R 所 产生的热量等于大小为 I 的直流电流在这段时间 T 内流过上述 R 所 产生的热量则 I就定义为i的有效值 即 i RdtI RdtTT2020= I
4、Ti dtT=120故有效值也称为方均根(rms)值 写法规定 瞬时值用小写字母uiu2表示 TtmIi3 有效值用大写字母 UIU2表示 最大值(幅值)UmImUm2表示 交流表其 AV 指示的往往为有效值如220V380V 耐压值往往指最大值 2) 正弦量最大值与有效值的关系 如)cos()(imtIti+= 则 +=+=TimTimdttTId ttITI02022)22c o s (121)(c o s1=mmmIITTI707. 020212 = 同理 UUm2= 因此正弦函数常写为 )cos(2)(itIti+= )cos(2)(utUtu+=等 3初相位与相位差 1) it+ 相
5、位角反映正弦波变化的进程也叫相角 如 00=+it 则 iIm= 060=+it 则 mIi5 . 0= 090=+it 则 0=i )(itdtd+= 相角变化速度(角频率) 2) 初相位 0| )(=+=tiit 相角初相位的 SI单位弧度(rad) 常用单位度(DEGREE)计算中注意必要的转换 =360 2 弧度 初相位i取决于初始时刻的选取计时起点不同则初相不同 从波形上看i最大值与原点间的最近距离图 72中若最大 值在原点右边时0i为了使表 达式唯一通常在 |i的主值范围内取值 3) 相位差 两同频率正弦量的相角之差如 )cos()()cos()(imum tItitUtu +=+
6、=则ui之间的相位差 iuiuuitt=+=)()( 注意不同频率时不可求可见同频率初相之差 4 一些常见的相位关系 0 (iu) u(相位)超前于i,i滞后于u 0 复矢量与实轴的夹角称为 A幅角的主值 则 sincosjjbaA+=+= 即 )sin(cosjA+= 与代数形式的关系相比 cos=a 或 22ba += sin=b abarctg= 所在象限由 a b 的正 负号决定 而非ab的正负号决定 例34j +9 .36)34arg(j 9 .36)34arg(j +1 .143)34arg(j 1 .143) 34arg(j 3指数形式 利用欧拉公式 sincosjej+= 可将
7、复数)sin(cosjA+=化为jeA = 4极坐标形式 均为实数复矢量在实虚轴上的投影 6 即指数形式简化记为=A 利用计算器可将复数的代数形式与极坐标形式进行互换(参 考相关说明书) 二复数运算 1加减法宜用代数形式 例 11jbaA+= 22jbaB+= )()(2121bbjaaBA+= 2乘除法宜用极坐标形式 例 1111=+=jbaA 2222=+=jbaB 2121+=AB A B= 1212 (若用代数形式相当麻烦) 例求) 5 . 13 . 0)(5 . 72 . 3(jj+ =解原式56. 22 .128 .115 .127 .7853. 19 .6615. 8j= 例求)
8、 5 .1025/()3 .94125(jj+ 589. 26078. 530078. 51571 .271436 .156j=解原式三旋转因子和旋转矢量 1 tetj1= 即tje的模为 1 幅角t 随 t增长而此复数矢量在复平面上以 角速度逆时针旋转故称之为旋转因子 2tjAe称为旋转矢量设 tA = 则tjAe表示将 A逆时针旋转一角度t 模放大倍 3. 常用的旋转因子有 jjej=+=2sin2cos2212 =jej即j=901 1= je即 11801= 可见j- j- 1均可记为旋转因子 A + 1 + j 0 ej t + 1 + j 0 t A + 1 + j 0 t Aej
9、 t 7 四利用相量表示正弦交流量 设正弦电流 )cos()(imtIti+= 根据欧拉公式sincosjej+= 令it+= 我们可以把复指数函数 )sin()cos()( iimtj mtjtIeIi+=+=+ItjItmimicos()(sin) 很明显上式的实部恰好是正弦电流i t ( ), 即 )cos(Re)()( imtj mtIeItii+=+( * ) 这样我们就把正弦交流电与复指数函数联系起来为用复数表 示正弦交流电找到了途径一个正弦波是由振幅频率和初相位三 个要素所决定如前所述在频率相同的正弦电源激励下电路各 处的响应电流和电压的频率是相同的所以在正弦稳态响应的三 要素中
10、我们只需要确定它们的幅值和初相位两个要素把式(* )进一步写成ReReRe)()(tj mtjj mtj meIeeIeItiii&=+( * * ) 式中 1Re 为取实部的运算符 2mI&为能反映正弦量幅值与初相位的 复常数称为正弦量i t ( ) 的振幅相量也称为最大值相量 即 ij mmeII=&=Imi ( * * * ) Re)(tj meIti&= 复变量(旋转矢量)的实部 下面我们来看一下几何意义 复变量)( +tj meU可用复平面上的向量来表示如 P.144图 76 所 示向量的模为mU幅角为)(+t这个向量在复平面上以原点为 中心按角速率逆时针方向旋转所以也称旋转向量此旋
11、转向量 任何时刻在实轴上的投影正好等于该时刻电流)(tu的瞬时值 讨论为什么引用相量来表示正弦量呢 因为在单一频率正弦电源激励的电路中 各部分都是与电源频率 相同的正弦量 因而在分析时 常常只需确定最大值(振幅)或有效值和初相位两个要素而复数mI&的模是正弦电流的幅值幅角是正弦 电流的初相角这正好是我们感兴趣的正弦交流电的两个要素为 了把这样一个能表示正弦交流电的复数与一般的复数相区别把它叫做相量 并在符号上加上一点以示与Im相区别mI&称为电流相量 8 可见 1振幅相量正弦量但有对应关系 2振幅相量反映了振幅与初相位两个要素 3旋转因子tje反映另一个要素 类似地Q=ImI21将ijIIeI
12、i=&定义为有效值相量简称相量 有 mII& 21= 或 2 IIm&= 相量I&可用图表示这种图称为相量图如图 75所示 例已知A )30cos(4 .141)(+=ttiV )60cos(1 .311)(=ttu 求I&U&并作相量图 解A 3024 .141=I&V 602206021 .311=U&例已知Hzf1000=AI=305 . 0&求?)(=ti 解sradf/62802= Atti)306280cos(25 . 0)(= 五正弦相量的基本运算 用相量形式替代正弦量运算会有很多便利之处 1相同频率正弦量的加减运算 设 AtIi)cos(2111+= AtIi)cos(2222
13、+= 求 21iii+= 解2Re11tjeIi= 2Re22tjeIi= 从而 =+=21iii2Re1tjeI+2Re2tjeI=)(2Re21tjeII+ 可见两个同频率正弦量相加仍为同频率的正弦量 令2RetjeIi = 则有)(2Re2Re21tjtjeIIeI += 上式对任何时刻 t均成立故有 +=21III 0 + 1 + j I o30 o60 U9 同理 若213iii=则有 =213III 结论正弦量的加(减)对应为其相量间的加减从而复杂的三角 运算转化为复数的代数运算 例Ati)45cos(27 .701+=Ati)30cos(24 .422=求21iii+= AjjjIII4 .184 .918 .287 .86 ) 1 .217 .36()5050( 304 .42457 .70 21=+=+=+=+= 解Atti)4 .18cos(24 .91)(+= 亦可用相量图定性分析 推论 KCL 00=kkIi KVL 00=kkUu 形式一致但kkIik
