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1、历年高考难题历年高考难题19841984七（本题满分七（本题满分 1515 分）分）在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 ,b,c，且 c=10，a，P 为ABC 的内切圆上的动点奎屯王新敞新疆求点 P 到顶点 A，B，C 34 coscosab BA的距离的平方和的最大值与最小值奎屯王新敞新疆解：由，运用正弦定理，有ab BAcoscos.2sin2sincossincossin,sinsin coscosBABBAAAB BA因为 AB，所以 2A=-2B，即 A+B=奎屯王新敞新疆 2由此可知ABC 是直角三角形奎屯王新敞新疆由 c=10，. 8, 60, 0,34222babacb
2、aab可得以及如图，设ABC 的内切圆圆心为 O，切点分别为 D，E，F，则AD+DB+EC=但上式中 AD+DB=c=10，.12)6810(21所以内切圆半径 r=EC=2.如图建立坐标系，则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点 P 的坐标为(x,y),则因为 P 点在内切圆上，所以，.48876443764)2()2(3100121633)6()8(|2222222222222xxxyxyxyxyxyxyxPCPBPAS40 xS最大值=88-0=88，Y B（0，6） D E O P（x,y) X O C（0，0） A（8，0） S最小值=88-16=72奎屯王新敞新
3、疆解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin22cos22 yx从而222|PCPBPAScos880)sin22()cos22()4sin2()cos22()sin22()6cos2(222222因为，所以20S最大值=80+8=88，S最小值=80-8=72奎屯王新敞新疆八八 （本题满分（本题满分 1212 分）分）设 2，给定数列xn,其中 x1= ,求证：aa)2 , 1() 1(221Lnxxxnn n1);2 , 1( 1, 21Lnxxxnn n且2);2 , 1(212, 31Lnxann那么如果3. 3,34lg3lg , 31nxana必有时那么当如果1证：先证明
4、xn2(n=1,2,）用数学归纳法奎屯王新敞新疆由条件 2 及 x1= 知不等式当 n=1 时成立奎屯王新敞新疆aa假设不等式当 n=k(k1)时成立奎屯王新敞新疆当 n=k+1 时，因为由条件及归纳假设知, 0)2(044222 1kkkkxxxx再由归纳假设知不等式成立，所以不等式也成立0)2(2kx21kx奎屯王新敞新疆从而不等式 xn2 对于所有的正整数 n 成立奎屯王新敞新疆(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21211) 1(211 kkkxxx所以不等式 xn2(n=1,2,）成立奎屯王新敞新疆）再证明由条件及 xn2(n=1,2,）知).2 , 1( 11Lnxxnn因此不等
5、式也成立奎屯王新敞新疆, 21) 1(211 n nnnnxxx xx).2 , 1( 11Lnxxnn（也可这样证：对所有正整数 n 有. 1)1211 (21)111 (211nnn xxx还可这样证：对所有正整数 n 有所以）, 0) 1(2)2(1 nnn nnxxxxx).2 , 1( 11Lnxxnn2证一：用数学归纳法奎屯王新敞新疆由条件x1= 3知不等式当n=1时成立奎屯王新敞新疆a假设不等式当 n=k(k1)时成立奎屯王新敞新疆当 n=k+1 时，由条件及知2kx, 0)212()2(0)212(2)212(2)212)(1(2211122 1kkkkkkkkkkkkxxxx
6、xxx再由及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等2kx式也成立，从而不等式对所有的正整数 n 成立奎屯王新敞新疆kkx21211212nnx证二：用数学归纳法奎屯王新敞新疆证不等式当 n=k+1 时成立用以下证法：由条件知再由及归纳假设可得)111(211 kkkxxx2kxkkkx21211)212(2111 3证：先证明若这是因为.43, 31kk kxxx则.43)1311 (21)111 (211kkk xxx然后用反证法奎屯王新敞新疆若当时，有则由第 1 小题知34lg3lgan , 31kx. 3121nnxxxxL因此，由上面证明的结论及 x1= 可得a,)43(31
7、2312 11nnn naxx xx xxxx L即，这与假设矛盾奎屯王新敞新疆所以本小题的结论成立奎屯王新敞新疆34lg3lgan 九九 （附加题，本题满分（附加题，本题满分 1010 分，不计入总分）分，不计入总分）如图，已知圆心为 O、半径为 1 的圆与直线 L 相切于点 A，一动点 P 自切点 A 沿直线 L 向右移动时，取弧 AC 的长为，直线 PCAP32与直线 AO 交于点 M奎屯王新敞新疆又知当 AP=时，点 P 的速度为 V奎屯王新敞新疆求这时点 M 的 43速度奎屯王新敞新疆解：作 CDAM，并设AP=x，AM=y，COD=奎屯王新敞新疆由假设，AC 的长为，xAP32 3
8、2半径 OC=1，可知 奎屯王新敞新疆x32考虑), 0(xAPMDCM，DCDM APAM而.)43()843(2,43 )32sin()32cos321)(32cos1 ()32sin32 32cos1)(32sin( /.32sin)32cos1 (.32sin)32cos1 ( ,32sin),32cos1 (222vdtdyMvdtdxxdtdxxxxxxxxxxx dtdyxxxx yxxyxyxDCxyDM 点的速度代入上式得时当解得2002 （22）设数列满足：，na12 1nnnnaaaL, 3 , 2 , 1n（I）当时，求并由此猜测的一个通项公式；21a432,aaana
9、（II）当时，证明对所的，有31a1n（i）2 nan（ii）21 11 11 11 11321naaaaL解（I）由，得21a3112 12aaaM O 1 D C A P L 由，得32a41222 23aaa由，得43a51332 34aaa由此猜想的一个通项公式：（）na1 nan1n（II） （i）用数学归纳法证明：当时，不等式成立1n2131a假设当时不等式成立，即，那么kn 2 kak3521)2)(2(1)(1kkkkkkaaakkk也就是说，当时，1 kn2) 1(1kak据和，对于所有，有1n2nan（ii）由及（i） ，对，有1)(1naaannn2k1) 1(11kaa
10、akkk121) 121(11kkakka1) 1(21222112 11aaakkk kL于是，1 121 11 11k kaa2k21 312 12 21 11 21 11 11 11111 121 111 aaaaankknkknkk2001 (20) (本小题满分 12 分)已知 i，m，n 是正整数，且 1imn()证明；i nii miPmPn()证明(1m) n (1n) m本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力满分 12分（）证明： 对于 1im 有= m(mi1)，i mp，mm mm mpii m1 mim1同理 ， 4 分nn nn npii n
11、1 nin1由于 mn，对整数 k = 1，2，i1，有，mkm nkn所以 ，即 6 分ii m ii n mp npi mii nipnpm（）证明由二项式定理有，i nniinCmm 01， 8 分i mmiimCnn 01由 ()知(1imn，i nipmi mipn而 ， 10 分! ipCi mi m! ipCi ni n所以， (1imni mii niCnCm因此， mii mimii niCnCm22又 ，10000mnCnCmmnnCmCmn11nimCmi ni 0 mii minii niCnCm00即 (1m)n(1n)m2001 (22) (本小题满分 14 分)设
12、 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，其图像关于直线 x = 1 对称对任意 x1，x20，21都有 f (x1x2) = f (x1) f (x2)且 f (1) = a0()求 f () 及 f ()；21 41()证明 f (x) 是周期函数；()记 an = f (2n)，求n21nnalnlim 本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力满分 14 分（）解：因为对 x1，x20，都有 f (x1x2) = f (x1) f (x2)，所以21f () f ()0，x0，1)(xf2x 2x f () = f () f (
13、) = f ()2，) 1 (f21 2121 21 21f ()f () = f () f () = f ()2 3 分2141 4141 41 41，0) 1 ( af f ()，f () 6 分2121 a4141 a（）证明：依题设 y = f (x)关于直线 x = 1 对称，故 f (x) = f (11x)，即 f (x) = f (2x)，xR 8 分又由 f (x)是偶函数知 f (x) = f (x) ，xR， f (x) = f (2x) ，xR，将上式中x 以 x 代换，得f (x) = f (x2)，xR这表明 f (x)是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个周期 10分（）解：由（
