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1、 检测与估值检测与估值结课论文结课论文软件与通信工程学院软件与通信工程学院通信工程通信工程101 班班0103796郝彩虹郝彩虹戴利云戴利云2013-6-28 院院 系：系：专专 业：业：年级班级：年级班级：学学 号：号：姓姓 名：名：指导教师：指导教师：论文评分：论文评分：利用利用 Kalman 滤波进行轨迹预测滤波进行轨迹预测 郝彩虹（ 江西财经大学软件与通信工程学院，江西南昌，330013） 摘要：摘要：Kalman 自从 20 世纪 60 年代初问世以来，Kalman 滤波器在各个领域都有广泛的应用，随着研究的深入，卡尔曼滤波技术越来越多地应用于各个领域，如航天器的轨道计算、雷达目标跟
2、踪、生产过程的自动控制等卡尔曼滤波作为一种最优状态估计方法，可以应用于受随机干扰的动态系统。准确地说，卡尔曼滤波器给出了一种递推算法，由实时获得的受噪声污染的离散观测数据，对系统状态进行线性、无偏及最小误差方差的最优估计。该算法已经广泛应用于工业和控制的许多领域，如视频和激光跟踪系统、卫星导航、弹道导弹轨迹估计、雷达和火力控制等。随着最近高速计算机的发展，卡尔曼滤波的应用将更加广泛，特别是在更加复杂的实时应用中。卡尔曼滤波器在机动目标跟踪中具有良好的性能，但以 Kalman 滤波方法预测的过程需要对目标的运动方程有准确了解而且要求系统的过程与测量噪声为高斯噪声且相互独立，这在实时跟踪过程中都是
3、很难满足的本文利用基于Matlab 编程的 Kalman 滤波改进算法实现目标预测跟踪，并绘出目标质心轨迹坐标 关键词：关键词：目标跟踪；目标匹配；Kalman 滤波；Matlab Trajectory prediction using Kalman filterhaocaihong( the university of jiangxicaijingdaxue,jiangxisheng,nanchangshi,330013 ) Abstract:The Kalman filter has been widely used in various fields, such as spacecraf
4、t orbit calculation, radar target tracking, automatic control of the production process. Calman filter has a good performance in maneuvering target tracking, it is a kind of optimal estimation and for recursive computation. But the prediction process with Kalman filtering to the equations of motion
5、the objectives of the process and measurement noise in understanding and requirements of the system for the Gauss noise and independent of each other, it is very difficult to meet in the real-time tracking process. In this paper, by using the improved algorithm to achieve the target prediction track
6、ing based on the Kalman filter Matlab programming, and draw the target centroid trajectory coordinates. Keyword:Target tracking; object matching; Kalman filter; Matlab引引 言言目标跟踪一直是人们关心的热点问题，Kalman 滤波预测凭借其跟踪精度较高在跟踪中备受青睐运动目标的检测识别与跟踪技术是目迅速发展的一个研究领域，把图像处理技术与 Kalman 滤波算法结合起来也是目标跟踪的一个研究方向图像运动目标的识别就是指在视频序列中
7、提取每一帧图像的运动目标的信息运动目标检测和跟踪的研究内容相当丰富，主要涉及到计算机可视化、机器人视觉、智能控制、模式识别等领域运动目标分析在高级人机交互、视频会议、自动化工业、安全监控和图像检索方面有着广阔的应用背景和潜在的经济价值，本文就此问题进行研究。本文首先介绍了滤波方程的基本推导。该方案的优势是通过假设某些矩阵非奇异，可以很好地理解卡尔曼滤波的最优性。当然通过应用广为人知的正投交投影方法，有时也称之为新息方法，可以不需要这些假设。然后将该方法进行扩展来处理系统和量测噪声相关的问题，以及有色噪声问题。本书还讨论了针对非线性系统的卡尔曼滤波及其在自适应系统辨识中的应用。此外，介绍了实时应
8、用中的极限或稳态卡尔曼滤波理论、序贯算法和平方根算法等高效计算方法。卡尔曼滤波一个典型的应用是数字跟踪滤波器设计，如 和 跟踪器。对于白噪声，应用卡尔曼增益的极限值来定义 、 和 参数，对于有色噪声则为 、 和 ，可以将该跟踪滤波器描述为极限或稳态卡尔曼滤波器。因为最优估计的误差随着时间以指数衰减，从这个角度看，通过这些更有效的预测校正方程得到的状态估计是近似最优的。我们还研究了一种可以得到状态向量各分量滤波方程的解耦方法。2.算法介绍算法介绍 2.1 Kalman 滤波器简介滤波器简介 在学习卡尔曼滤波器之前，首先看看为什么叫“卡尔曼” 。跟其他著名的理论（例如傅立叶变换，泰勒级数等等）一样
9、，卡尔曼也是一个人的名字，而跟他们不同的是，他是个现代人！卡尔曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930 年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954 年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957 年于哥伦比亚大学获得博士学位。简单来说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm（最优化自回归数据处理算法） ” 。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过 30 年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用
10、于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。2.2 Kalman 滤波算法介绍滤波算法介绍 在这一部分，我们就来描述源于 Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability） ，随即变量（Random Variable） ，高斯或正态分配（Gaussian Distribution）还有 State-space Model 等等。Kalman 滤波方法是 Rudolf EmilKalman 在 20 世纪 60 年代初提出的一种时域方法它基于状态空间模型来解决最优滤波问题，最终将问题归结为计算或求解 Riccati 方程。
11、Kalman 滤波器是一个对动态系统的状态序列进行线性最小方差估计的算法，采用递归滤波的方法，可以任意一点作为观测起点 状态方程：式中，向量 x(n)表示系统在离散时间 n 的状态向量，它是不可观测的；矩阵1MMM F（n+1,n）成为状态转移矩阵，描述动态系统在时间 n 的状态到 n+1 的状态之间的转移，应为已知。而向量 为过程噪声向量，它描述状态转移中间的加性噪声或误差。1M)n(1V观测方程： 式中，向量 y(n)表示动态系统在时间 n 的观测向量, 矩阵 C（n）称为观测矩阵（描述1NMN状态经过其作用，变成可预测的） ，要求也是已知的；表示观测噪声向量，其维数与观测向量)(2nV的
12、相同。过程方程也称为状态方程，为了分析的方便，通常假定过程噪声 v1(n)和观测噪声均)(2nV为零均值的白噪声过程，它们的相关矩阵分别为：还假设状态的初始值 x(0)与 、 ，均不相关，并且噪声向量与也不相)n(1V)(2nV0n )n(1V)(2nV关，既有：2.3 算法原理算法原理Kalman滤波原理框图系统前一时刻状态最优值和系统前一时刻方差系统当前时刻状态的预测值和系统当前时刻状的态的预测方差得到当前时刻系统的最优值更新当前时刻方差循环修 正)3.()()(),( ,0111knnQ knHkvnvE )4.()()(),( ,0222knnQ knHkvnvE ) 1.(), 1(
13、11)()()(nvnxnnFnx)2.()(2)()()(nvnxnCny)5.(,0)()(21knkvnvEH考虑一步预测问题，给定观测值 y(1), .，y(n-1)，求观测向量 y(n)的最小二乘估计，记作（1） 、新息过程的性质，(n)的新息过程定义为：式中，向量表示观测数据 y(n)的新的信息，简称新息。1N n新息 具有以下性质： n性质 1： n 时刻的新息与所有过去的观测数据 y(1), .，y(n-1)正交，即： n性质 2：新息过程由彼此正交的随机向量序列 组成，即有： n性质 3：表示观测数据的随机向量序列y(1) ,y(n)与表示新息过程的随机向量序列a(1),a(
14、n) 一 一对应 ，即以上性质表明：n 时刻的新息 a(n)是一个与 n 上课之前的观测数据 y(1), .，y(n-1)不相关，并具有白噪声性质的随机过程，但它却能够提供有关 y(n)的新息，这就上信息的内在物理含义。下面分析新息过程的相关矩阵在 kalman 滤波中，并不直接估计观测数据向量的进一步预测，而是先计算状态向量的一步预测然后再用到下式得到：将上式代入新息过程的定义式（6） ，可得到：这就是新息过程的实际计算公式，条件是：一步预测的状态向量估计业已求出。 n1定义向量的一步预测误差：将此式代入式（13） ，则有在新息过程的相关矩阵定义式（10）中代入式（14） ，并注意到观测矩阵
15、 C（n）是一已知的确定矩阵)1(),.,1 ( )(1nyynynydef)6.().()()(1nynyn)7.(11 , 0)()(nkkynEH)8(.11 , 0)()(nkknEH)9.().(),.1 ()(),.1 (nnyy)10.().()()(nnEnRH)11().1(),.1 ()(1 nyynxndefx)12.().()()(11nxnCny )13.().()()()()()()()(211nvnxnxnCnxnCnyn )14.().()(), 1(1nxnxnnedef )15().() 1,()()(2nvnnenCn)16.(.).()() 1,()()()()()1,() 1,()()(222 nQnCnnKnCnvnvEnCnnenneEnCnRHHHH故有式中 Q2(n)是观测噪声 v2(n)的相关矩阵，而表示（一步）预测状态误差的相关矩阵2.4 Kalman 滤波算法滤波算法最自然的方法是用新息过程序列 a(1)
