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1、 宁都县宁师中学宁宁师师中学中学“自主参与学自主参与学习习法法”数学数学学科学科导导学稿学稿（学生版）主编人：朱中华 审稿人：罗建平 定稿日：2013-03-2协编人：廖天生 使用人：高二理科学生5.2 二项式系数的性质学习目标 1. 了解杨辉三角，会用它求二项式次数不大时的二项式； 2. 掌握二项式系数的性质，并能灵活运用它； 3. 能用赋值法求系数的和。学习过程 一、课前准备 （预习教材 P26 P27，找出疑惑之处） 复习 1：写出二项式定理的公式： 公式中叫做 ， 二项展开式的通项公式是通项公式是 ，用r nC符号 表示 ，通项为展开式的第 项. 在展开式中，共有 项，各项次数都为 ，
2、的次数规律是 nba)( a ， 的次数规律是 ，各项系数分别是 .b复习 2：求 展开式中的第 4 项二项式系数和第 4 项的系数.102 xx二、新课导学 学习探究 探究任务一：杨辉三角杨辉三角 问题问题 1：在展开式中，当 n1，2，3，时，各项的二项式系数有何规律？nba)( 1ba 2ba 3ba 4ba 5ba 6ba 新知 1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角” ，表中二项式系数关系是 探究任务二 二项式系数的性质二项式系数的性质 问题问题 2：设函数，函数 r nCrf的定义域是 ，函数 图象有何性质？（以 n6 为例）新知新知 2：二项式系数的性质二项式系数的性质 对称性对称性
3、:与首末两端“等距离”的 两个二项式系数相等,图象的对称轴是.2nr 试试试试： 在(ab) 展开式中，与倒数6第三项二项式系数相等是( ) A 第项 B 第项 C 第项 D 第项 若的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则 n .nba 反思反思：为什么二项式系数有对称性？ 增减性与最大值增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最最 ，左边二项式系数逐渐 ，右 边二项式系数逐渐 . 当 n 是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值； 当 n 是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值
4、.试试：试试：的各二项式系数的最大值是 nba)( 各二项式系数的和各二项式系数的和：在展开式中，若，则可得到 nba)( 1 ba n nr nnnCCCC10即 n nr nnnCCCC21 典型例题例例 1 求的展开式中系数最大的项1012x变式变式：在二项式(x-1)的展开式中, 求二项式系数最大的系数的项； 求项系数最小的11项和最大的项.编号Sxxx2-3-5.2宁都县宁师中学小结小结：在展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找nba)( 到二项式系数和项系数的关系来达到目的.例例 2 证明：在展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
5、nba)( 变式变式： 化简: ;11 115 113 111 11CCCC 求和：.n nn nnnCCCC2222210 小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有 倒序相加法. 动手试试练练 1. 在(1+x)的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 ；（用符号表示即可）10 在(1-x)的展开式中，二项式系数最大的是11第 项为 . （用符号表示即可）练练 2. 若，7 72 210721xaxaxaax 则 ， 721aaa7531aaaa.6420aaaa三、总结提升 学习小结 1. 二项式系数的三个性质2. 数学方法 ： 赋值法和递推法 知
6、识拓展 早在我 国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里这个表称为杨辉三角。杨 辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元 11 世纪）已经用过它。这 表明我国发现这个表不晚于 11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662） 首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 在的展开式中，系数最大的项是121xx 第 项；2. 在的展开式中，二项式系数最大的是991x第 项，项系数最小的项是第 项；3. 计算= 1091829 10101033331CCCL4. 若，则 ； 929 01291 2xaa xa xa xL129aaaL5. 化简： 1 11 10 110n nnnn nnn CCCCCC课后作业 1. 求展开式的中间一项；123 3 xx 求展开式的中间两项.15xyyx2. 已知的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数.nx1各二项式系数的和增减性与最大值对称性
