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1、一种混沌非线性系统的鲁棒控制通过应用反馈精确线性化方法给出了受控一类混沌系统的标准型,然后利用标准形将线 性部分和非线性部分的分离特点进行了鲁棒控制器的设计,由此设计出原混沌系统的非线性 鲁棒控制器。 1、 受控混沌系统的标准型 考虑一下一类混沌系统：（1）1212121213123123310()25 ()28(3529)81 33xxxa xxxxxx xxx axx xxax 其中，未知。01aa首先引入输出信号，构造如下受控混沌系统：1yx12121212131231233110()25 ()28(3529)81 33xxxa xxxxxx xxx auxx xxaxyx 其中是控制参
2、变量，其它参数同系统（1） 。u 本文中所采用方法的目的是根据系统（2）本身的特点来设计鲁棒控制器，使得统一混沌系统（2）收敛到指定的平衡点处，显然应满足下列方程：* 123(,)x x x* 123(,)x x x（3）* 2121* 121312* 1233010()25 ()028(3529)81033xxa xxxxx xxx ax xxax 式（2）减式（3）得（4）12121* 31221123* 2332131331021(10()25 ()81 3328)(3529)yxyyx yy yyyyya yyyy yx yx yyayyyy au 其中。0* 1112223331,y
3、xxyxxyxxyyx通过上述分析，要设计鲁棒控制器使得混沌系统（2）收敛到指定的平衡点处，就是使受控统一混沌系统（4）收敛到平衡点（0,0,0）处。为了叙述方便，* 123(,)x x x将式（4）简记为下列的式（5）：（5）1212123121312312211233110()25 ()(28)(3529)81 33xxxa xxxa xxa xxx auxx xa xa xxaxyx 其中用代替，代替以及用代替，记为：iy0(1,2,3)ix i ia*(1,2,3)ix i y0y，2131213131221121010( )(28)xxf xa xxa xx xx xa xa x ，
4、2112325()( )35291 3xxxxxx ，0 ( )1 0g x 1123( ),.xh xx xxx 混沌受控系统（5）为下列含参变量的非线性系统：（6）( )( )( )( )xf xx ag x uyh x 其中参数同系统（1） 。当时，系统（6）的标称系统具有的相对阶为 2。而事实上0a ，0 ( )(100) 10 0gL h x 213121313211221121010( )(100)(28)10(),gxxL h xa xxa xx xxxx xa xa x 0 ( )( 10100) 11000gfL L h x 因此系统（6）的标称系统具有相对阶为 2，若将系统
5、（6）化为标准型，只要找到一个满足下式的即可。( )t x12320( )( )( )( )( )10 0gt xt xt xt xL t xxxxx 可取。3( )t xx那么对系统（6）进行如下坐标变换：（7）112123( )( )1010( )fzh xxzL h xxxzt xx 则式（7）的逆变换为：112 213110xzzxzxz 因为：2 1321313( )100(180 10)1010fL hxxa xa xx x=31211(270 10)101010a zxa zz z则有：211 2 121121222 3211231211218()31010 25( )( )10
6、 25 () 10 ( 3529)(270 10)111010(460 )10fgfaz zazzaazzzzzazzL h xL L h x ua xxxx aa zza za zzz au 取状态反馈12 312111( ) ( )(270 10)111010)10gffuL L h xvL h xvayya zy z为引入的新控制变量。v 则系统（8）可化为如下标准型：211 2 121121222218()31010 25(460 )az zazzaazzzzzazzvzz a 又因为33112211000101000 ( )000( )2811 00000fad g xf xaxax
7、 xaxa =， ，故矩阵1110 1 ax 0 ( ),( )0 0fg x ad g x 的秩110100 ( ( )( )( ),( ) )11000ffAg xad g xg x ad g xxa ( )2r A 因此由上述讨论可知系统（6）与系统（9）是反馈等价系统。如果能构造出系统（9） 的鲁棒控制器，那么也就可以得到系统（6）的鲁棒控制器了。v 3、非线性鲁棒控制器的设计 混沌系统的标准型（9）已将系统（6）的线性部分与非线性部分分离出来。这样可以 通过构造线性鲁棒控制器使得线性部分的渐近性来控制非线性部分的渐近性。v 对线性部分：（10）11222125(460 )zzazzv
8、zz a 可以通过线性控制律使得子系统（10）的鲁棒稳定。1122vk yk y定理 1 如果线性控制律的参数满足12vpzqz，则线性控制律使得子系统（10）的鲁( , )( , ):0,4p qMp qpq 12vpzqz棒稳定。证明 将线性控制律代入式（10）得12vpzqz（11）1122122125(460 )zzazzpzqzzz a 设系统（11）的特征多项式为，则：( )f当，又2( )(4)(125 )(60 )faqapa( , )( , ):0,4p qMp qpq ，则：01a(125 )(60 )0,(4)0.apaaq故特征多项式方程的所有根的虚部为负，故系统（11
9、）鲁棒稳定。对线性系( )0f统（11）来说，渐近稳定意味指数稳定。则由指数稳定的定义知：有( )00,0fc （12）,1,2t izcei对于非线性子系统（13）211 2 12128()31010zaz zazzaazzz 为讨论问题的方便，现考虑平衡点的镇定，此时， （13）)式变为(0,0,0)1230aaa（14）21 2 18 310z zazzz 其他平衡点的讨论类似。 为了讨论式（14）在一定条件下的稳定性，现引入引理 1。引理 1 若非负函数满足下列不等式( ( ), )V x t t则( , )( , ),0,0,0tV x taV x tbeab lim( , )0 t
10、V x t 证明 令，则：( )( , )( , )tw tV x taV x tbe0( )0,w ttt 又00()() 000( , )(, )( )ta t ta t sstV x tV x t eebew s ds=00()() 00(, )ta t tatastV x t ebeeds0000() 000()() 00(, )(),(, )(),a t tata t ta t tttV x t eb tt eabV x t eeepa显然当时式（15）不等式右端均指数趋于 0。t 因此：证毕。lim( , )0 tV x t 现取 Lyapunov 函数，应用式（12）及不等式可得
11、2( ( )V z tz222,ababa b（16）221 2 (14)12224 2422412 122(8)|2310 1012711 3103010tz z zaVzz zz zzczzzze 将引理 1 应用于式（16）可知，从而lim( ( )0 tV z t lim ( )0 tz t 即式（14）子系统是指数收敛于原点。说明满足定理 1 的控制器z0z 可使系统（9）鲁棒镇定到原点。通过以上分析可得到下列定理 21122vk yk y定理 2 如果非线性控制器取为312111(270 10)111010)10uva zza zz z3 1312131010380(11)10pq
12、ax xxqxa x其中，为系统（1）的平衡点。( , )( , ):0,4p qMp qpq 123(,)a a a则系统（5）指数收敛于。(0,0,0)4、仿真 这里我们将举例说明定理 2 的有效性。若取(这是未知参数即扰动项，为了2 1231,6,(,)(0,0,0),cos ( )pqa a aat 仿真特取此值)。此时，非线性鲁棒控制器为，利用 Simlink 仿真,结果13123215ux xxx见图 1，系统（5）从 t=20 开始实施控制，可以看到三分量很快被镇定到原点(由123,x x x于分量轨迹靠的很近在图中几乎交叉重叠)。12,x x图 1 受控混沌系统（5）3 个分量的相图
