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1、1 8.1 8.1 梁的内力梁的内力 当杆件受到垂直于杆轴线的外力作当杆件受到垂直于杆轴线的外力作 用时，杆轴线的曲率将发生变化，同时用时，杆轴线的曲率将发生变化，同时 杆中任意两横截面也将绕横向轴做相对杆中任意两横截面也将绕横向轴做相对 转动。这种变形称为转动。这种变形称为弯曲弯曲( (Bending) )。凡。凡 是以弯曲变形为主要变形形式的杆件称是以弯曲变形为主要变形形式的杆件称 为为梁梁（Beam）。）。8.1 8.1 梁的内力梁的内力8.1 8.1 梁的内力梁的内力8.1 8.1 梁的内力梁的内力 当梁上的外力（荷载和支座反当梁上的外力（荷载和支座反 力）都作用在纵向对称面内时，梁力
2、）都作用在纵向对称面内时，梁 的轴线在弯曲后成为该对称面内的的轴线在弯曲后成为该对称面内的 一条平面曲线。梁弯曲后的轴线所一条平面曲线。梁弯曲后的轴线所 在平面与外力所在平面相重合或平在平面与外力所在平面相重合或平 行的这种弯曲称为行的这种弯曲称为平面弯曲平面弯曲。8.1 8.1 梁的内力梁的内力8.1 8.1 梁的内力梁的内力 一、剪力和弯矩一、剪力和弯矩 先求支反力。先求支反力。8.1 8.1 梁的内力梁的内力 截面法截面法。称。称 V V为为剪力剪力， 使梁发生相使梁发生相 对错动，产对错动，产 生剪切的效生剪切的效 果。果。M M称为称为 弯矩弯矩，使梁，使梁 发生弯曲变发生弯曲变 形
3、。算出值。形。算出值。8.1 8.1 梁的内力梁的内力 考察右半段。考察右半段。2 8.1 8.1 梁的内力梁的内力 二、剪力与弯矩的正、负号规定二、剪力与弯矩的正、负号规定 1 1、剪力、剪力V V的正、负号规定的正、负号规定 正剪力（正剪力（a a图）：剪力图）：剪力V V绕梁段上任绕梁段上任 意一点顺时针转动时为正剪力。意一点顺时针转动时为正剪力。8.1 8.1 梁的内力梁的内力 二、剪力与弯矩的正、负号规定二、剪力与弯矩的正、负号规定 1 1、弯矩、弯矩M M的正、负号规定的正、负号规定 正剪力（正剪力（a a图）：使梁向下凸的弯矩图）：使梁向下凸的弯矩 为正弯矩，反之为负弯矩。为正弯
4、矩，反之为负弯矩。8.1 8.1 梁的内力梁的内力 三、求指定截面上的剪力与弯矩三、求指定截面上的剪力与弯矩 例例1 已知一简支梁如下图所示，荷载已知一简支梁如下图所示，荷载 F124kN，F2=80kN，求梁跨中截，求梁跨中截 面面E处的剪力处的剪力VE和弯矩和弯矩ME。8.1 8.1 梁的内力梁的内力 例例2 简支梁受均布力简支梁受均布力q和集中力偶和集中力偶 Me=ql2/4的作用，求的作用，求C截面的剪力和截面的剪力和 弯矩。弯矩。8.1 8.1 梁的内力梁的内力 例例3 图示悬臂梁受三角形分布荷载作图示悬臂梁受三角形分布荷载作 用，分布荷载的最大集度为用，分布荷载的最大集度为q0。求
5、。求B、 C两截面的剪力和弯矩。两截面的剪力和弯矩。8.1 8.1 梁的内力梁的内力 结论：结论： 1、任一截面上的剪力等于截面以左、任一截面上的剪力等于截面以左 （或以右）梁上外力的代数和。（或以右）梁上外力的代数和。 2、任一截面上的弯矩等于截面以左、任一截面上的弯矩等于截面以左 （或以右）梁上的外力对该截面形（或以右）梁上的外力对该截面形 心的力矩的代数和。心的力矩的代数和。8.2 8.2 绘制梁的内力图绘制梁的内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图一般情况下，梁各个截面上的一般情况下，梁各个截面上的 剪力和弯矩剪力和弯矩是不相同的，它们随着是不相同的，它们随着 截面位置的变化而变化，可以表
6、示截面位置的变化而变化，可以表示 为坐标为坐标x的函数，即：的函数，即： V=V(x) M=M(x) 分别称为梁的分别称为梁的剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程。8.2 8.2 绘制梁的内力图绘制梁的内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图为了找出最大弯矩和最大剪力为了找出最大弯矩和最大剪力 所在的截面位置，按剪力方程和弯所在的截面位置，按剪力方程和弯 矩方程绘制剪力图和弯矩图。矩方程绘制剪力图和弯矩图。3 8.2 8.2 绘制梁的内力图绘制梁的内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例例4 悬臂梁自由端受到集中力悬臂梁自由端受到集中力F作作 用，试绘出剪力图和弯矩图。用，试绘出剪力图和弯矩图。8.2
7、8.2 绘制梁的内力图绘制梁的内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图规定：剪力图中的正值画在规定：剪力图中的正值画在x轴的上轴的上 方，负值画在方，负值画在x轴的下方；弯矩图画轴的下方；弯矩图画 在梁的受拉边，或者说正弯矩画在在梁的受拉边，或者说正弯矩画在x 轴的轴的下方下方，负弯矩画在，负弯矩画在x轴的轴的上方上方。8.2 8.2 绘制梁的内力图绘制梁的内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例例5 简支梁作用均布荷载简支梁作用均布荷载q，试绘，试绘 出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。8.2 8.2 绘制梁的内力图绘制梁的内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例例6 简支梁作用集中荷载简支梁作用集中荷载
8、F，试绘出，试绘出 剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。8.2 8.2 绘制梁的内力图绘制梁的内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图这种剪力不连续的情况，是因这种剪力不连续的情况，是因 为荷载简化成集中力的缘故。实际为荷载简化成集中力的缘故。实际 上荷载不是集中作用在一点上，而上荷载不是集中作用在一点上，而 总是分布在一小段的长度上。如果总是分布在一小段的长度上。如果 将力将力F以分布力表示，则剪力力是连以分布力表示，则剪力力是连 续的，弯矩图在此处将是一段光滑续的，弯矩图在此处将是一段光滑 的曲线。的曲线。8.2 8.2 绘制梁的内力图绘制梁的内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图8.2 8.2 绘制梁
9、的内力图绘制梁的内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例例7 简支梁简支梁C点处作用集中力偶点处作用集中力偶Me， 试绘出剪力图和弯矩图。试绘出剪力图和弯矩图。8.2 8.2 绘制梁的内力图绘制梁的内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图结论：结论： 1、当集中力或集中力偶将梁分为若、当集中力或集中力偶将梁分为若 干段时，剪力方程和弯矩方程需分干段时，剪力方程和弯矩方程需分 段写出，（但在集中力偶作用截面段写出，（但在集中力偶作用截面 剪力方程不必分段）。当部分梁上剪力方程不必分段）。当部分梁上 承受分布荷载作用时，也有类似情承受分布荷载作用时，也有类似情 况。况。4 8.2 8.2 绘制梁的内力图绘制
10、梁的内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图2、在集中力作用处的左、右两侧横、在集中力作用处的左、右两侧横 截面的剪力值将发生突变，突变值截面的剪力值将发生突变，突变值 等于该集中力的大小。等于该集中力的大小。 3、在集中力偶作用处的左、右两侧、在集中力偶作用处的左、右两侧 横截面的弯矩值将发生突变，突变横截面的弯矩值将发生突变，突变 值等于该力偶的力偶矩。值等于该力偶的力偶矩。8.3 8.3 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩方程和剪力方程之间是有弯矩方程和剪力方程之间是有 一定的导数关系的。下面来证明。一定的导数关系的。下面来证明。 任意荷载作用下的梁，以任
11、意荷载作用下的梁，以A为坐为坐 标原点选取坐标系，梁上的分布荷标原点选取坐标系，梁上的分布荷 载载q(x)是是x的连续函数，规定的连续函数，规定q(x)以向以向 上为正，向下为负。取距坐标原点上为正，向下为负。取距坐标原点 为为x和和x+dx的一微段梁进行研究。的一微段梁进行研究。8.3 8.3 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系 8.3 8.3 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系8.3 8.3 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系由由Fy=0，得：，得：上式表明：上式表明：剪力对剪力对x的一阶
12、导数等于的一阶导数等于 梁上相应截面分布荷载的集度。梁上相应截面分布荷载的集度。8.3 8.3 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系再由再由MO=0，得：，得：略去二阶微量，得：略去二阶微量，得：上式表明：上式表明：弯矩对弯矩对x的一阶导数等于的一阶导数等于 梁上相应截面的剪力。梁上相应截面的剪力。8.3 8.3 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系再对再对x求一阶导数，得：求一阶导数，得：下面看规律：下面看规律：8.3 8.3 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系5 8.3 8.3 弯矩、剪力和分
13、布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系 8.3 8.3 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系例例8 画外伸梁的剪力图和弯矩图。画外伸梁的剪力图和弯矩图。8.3 8.3 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系 8.3 8.3 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系8.3 8.3 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系例例9 外伸梁。外伸梁。q=20kN/m，F=20kN， Me=160kN m，绘制剪力图和弯矩图。，绘制剪力图和弯矩图。8.3 8.3 弯矩、剪
14、力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系8.3 8.3 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系例例10 绘制简支梁的剪力图和弯矩图。绘制简支梁的剪力图和弯矩图。8.3 8.3 弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系6 8.4 8.4 多跨静定梁的内力多跨静定梁的内力 由若干根梁用中间铰连接在一由若干根梁用中间铰连接在一 起，并以若干支座与基础相连，称起，并以若干支座与基础相连，称 为为多跨静定梁多跨静定梁。桥梁中较为常见。桥梁中较为常见。8.4 8.4 多跨静定梁的内力多跨静定梁的内力 梁的基本部分：梁的基本部分：
15、AB和和CD 附属部分：附属部分：BC。依赖于基本部分的。依赖于基本部分的 支承才能承受荷载并保持平衡。支承才能承受荷载并保持平衡。8.4 8.4 多跨静定梁的内力多跨静定梁的内力 从受力分析来看，当荷载作用从受力分析来看，当荷载作用 于基本部分时，只有该基本部分受于基本部分时，只有该基本部分受 力，而与其相连的附属部分不受力；力，而与其相连的附属部分不受力； 当荷载作用于附属部分时，则不仅当荷载作用于附属部分时，则不仅 该附属部分受力，且通过铰接部分该附属部分受力，且通过铰接部分 将力传至与其相关的基本部分上去。将力传至与其相关的基本部分上去。8.4 8.4 多跨静定梁的内力多跨静定梁的内力
16、 因此在计算多跨静定梁时，必因此在计算多跨静定梁时，必 须先计算附属部分，再计算基本部须先计算附属部分，再计算基本部 分。将附属部分的反力反其方向，分。将附属部分的反力反其方向， 就是加于基本部分的荷载。就是加于基本部分的荷载。8.4 8.4 多跨静定梁的内力多跨静定梁的内力 例例11 试作多跨静定梁的内力图。试作多跨静定梁的内力图。8.4 8.4 多跨静定梁的内力多跨静定梁的内力8.4 8.4 多跨静定梁的内力多跨静定梁的内力 例例12 多跨静定梁全长受到均布荷载多跨静定梁全长受到均布荷载 q，要使正负弯矩峰值相等，试求，要使正负弯矩峰值相等，试求D 铰的位置，并绘出相应的弯矩图。铰的位置，并绘出相应的弯矩图。8.4 8.4 多跨静定梁的
