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1、概率论习题解答1随机事件及其概率随机事件及其概率1 互不相容事件与对立事件的区别何在？指出下列各对事件的关系。(1)“|x - a| 20” 与 “x20”;(3)“x 20” 与 “x 20” 与 “x22”;(5)“20 个产品全是合格品” 与 “20 个产品中只有一个废品”;(6)“20 个产品全是合格品” 与 “20 个产品中至少有一个废品” 。解：设 A 与 B 为两个事件。若 AB，则称 A 与 B 为互不相容事件。若 AB 且 AB，则称 A 与 B 为对立事件。 （1） “|x - a| 20” 与 “x20” 为对立事件；（3） “x20” 与 “x20” 与 “x22” 为
2、相容事件；（5） “20 个产品全是合格品” 与 “20 个产品中只有一个废品” 为互不相容事件；（6） “20 个产品全是合格品” 与 “20 个产品中至少有一个废品” 为对立事件。2同时投两颗骰子，x、y 分别表示第一颗与第二颗骰子出现的点数。设事件 A 表示“两颗骰子出现的点数之和为奇数” ，B 表示“两颗骰子出现的点数之差为零” ，C 表示“两颗骰子出现的点数之积不超过 20” 。 2请用样本点的集合表示事件 BA，BC，B。C解：A（1,2）,（1,4）,（1,6）,（2,1）,（2,3）,（2,5）,（3,2） （3,4）,（3,6）,（4,1）,（4,3）,（4,5）,（5,2）
3、,（5,4）（5,6）,（6,1）,（6,3）,（6,5）B （1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）C（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）, （3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（5,1）, （5,2）,（5,3）,（5,4）,（6,1）,（6,2）,（6,3）B A BB C（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）（4,6）,（5,5）,（5,6）,（6,
4、4）,（6,5）,（6,6）CB（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）, （6,6）,C（4,6）,（5,6）,（6,4）,(6,5)3.3.用枪射击目标 5 次，设事件 A表示 “第次击中目标”(1,2,3,4,5), 事件 B 表示 “5 次射击目标击中次数大于 2” 。请用文字叙述下列事件：（1）AA（2） A（3） B解:（1）A 表示 5 次射击至少击中目标一次；A3（2）表示 5 次射击都没有击中目标；A（3）表示 5 次射击至多 2 次击中目标。B4 4简化下列各式：(1)（AB） （BC）(2)（AB） （A）B(3)（AB） （A） （B）BA解：(1)（
5、AB） （BC）(AB)B （AB）C ABBACBC （ABB，BCB）QB + AC(2)（AB） （A）BAABABBBAA（B）BA(3)（AB） （A） （B）BAA（B）AAABAAB5在一堆书中随意抽取一本书，事件 A、事件 B、事件 C所表示的事件如下：A： “数学书”B： “中文图书”C： “平装书”4（1）说明事件 AB的实际意义；C（2）若B，说明什么情况？C （3）B 是否意味着这堆书中所有数学书都不是中文版的？A解：（1） 事件 AB表示“非平装的中文版的数学书” ；C（2）若B，则说明非平装的书都是中文版的；C （3）B 表明“非数学书”与“中文书”是相同的事件，这
6、就A意味着中文书都是非数学书，换言之，数学书都不是中文版的。6 下表给出 10 万个男子中活到 岁的人数统计表。用 A、B、C 分别表示一个新生婴儿活到 40 岁、50 岁、60 岁，请估计 P（A） 、P（B） 、P（C） 。年 岁 活到 岁的人数0 10000010 9360120 9229330900924086880年 岁 活到 岁的人数508052160 6778770 4673980 1986690 281210065解： P（A）=0.8688010000086880P（B）=0.8052110000080521P（C）=0.67787100000677877 某产品设计长度为
7、20 厘米，规定误差不超过 0.5 厘米为合格品。今对一批产品进行测量，长度如下表所示：长度（厘米） 19.5 以下 19.520.5 20.5 以上5件 数 5 68 7计算这批产品的合格率。解： 设事件 A 表示“合格品” ，则P（A）0.85687568 这批产品的合格率为 0.858掷 3 枚硬币，求 3 个正面向上的概率。解： 设事件 A 表示“3 个正面向上” ，则P（A）0.1253219 10 把钥匙中有 3 把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率。解： 设事件 A 表示“任取两把能打开门” 。第一种解法：通过计算有利于事件 A 的基本事件数来求 P(A).P（A）=0.53
8、2 101 71 32 3 CCCC 第二种解法:通过计算事件 A 的对立事件（即：“任取两把钥匙不能A打开门” ）的概率 P（）来求得 P（A） 。AP（），P（A）1P（）1=0.53A2 102 7 CCA452110.10. 一部 4 卷的文集随便放在书架上，问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为 1、2、3、4 的概率是多少？解： 设事件 A 表示“各卷自左向右或自右向左的卷号为 1、2、3、4” ，则：P（A）=0.083！42611.11. 100 个产品中有 3 个次品,任取 5 个,求其次品数分别为0、1、2、3 的概率。解： 设 Ai (i=0,1,2,3) 表示“取出的 5
9、 个产品中有 i 件次品”, 则P（Ai） (i=0,1,2,3)5 1005 973 CCCii所以P（A0）0.856 ； P（A1）0.138P（A2）0.006 ； P（A3）0.0001212 N 个产品中有 N 1件次品，从中任取 n 个（1nN 1N）求其中有 k(kn）个次品的概率。解： 设 Ak (k=0,1,.,n) 表示“取出的 n 件产品中含有 k 件次品” ，则P（Ak） (k=0,1,.,n)n Nkn NNk NCCC 1113 一个袋内有 5 个红球，3 个白球，2 个黑球。计算任取 3 个球恰为一红、一白、一黑的概率。解： 设事件 A 表示“任取 3 个球恰为
10、一红、一白、一黑” ，则 P（A）0.253 101 21 31 5 CCCC14 两信封随机地投入四个邮筒，求前两个邮筒内没有信的概率及第一个邮筒内只有一封信的概率。解： 设事件 A 表示“前两个邮筒内没有信” ，事件 B 表示“第一个邮筒内只有一封信” ，则P（A）0.2522427P（B）=0.37521 31 2 4CC15 一批产品中一、二、三等品率分别为 0.8、0.16、0.04，若规定一、二等品为合格品，求产品的合格率。解： 设事件 Ai (i=1,2,3) 表示“i 等品” ，由已知：P（A1）0.8, P（A2）0.16用事件 B 表示“合格品” ，则 BA1A2，又 A1
11、A2，所以P（B）P（A1A2）P（A1）P（A2）0.8+0.160.961616 袋内装有两个 5 分、三个 2 分、五个 1 分的硬币，任意取出 5 个，求总金额超过 1 角的概率。解： 设事件 A 表示“任意取出 5 个硬币总金额超过 1 角” 。其他记号说明如下：事件 B 表示“取出的 5 个硬币中有 5 分硬币两个” ，事件 C 表示“取出的 5 个硬币中有 5 分硬币一个、2 分硬币三个、1 分硬币一个” ，事件 D 表示“取出的 5 个硬币中有 5 分硬币一个、2分硬币两个、1 分硬币两个”不难看出，ABCD，且 BC，BD，CD。所以，P（A）P（BCD）P（B）P（C）P（
12、D）5 103 82 2 CCC5 102 52 31 2 5 101 53 31 2 CCCCCCCC0.51717 100 个产品中有 3 个次品, 任取 5 个,求其次品数不超过一个的概率。解： 设 Ai (i=0,1,2,3,4,5) 表示“取出的 5 个产品中次品有 i 件”, 则8P（Ai） (i=0,1,2,3,4,5)5 1005 973 CCCii所以：P（A0）0.856 ； P（A1）0.138用事件 B 表示“任取 5 个产品次品数不超过一个” ，则BA0A1 ，且 A0A1 ，所以，P（B）P（A0 A1）P（A0）P（A1）0.8560.1380.99418下表给出
13、 10 万个男子中活到 岁的人数统计表。用 A、B、C 分别表示一个新生婴儿活到 40 岁、50 岁、60 岁，请估计 P（B|A） 、P（C|A） 、P（|B）及 P（AB） 。C年 岁 活到 岁的人数0 10000010 9360120 9229330900924086880年 岁 活到 岁的人数508052160 6778770 4673980 1986690 281210065解： P（A）=0.8688010000086880P（B）=0.8052110000080521P（C）=0.6778710000067787P（AB）P（B）=0.80521 (BA)P（AC）P（C）=0.
14、67787 (CA)P（B|A）=0.9268）（）（ APABP 86880. 080521. 0P（C|A）=0.780）（）（ APACP 86880. 067787. 09158. 080521. 067787. 080521. 0|）（）（）（）（）（）（BPCPBP BPCBPBCP1919 由长期统计资料得知，某一地区在 4 月份下雨（记作事件 A）的概率为 4/15，刮风（用 B 表示）的概率为 7/15，既刮风又下雨的概率为1/10.求 P（A|B）,P（B|A）,P（AB） 。解： 由已知: P（A）4/15, P(B)7/15, P（AB）1/10。于是，P（A|B）21
15、4. 0143 15/710/1）（）（ BPABPP（B|A）375. 083 15/410/1）（）（ APABPP（AB）P（A）P（B）P（AB）633. 03019 101 157 1542020为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统 A 与 B,每种系统单独使用时，系统 A 有效的概率为 0.92，系统 B 有效的概率为 0.93，在 A 失灵的条件下,B 有效的概率为 0.85,求：（1）发生意外时这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）在 B 失灵的条件下，A 有效的概率。解： 设事件 A 表示“系统 A 有效” ，事件 B 表示“系统 B 有效” ，则：P（A）0.92, P（B）0.93, P（B|）0.85A（1）事件 AB 表示“发生意外时这两种报警系统至少有一个有效”由加法公式，P（AB）P(A+B)AP（A）P（B） A（B）=AAP（A）P（）P（B|）AA100.92
