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1、开锁次数的数学期望和方差开锁次数的数学期望和方差例例 有 n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开用它们去试 开门上的锁设抽取钥匙是相互独立且等可能的每把钥匙试开后不能放回求试开次数的数学期望和方差分析：分析：求时，由题知前次没打开，恰第 k 次打开不过，一般我们应)(kP1k从简单的地方入手，如，发现规律后，推广到一般3 , 2 , 1解：解：的可能取值为 1，2，3，nL;1 21 121 21)111 ()11 ()3(;1 111 11)11 ()2(,1) 1(nnnn nn nnnPnnnn nnPnPnknknkn nn nn nn knknnnnkP1 11
2、21 23 121 11)211 ()211 ()111 ()11 ()( LL；所以的分布列为：12knPn1 n1n1n1；211131211n nnnnnELnnnnnknn nn nnD1)21(1)21(1)213(1)212(1)211 (22222LL nnnnnn22222)21()321)(1()321 (1LL121 4) 1( 2) 1() 12)(1(611222 nnnnnnnnn说明：说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般， 方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决 的关键次品个数的期望次品个
3、数的期望例例 某批数量较大的商品的次品率是 5，从中任意地连续取出 10 件，为所含次品的个数，求E分析：分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是 0.05，可能取值是：0，1，2，1010 次抽取看成 10 次独立重复试验，所以抽到次品数服从二项分布，由公式可得解npE解解：由题，所以05. 0 ,10 B5 . 005. 010E说明：说明：随机变量的概率分布，是求其数学期望的关键因此，入手时，决定取哪些值及其相应的概率，是重要的突破点此题，应觉kkkCkP10 10)05. 01 ()05. 0()(察到这是05. 0 ,10 B根据分布列求期望和方差根据分布列求期望和方差例例
4、 设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求值，并求q D E 、101P21q 212q 分析：分析：根据分布列的两个性质，先确定 q 的值，当分布列确定时，只须按定D E 、义代公式即可 解：解： 离散型随机变量的分布满足（1）, 3 , 2 , 1, 0L i P i （2）. 1321L P P P 所以有解得 . 1, 1210, 1212122q q q q .211q 故的分布列为101P2112 2232231) 12(021) 1(E . 21223 21223)21 (1 ) 12()21 (21)21 (1 222D 2232) 12(21)22( 32. 1222312
5、3622223 小结：解题时不能忽视条件时，否则取了iipkP )(10 ip , 2 , 1i1 q的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算产品中次品数分布列与期望值产品中次品数分布列与期望值例例 一批产品共 100 件，其中有 10 件是次品，为了检验其质量，从中以随机的方式 选取 5 件，求在抽取的这 5 件产品中次品数分布列与期望值，并说明 5 件中有 3 件以上 （包括 3 件）为次品的概率 （精确到 0001） 分析：分析：根据题意确定随机变量及其取值，对于次品在 3 件以上的概率是 3，4，5 三种 情况的和解：解：抽取的次品数是一个随机变量，设为，显然可以取从 0 到 5
6、 的 6 个整数抽样中，如果恰巧有个（）次品，则其概率为k 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0k 5 1005 9010)(CCCkPkk按照这个公式计算，并要求精确到 0001，则有. 0)5( , 0)4( ,07. 0)3( ,070. 0)2( ,340. 0) 1( ,583. 0)0( P P P P P P 故的分布列为012345P0.5830.3400.0700.00700.501. 00504007. 03070. 02340. 01583. 00E 由分布列可知，.007. 0)3( , 00007. 0)3( P P 这就是说，所抽取的 5 件品中 3 件以上为
7、次品的可能性很小，只有 7评定两保护区的管理水平评定两保护区的管理水平例例 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致 相等而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为： 甲保护区：0123P0.30.30.20.2 乙保护区：012P0.10.50.4 试评定这两个保护区的管理水平 分析：分析：一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件的次数的均值，即 数学期望；二是要看发生违规事件次数的波动情况，即方差值的大小 （当然，亦可计算其 标准差，同样说明道理 ）解：解：甲保护区的违规次数的数学期望和方差为：1; 3 . 12 . 032 .
8、 023 . 013 . 001E;21. 12 . 0)3 . 13(2 . 0)3 . 12(3 . 0)3 . 11 (3 . 0)3 . 10(2222 1D乙保护区的违规次数的数学期望和方差为：2; 3 . 14 . 025 . 011 . 002E；41. 04 . 0)3 . 12(5 . 0)3 . 11 (1 . 0)3 . 10(222 2D因为，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，2121,DDEE但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波 动（标准差这两个值在科学计算器上容易获得，64. 0, 1 . 12211DD显然，
9、）1说明：说明：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够 的，比如：两个随机变量的均值相等了（即数学期望值相等） ，这就还需要知道随机变量的 取值如何在均值周期变化，即计算其方差（或是标准差） 方差大说明随机变量取值分散性 大；方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差例例 某射手进行射击练习，每射击 5 发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下 一组的练习，否则一直打完 5 发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为 0.8，求在这
10、一组练习中耗用子弹数的分布列，并求出的期望与方差（保留两位小数） E D 分析：分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解解：解： 该组练习耗用的子弹数为随机变量，可以取值为 1，2，3，4，51，表示一发即中，故概率为; 8 . 0) 1(P 2，表示第一发未中，第二发命中，故;16. 08 . 02 . 08 . 0)8 . 01 ()2(P 3，表示第一、二发未中，第三发命中，故;032. 08 . 02 . 08 . 0)8 . 01 ()3(22P 4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故0064. 08 . 02 . 08 . 0)8 . 01 ()4
11、(33P 5，表示第五发命中，故.0016. 02 . 01)8 . 01 ()5(44P 因此，的分布列为12345P0.80.160.0320.00640.00160016. 050064. 04032. 0316. 028 . 01E ,25. 1008. 00256. 0096. 032. 08 . 0 0016. 0)25. 15(0064. 0)25. 14(032. 0)25. 13(16. 0)25. 12(8 . 0)25. 11 (22222D .31. 00225. 00484. 0098. 009. 005. 0 说明：说明：解决这类问题首先要确定随机变量的所有可能取值
12、，然后再根据概率的知识求 解对应的概率准备礼品的个数准备礼品的个数例例 某寻呼台共有客户 3000 人，若寻呼台准备了 100 份小礼品，邀请客户在指定时间 来领取假设任一客户去领奖的概率为 4问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？ 若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？分析：分析：可能来多少人，是一个随机变量而显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖人数，即能说明是否可行解解：设来领奖的人数，所以)3000, 2 , 1 , 0( ,Lkk，可见，所以，kkkCkP30000 3000)04. 01 ()04. 0()(04. 0 ,30000 B（人）（人） 12004. 03000E100答：不能，寻呼台至少应准备 120 份礼品说明：说明：“能”与“不能”是实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题数字期望 反映了随机变量取值的平均水平用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际 问题中有重要的价值因此，要想到用期望来解决这一问题
