高等流体力学3旋涡-1

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1、高等流体力学(Advanced Fluid Mechanics)第三章 流体中的涡(Chapter III Vortex in fluids)清华大学航天航空学院朱克勤 彭杰清华大学航天航空学院1 120102010- -4 4- -29292010年 春季学期3.1 旋涡3.1.1 旋涡的定义 3.1.2 旋涡的识别3.2 涡量涡量 3.2.1 涡量的物理意义 3.2.2 涡量源3.2.2 涡量源3 3 旋涡精确解3.2.3 涡声 3.3 旋涡精确解 3.3.1 Burgers 涡3 3 2 Sullivian 涡3.3.2 Sullivian 涡 3.3.3 澡盆涡 3 3 4 Hill

2、球涡3.3.4 Hill 球涡 3.4 面涡及其演化二维面涡演化的控制方程2 220102010- -4 4- -29293.4.1 二维面涡演化的控制方程3.4.2 二维面涡演化的精确解 3.4.3 飞机尾涡的卷起3.5 线涡及其演化3.5.1 线涡的B-S 公式3 5 3 非线性Schrdinger方程3.5.2 线涡的局部自诱导方程3.5.1 线涡的B S 公式点涡动力学3.5.3 线涡演化的孤立波解3.5.3 非线性Schrdinger方程3.6 点涡动力学3.6.1 点涡系自诱导方程3.6.2 点涡系的静态平衡3 6 3 点涡系的准静态平衡3.6.3 点涡系的准静态平衡3.6.4 点

3、涡系的相似解3 320102010- -4 4- -29293.6.5 点涡系的混沌引言(Introduction)涡是旋涡 (Vortex)的简称，广泛存在于运动流体之中。朗道认为湍涡是旋涡 (Vortex)的简称，广泛存在于运动流体之中。朗道认为湍 流的结构就是大涡套中涡，中涡套小涡，一层又一层直至最小的涡旋涡对于流动的重要性被形象地比喻为旋涡对于流动的重要性被形象地比喻为“the sinews and muscles of fluid motions”Kchemann D流体运动的肌腱Kchemann D, Report on the I.U.T.A.M. symposium on co

4、ncentrated vortex motions in fluids, Journal of Fluid Mechanics (1965), 21(1):1-20 流体经不起搓，一搓就搓出了涡 陆士嘉陆士嘉问题：自然界最大的旋涡有多大？最小的旋涡有多小？4 420102010- -4 4- -2929问题：自然界最大的旋涡有多大？最小的旋涡有多小？仙女座星系 (Andromeda galaxy)直径约16万光年5 520102010- -4 4- -2929直径约16万光年6 620102010- -4 4- -2929Thomas Matheson, To catch a stellar

5、thief, Nature, 2004 Jan. , 427: 109木星“大红斑”(Great Red Spot)1995年12月 G lil号飞船拍得的照片(F)7 720102010- -4 4- -29291995年12月,Galileo号飞船拍得的照片(From www.nasa.gov)直径：约几万公里美国东海岸的巨大气旋直径：约1600公里8 820102010- -4 4- -2929直径：约1600公里台风眼9 920102010- -4 4- -2929直径：约几百公里大洋环流直径：约几十公里101020102010- -4 4- -2929岛屿形成的卡门涡街1111201

6、02010- -4 4- -2929直径：约几公里龙卷风直径：约几百米121220102010- -4 4- -2929直径：约几百米飞机尾涡131320102010- -4 4- -2929直径：约几十米实验室中的旋涡直径：约几十厘米141420102010- -4 4- -2929水黾运动产生的旋涡151520102010- -4 4- -2929直径：约几十毫米超流体中的量子涡The number of vortex lines depends on the constant h/m. There are approximately 1000 vortex lines in a cont

7、ainer of radius 1 cm that is rotating 1 round per minute.已知的最小旋涡161620102010- -4 4- -2929已知的最小旋涡螺旋星云光年 木星大红斑数万公里木星大红斑数万公里 温带气旋数千公里 台风数百公里台风数百公里 海洋旋涡数十公里 岛屿的涡街数公里岛屿的涡街数公里龙卷风数百米 飞机尾涡数十米尘卷数米水黾旋涡数厘米尘卷数米澡盆涡数分米水黾旋涡数厘米 最小的湍流涡数毫米液氦量子涡纳米171720102010- -4 4- -2929液氦量子涡纳米涡无所不在，形形色色的旋涡按尺度可以排成“涡谱系”关于涡的几个基本问题）涡量是一

8、个物理量，它的物理意义是什麽？）涡量是如何产生的？）什麽是旋涡？4）如何在流场中识别旋涡？判据是什麽？这些基本问题是如此重要，但常常难以给出令人满意的回答181820102010- -4 4- -2929参考书Fl id Vidi d b S I GKlAdi P bli h参考书Fluid Vortices, edited by S. I. Green, Kluwer Academic Publishers, 1995, 878 pagesH. J. Lugt, Vortex Flow in Nature and Technology. New York, John Wiley & Sons

9、 1983Wiley & Sons, 1983童秉纲 尹协远朱克勤，涡运动理论（第2版）.中国科学技术大童秉纲, 尹协远，朱克勤，涡运动理论（第2版）.中国科学技术大 学出版社，合肥 2009191920102010- -4 4- -29293.1 旋涡3.1.1 旋涡的定义与混沌类似，旋涡的文字记载可以追朔到人类科学史的前期，作为 流体力学重要研究对象之一，它的科学定义仍有待探讨。If through every point of a small closed curve we draw the corresponding tliktt bhi hlltt bTh fl id流体力学重要研究

10、对象之一，它的科学定义仍有待探讨。vortex line, we mark out a tube, which we call a vortex tube. The fluid contained within such a tube constitutes what is called a vortex filament, or simply a vortexLamb(1979)涡是以势流势流或物面为边界的有限体积的旋转流体Saffman (1979)or simply a vortex.Lamb (1979)涡是涡量集中的区域G(1995)涡是一群绕公共中心旋转的流体质点Lugt (198

11、3)涡是涡量集中的区域Green (1995)思考问题：如何识别流场中的旋涡？202020102010- -4 4- -2929思考问题：何识别流场中的旋涡？旋涡必须有涡核，涡核具有以下两个基本特性旋涡必须有涡核，涡核具有以下两个基本特性1）涡核是涡量的集中区判据：用涡量的模来识别旋涡。缺点：由于涡量与涡并不等同，所以通过涡量的缺点：由于涡量 (vorticity) 与涡(vortex) 并不等同，所以通过涡量的 模来识别涡比较困难。它不能区分由于由于纯剪切流动引起的涡量 和由于旋涡运动引起的涡量。2）涡核的几何形状必须具有广义的Galilean 不变性和由于旋涡运动引起的涡量。基于广义Gal

12、ilean 不变性作为旋涡识别判据，可利用速度梯度张量 不变量不变量的各种组合来作为判据。不变量不变量的各种组合来作为判据。212120102010- -4 4- -2929速度梯度张量可分解成对称张量(应变率张量)和反对称张量(涡张量)jVj ijijij iVVex111()2ijijjieVV1()2ijijjiVV反对称张量可表示为 1()VVV涡量也称为的反偶矢量()2ijkjkijkjkkjijkjkiVVV 111kkkk 涡量也称为的反偶矢量kij222ijkkijkkmnmnimjninjmmnijjiij 速度梯度张量有几个独立的不变量？222220102010- -4 4

13、- -2929速度梯度张量有几个独立的不变量？有三个不变量由对称张量的分量组成1112233Ieee1112233Ieee2223111311122 2111eeeeeeIe ee eIe e21 32333133212222iijjijijijijIe ee eIe eeeeeeeeee1112133212223eeeIeee313233eee有两个不变量由反对称张量的分量组成有两个不变量由反对称张量的分量组成kkI21451 2ijijIekk2452ijij411klklkllkklklklI 232320102010- -4 4- -2929422imnmniklklmknlmlnkm

14、nklklklI 速度梯度张量的特征值由不变量确定，特征值方程为023RQP03RQP其中的系数1IVPiiii 2411 22iijjijjiQVVVVII 3 35113262iiiijkkjijjkkiRVVVVVVVII62以下介绍基于不变量的识别旋涡的几种判据242420102010- -4 4- -2929(1)判据Q对于不可压缩流 2411 22iijjijjiQVVVVII 对于不可压缩流11 22ijjiikikikikQVVe e 2 211 2ijijIIe e该判据将涡核定义为不变量的区域0Q 224ikikI 意味着该区域速度梯度张量中旋转部分起主导作用ikikiki

15、ke e 意味着该区域速度梯度张量中旋转部分起主导作用Q判据的缺陷是“旋转部分起主导作用”的不确定性，需要压力最J. C. R. Hunt, et. al., “Eddies, stream, and convergence zones in turbulent 低的附加条件来支持。,g flows”. Center for turbulence research report CTR-S88 (1988), p.193. 252520102010- -4 4- -2929旋涡的压力最小值判定准则：在旋涡中，由于离心力被压力所平衡 ，涡核处离心力最低，压力也最小。局限性：离心力可以由粘性力而不是压力来平衡。比如，在卡门旋 盘流中，在旋涡中不出现压力极小值，故只能作为参考条件。盘流中，在旋涡中不出现压力极小值，故只能作为参考条件。作为改进，Chong 等人 (1990) 提出了另一个不变量判据262620102010- -4 4- -2929(2)判据M S Chong A E Perry and B J Cantwell “Ageneral classif