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1、3.2 刚体系统的平衡刚体系统：由若干个刚体通过约束所组成的系统，简称物系。外力：外界环境作用于物系上的力。内力：物系内部各物体间相互作用的力。3.2.1 物系的平衡 静定和超静定概念1.物系的平衡条件物系平衡每一刚体及其任意组合都平衡在平面问题中，一个刚体有3个独立的平衡方程。因此， 由n个刚体组成的物系，在平面问题中，可以提供3n个独立的 平衡方程。如果其中某些刚体受平面汇交力系或平面力偶系或平面平 行力系的作用，则独立的平衡方程的数目会相应地减少。2.静定与超静定概念静定问题：系统中未知量数目不多于独立平衡方程的数目时， 则所有未知量都可以由刚体静力学的平衡方程求出。这样的问 题称为静定
2、问题。超静定问题：系统中未知量数目多于独立平衡方程的数目时， 则未知量不能全部由刚体静力学的平衡方程求出。这样的问题 称为超静定问题，也称为静不定问题。系统未知量的形式多样，但通常采用约束反力的形式。这些 约束反力包括内部约束反力和外部约束反力。例38：判断下列系统的静定性。简支梁悬臂梁静定静定静定静定静不定静不定静不定静不定静不定静定3 平面任意力系平衡问题举例(多刚体系统)例35：如图，其BC上作用一力偶，其矩为m=50KNm，不计刚 架自重，试求铰链A、B的约束反力。如将力偶移到刚架的左半 部(即AC上)，两铰链的约束反力是否改变。m2m2m2ACBmACAN N N NCN N N N
3、BmCN N N NBN N N NBCAN N N NN N N NN N N N=KN6817251222.mNNBA=例36：图示梁，求固定端A、铰链C及中间铰B的约束反力。m3m6m40KNABCm20KN30解：以BC为研究对象，其受力图如下BCm20KN30CN N N NBxN N N NByN N N Nxy0=Bm03206630cos= CN69.28KN340=CN0=xFKN6434.NBx=0=yFKN60=ByNm40KNABBxN N N NByN N N N AyN N N NAxN N N NAM以AB为研究对象0=Am0340=ByANMmKN220=AM0
4、=xF0=BxAxNN0=yF0=ByAyNNKN6434.NAx=KN60=AyN例37：图示三铰刚架，求铰链A、B处的反力。ABm5m5m5CmKN20KN50解：以整体为研究对象ABCmKN20KN50AyN N N Nxy oAxN N N NBxN N N NByN N N N0=Am01057520550=+ByN.KN100=ByN0=yF0520=+ByAyNN0=AyNACKN50AyN N N Nxy oAxN N N NCxN N N NCyN N N N以AC为研究对象0=Cm055=AyAxNN0=AxN再次以整体为研究对象0=xF050 =+BxAxNN50=BxN
5、例38：构架如图，已知q=2kN/m，a=2m，M=4kN.m，求B、E 处的约束力。AqaBaaaaCDEM解：以整体为研究对象EyN N N NExN N N NDN N N Nxy02302=+=aNMqamEyDkN8=EyN00=ExxNF以刚架ABC为研究对象AqaBCCyN N N NBxN N N NCxN N N NByN N N N02102=aNqamBxCkN2=BxN以BD为研究对象DyH H H HBxN N N NDxH H H HByN N N NaMBD00=+=aNaNMmByBxDkN4=ByN例39：无底的圆柱形空筒放在光滑的地面上，内放二球，每个 球重
6、P P P P，半径为r，圆筒半径为R，2rRr。若不计各处接触的摩 擦，不计圆筒厚度，求圆筒不致翻倒的最小重量Qmin。R2ABrrP P P PP P P P HDC解：圆桶将向右边翻倒，在临界状 态下，其受力图如下。ABDN N N NCN N N NHN N N NdminQ Q Q Q由小球受力的对称性DCN N N NN N N N=0=dNRQDminRdNQDmin=22222)(2RRrrRrd=ABP P P PDDN N N NFN N N Nxy以B球为研究对象0cos0=DFxNNF0sin0=PNFFydrR)(2tan=PdrRPND)(2tan=)1 (2)(2
7、 RrPPdrR RdNRdQDmin=3.2.1平面静定桁架1.桁架桁架(truss)：由若干直杆(杆件)在两端互相连接(铰接，铆，焊接) 而形成几何形状不变的结构。节点(node)：杆件的连接处。杆件内力：各杆件承受的力，在计 算中假定受拉。按是否所处同一平面内，可分为平面桁架和空间桁架。按是否存在冗杆，可分为有冗杆桁架和无冗杆桁架。按静定性，可分为静定桁架和静不定桁架。平面有冗杆 静不定桁架平面无冗杆 静定桁架2.平面桁架计算的的若干假定杆件都是直杆，并在端部用光滑铰链连接；杆件所受载荷都作用在各节点上，并且各力的作用线都在桁 架平面内；杆件本身的重量忽略不计。满足以上假设的平面桁架称为
8、理想平面桁架，其受力特征是 桁架中各杆件均可看成是二力杆，只承受拉力或压力，而不能 承受弯曲。杆件节点节点 杆件模型与实际结构的差异实际结构简化模型3.简单平面桁架简单平面桁架：以一个铰接三角形为基础，每增加两根杆件，同 时增加一个铰接点，这样的无冗杆平面桁架称为简单平面桁架。简单平面桁架的杆件数m和节点数n有如下关系 nm23 =+ 简单平面桁架静定性分析一个节点为平面汇交力系，提供两个独立的平衡方程一根杆件提供一个未知的内力一个具有m根杆件和n个节点的简单平面桁架，具有2n个独 立的平衡方程以及m个未知内力，如果该桁架的外部约束不超过 3个，则该桁架是静定的。4.零力杆的直接判断桁架中内力
9、为零的杆件称为零力杆，准确地判断出零力杆可 有助于简化运算。 平面桁架中的零力杆只是在特定情况下内力为零，所以它绝 不是多余的杆件。例310：判断下列桁架中的零力杆。P P P PP P P P P P P P 12345678 9101112 133、9、11是零力杆P P P P 1234 56789103、5、7、9是零力杆P P P P 12345678910111213杆3、7、9、10、11、12、13为零力杆几种常见的零力杆形式 123杆1、2在同一直线上且节点不受力，则杆3为零力杆1801F F F F02=S180 02=S01=S5.计算桁架内力的节点法节点法(method
10、 of joints)：每一节点可列两个平衡方程，求解两 个未知数。节点法求解步骤及注意事项先以整个桁架为研究对象，求出外部约束反力从只有两个未知力的节点开始，依次研究各节点，直到求出 全部待求量假设各杆件均受拉，力背离节点，计算结果为正表示受拉， 为负表示受压41235678910111213P P P P假设各杆均受拉力P P P PF F F F1F F F F3F F F F44F F F F4F F F F8例311：试用节点法求图示桁架各杆件的内力。aaaaACDBEFKN4KN1解：以整体为研究对象，求出 外部约束反力。ACDBEFKN4KN1BN N N NAyN N N NA
11、xN N N Nxy0=Am0314=+BNaaKN1=BN0=xFKN1=AxN0=yF04 =+BAyNNKN3=AyN以适当顺序，对各节点建立平衡方程，求出所有杆件的内力。 在计算时，假定所有的杆件均受拉。对BBN N N NBN N N NBDN N N NBEN N N NKN1=BDNKN2=BEN对节点D：DE杆是零力杆KN1=BDDCNN0=DEN对节点EKN1EFN N N NEBN N N NECN N N NKN2=ECNKN3=EFN对FFEN N N NFCN N N NFAN N N N KN23=FANKN3=FCN对AACN N N NAyN N N N AFN
12、 N N NAxN N N N KN2=ACN6.计算桁架内力的截面法截面法(method of section)：把桁架沿某个截面假想地截断，然后 取其中一段来进行分析。为了能够一次就求出所需要的结果，在 取截面时，被截断的杆件尽量不应超过三根。若需求出桁架全部杆件的内力，常用节点法；若只需计算其 中少数几根杆的内力，常用截面法，或两种方法结合应用。例312：试求图示桁架中杆FG的内力。各杆长度都是a。ABCDEFGKN101=PKN202=P KN303=P解：以整体为研究对象，受力图如下。ABCDEFG 1P P P P2P P P P3P P P PBN N N NAyN N N NA
13、xN N N Nxy0=Am1232323PaPaPaNaB+=KN226.NB=BCDFG 1P P P P2P P P PGFN N N NBN N N NDCN N N NDFN N N NII用假想截面I-I将桁架截断，在被截断的 杆件上，补上相应的杆件内力。取右边 一段为研究对象。 0=Dm123 23PaNaNaBGF=+KN320.NGF=例312：已知力P P P P，求图示桁架中杆1、2和3的内力。a5 . 1a5 . 1a2a2a2a2123P P P P解：取截面mm，研究右半部分mma5 . 1a5 . 14S S S Sa2a2a2a2 P P P PB0)(=F F F FBm344PS=取截面nn，研究右半部分。a5 . 1a5 . 1a2a2a2a2123P P P Pnna5 . 1a5 . 1a2a2a2a21S S S S23P P P PC0)(=F F F FCmPS21=研究节点A。1S S S S2S S S S 3S S S S4S S S SA8 . 0cos 6 . 0sin= 0sin0cos32134 =+=+SSSSS65232PSPS=
