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1、概率概率问题问题的的题题型与方法之范例分析型与方法之范例分析例例 1. 2000 年全国高考天津理科卷年全国高考天津理科卷(13) 某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%，现从一批产品中任意连续取出 2 件，其中次品数 的概率分布是 解解：大批产品中抽取产品，认为次品数 服从二项分布 B(2, 0.05)空格中应填 0.9025, 0.095, 0.0025考点考点：离散型随机变量的概率分布，二项分布例例 2. 2001 年全国高考天津理科卷年全国高考天津理科卷(14) 一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是_.解解 1 1：同时取
2、出的两个球中含红球数 的概率分布为P( = 0) =, P( = 1) =, P( = 2) =2 52 20 3 CCC 101 2 51 231CCC 106 2 50 232CCC 103E =, 空格中应填 106 106 10121056 56解解 2 2：同时取出的两个球中含红球数 服从超几何分布，其数学期望为 n=NM52356例例 3. 2002 年全国高考天津文科卷年全国高考天津文科卷(15)甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下（单位：t / hm2）品种第 1 年第 2 年第 3 年第 4 年第 5 年甲9.89.910.11010.2乙9.410.3
3、10.89.79.8其中产量比较稳定的小麦品种是 甲 。提示提示：甲 = ( 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0，乙 = ( 9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7 + 9.8) = 10.0;x15x15s= ( 9.82 + + 10.22) 102 = 0.02，s = ( 9.42 + + 9.82) 102 = 0.244 0.02 。2甲152甲15例例 4. 2003 年全国高考江苏卷年全国高考江苏卷(14) 辽宁卷辽宁卷(14) 天津文科卷天津文科卷(14) 天津理科卷天津理科卷(14)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200
4、 辆，6000 辆和 2000 辆。为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 6 ，z 30 ， 10 辆。提示提示：1200 + 6000 + 2000 = 9200；46 : 9200 = 1 : 20； 1200 = 6，6000 = 30，2000 = 10。120120120例例 5.5. 抽样本检查是产品检查的常用方法.分为返回抽样和不返回抽样两种具体操作方案.现有 100 只外型相同的电路板，其中有 40 只 A 类版后 60 只 B 类板.问在下列两种情况中“从 100 只抽出 3 只，3 只都是 B 类”的概率是多少？ 每次
5、取出一只，测试后放回，然后再随机抽取下一只（称为返回抽样） ； 每次取出一只，测试后不放回，在其余的电路板中，随意取下一只（称为不返回抽样） 解：解： 设“从 100 只中抽去 3 只，3 只都是 B 类”为事件 M，先求基本事件总数，由于每次抽去一 只，测试后又放回，故每次都是从 100 只电路板中任取一只，这是重复排列，共有个.再求 M 所包含的基本事件数，由于每次抽出后又放回，故是重复排列，共有31 1001 1001 100100CCC012p个，所以3603360()0.216100P M 由于取出后不放回，所以总的基本事件数为个，事件 M 的基本事件数为，所以 3 100C3 60
6、C3 60 3 100()0.212CP MC例例 6. 已知连续型随机变量 的概率密度函数，且 f(x) 0，求常数 k 的 )2(0)20( 1)0(0)(xxkxxxf值，并计算概率 P(1.5179.16，即99. 0)7173()(xxP33. 27173x公共汽车门的高度至少应设计为 180cm，可确保 99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞。说明：说明：解决本题的关键是在正确理解题意的基础上，找出正确的数学表达式；而逆向思维和逆向查 表，体现解决问题时思维的灵活性。例例 11已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量 xkg 与每单位面积蔬菜年平均产量 yt 之间的关系 有如下数据
7、：年份19851986198719881989199019911992 x(kg)7074807885929095 y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份1993199419951996199719981999 x(kg)92108115123130138145 y(t)11.511.011.812.212.512.813.0（1）求 x 与 y 之间的相关系数，并检验是否线性相关；（2）若线性相关，求蔬菜产量 y 与使用氮肥量之间的回归直线方程，并估计每单位面积施肥 150kg 时，每单位面积蔬菜的年平均产量。分析：分析：（1）使用样本相关系数计算公式来完成；（2
8、）查表得出显著性水平 0.05 与自由度 15-2 相应 的相关系数临界比较，若则线性相关，否则不线性相关。05. 0r05. 0rr 解：解：（1）列出下表，并用科学计算器进行有关计算：i123456789101112131415ix707480788592909592108115123130138145iy5.16.06.87.89.010.210.0 12.011.511.011.812.212.512.813.0iiyx357 444 544 608.4 765 938.4 900 1140 1058 1188 1357 1500.6 1625 1766.4 1885，10115151
9、5x11.10157 .151y，。故蔬菜产量与放用氮肥量的相关系数1611251512 iix55.16281512 iiy8 .16076151 iiiyx。8643. 0 )11.101555.1628)(10115161125(11.10101158 .1607622 r由于 n=15，故自由度 15-2=13。由相关系数检验的临界值表查出与显著水平 0.05 及自由度 13 相关系 数临界值，则，从而说明蔬菜产量与氮肥量之间存在着线性相关关系。514. 005. 0r05. 0rr （2）设所求的回归直线方程为，则abxy，0937. 01011516112511.10101158
10、.160761515221512151 xxyxyx biiiii，6463. 01010937. 011.10xbya回归直线方程为。)(701.146463. 00937. 0txy说明：说明：求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大，需要细心、谨慎地计算。如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到，这些量，也就无 niix1 niiy1 niiy12 niiy12 niiiyx1需有制表这一步，直接算出结果就行了。另外，利用计算机中有关应用程序也可以对这些数据进行处理。例例 12.设随机变量 服从 N（0，1） ，求下列各式的值：（1）P(2.55)； （2）P(-1.44)
11、； （3）P(|1.52)。分析分析:一个随机变量若服从标准正态分布，可以借助于标准正态分布表，查出其值。但在标准正态分 布表中只给出了，即的情形，对于其它情形一般用公式：(-x)=1-(x)；00x)()(00xxxPp(axb)= (b)- (a)及等来转化。)(1)(00xxPxxP解解:（1）)55. 2(1)55. 2(PP;0054. 09946. 01)55. 2(1（2）)44. 1 (1)44. 1()44. 1(P；0749. 09251. 01（3）1)52. 1 (2)52. 1()52. 1 ()52. 152. 1()52. 1|(|PP8714. 019357.
12、02 说明：说明：从本题可知，在标准正态分布表中只要给出了的概率，就可以利用上述三个公式求出00x其它情形下的概率。例例 13某厂生产的圆柱形零件的外径 N（4，0.25） 。质检人员从该厂生产的 1000 件零件中随机 抽查一件，测得它的外径为 5.7cm。试问该厂生产的这批零件是否合格？分析：分析：欲判定这批零件是否合格，由假设检验基本思想可知，关键是看随机抽查的一件产品的尺寸 是在（-3，+3）内，还是在（-3，+3）之外。解：解：由于圆柱形零件的外径 N（4，0.25） ，由正态分布的特征可知，正态分布 N（4，0.25）在 区间(4-30.5，4+30.5)即(2.5，5.5)之外取
13、值的概率只有 0.003，而，这说明在一次试验)5 . 5 , 5 . 2(7 . 5 中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批产品是不合 格的。 说明：说明：判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想。例例 14假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y（万元） ，有如下的统计资料： x23456 y2.23.85.56.57.0若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系。试求：（1）线性回归方程；（2）估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？分析：分析：本题为了降低难度，告诉了 y 与 x 间呈线性相关关系，目的是训练公式的使
14、用。解：解：（1）列表如下： i12345ix23456iy2.23.85.56.57.0iiyx4.411.422.032.542.02 ix49162536，4x5y，90512 iix3 .11251 iiiyx于是，23. 145905453 .112552251251 xxyxyx biiiii。08. 0423. 15bxya线性回归方程为：。08. 023. 1xabxy（2）当 x=10 时，（万元）38.1208. 01023. 1y即估计使用 10 年时维修费用是 12.38 万元。 说明：说明：本题若没有告诉我们 y 与 x 间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验。如果本
15、身两个变量 不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其 估计与预测也是不可信的。例例 15. （2003 年全国高考辽宁卷年全国高考辽宁卷(20) 天津理科卷天津理科卷(20)）A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是 A1、A2、A3，B 队队员是B1、B2、B3 。按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A 队队员胜的概率A 队队员负的概率A1对 B12313A2对 B22535A3对 B32535现按表中对阵方式出场, 每场胜队得 1 分, 负队得 0 分。 设 A 队、 B 队最后总分分别为 、。 () 求 、 的概率分布；() 求 E、 E。分析分析：本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。解解：() 、 的可能取值分别为 3, 2, 1, 0.P( = 3) = （即 A 队连胜 3 场）758 52 52 32P( =
